【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【沖刺985拔高系列講義】【專題06】立體幾何

第第頁沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義——專治學(xué)霸各種不服【專題06】立體幾何專題目錄【問題一】多面體與球的組合體問題【問題二】立體幾何中折疊問題【問題三】立體幾何中的最值問題【問題四】解決立體幾何中的探索性問題【問題五】利用空間向量解決開放性問題縱觀近幾年高考對于組合體的考查，重點(diǎn)放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題上．要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答．從實(shí)際教學(xué)來看，這部分知識是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目．分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理．本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討．規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題．如圖1所示，正方體，設(shè)正方體的棱長為，、、、為棱的中點(diǎn)，為球的球心．常見組合方式有三類：①一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；②二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；③三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則．通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．【例1】棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，、分別是棱、的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為（）A．B．1C．D．【練習(xí)1】將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為（）A．B．C．D．長方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長方體存在外切球，但是不一定存在內(nèi)切球．設(shè)長方體的棱長分別為、、，其體對角線為．當(dāng)球?yàn)殚L方體的外接球時(shí)，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑．【例2】在長、寬、高分別為2、2、4的長方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為（）A．B．C．D．【練習(xí)2】已知正四棱柱的底邊和側(cè)棱長均為，則該正四棱錐的外接球的表面積為____________．球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多．下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構(gòu)造直角三角形法．設(shè)正三棱柱的高為，底面邊長為，如圖所示，和分別為上、下底面的中心．根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高的中點(diǎn)，，，，借助直角的勾股定理，可求．【例3】正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最____________值，為____________．【練習(xí)3】直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，，，則球的表面積為（）A．B．C．D．規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題．正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一．利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長的關(guān)系．如圖，設(shè)正四面體的棱長為，內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，取的中點(diǎn)為，為在底面的射影，連接、，為正四面體的高，在截面中作一個(gè)與邊和相切，圓心在高上的圓，即為內(nèi)切球的截面．因?yàn)檎拿骟w本身的對稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為．此時(shí)，，，，，則有，，解得：，．這個(gè)解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解．同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點(diǎn)．如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便．【例4】將半徑都為1的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（）A．B．C．D．球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球．解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱錐補(bǔ)形成正方體或者長方體．常見兩種形式：①一是三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．如圖，三棱錐的外接球的球心和正方體的外接球的球心重合．設(shè)，則；②二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．（其中、、為長方體的棱長，為長方體的體對角線長）．【例5】在正三棱錐中，、分別是棱、的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是____________．【練習(xí)4】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（）A．B．C．D．球與正棱錐的組合，常見的有兩類：①一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解；②二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積．【例6】在三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（）A．B．C．D．【練習(xí)5】已知正三棱錐，點(diǎn)、、、都在半徑為的球面上，若、、兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為____________．球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解．例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置．如圖，三棱錐，滿足面，，取的中點(diǎn)為，由直角三角形的性質(zhì)可得：，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則．【例7】在矩形中，，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積是（）A．B．C．D．【練習(xí)6】在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的半徑是____________．對個(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力．解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解．【例8】在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4個(gè)小球，則小球半徑的最大值為（）A．B．C．D．球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解．如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：．【例9】把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長均為20的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）A．B．10C．D．30本類問題一般首先給出三視圖，然后考查其直觀圖的相關(guān)的組合體問題．解答的一般思路是根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)幾何體的特征選擇以上介紹的方法進(jìn)行求解．【例10】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的球面面積為（）A．B．C．D．【練習(xí)7】若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱，它的正視圖如圖所示，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．B．C．D．綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解，此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確．1、直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，，則此球的表面積等于（）A．B．C．D．2、已知四面體的外接球的球心在上，且平面，，若四面體的體積為，則該球的體積為（）A．B．C．D．3、某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為（）A．B．C．D．4、如圖，直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，，側(cè)面是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面的面積為（）A．B．C．2D．15、如圖，一個(gè)幾何體的三視圖（正視圖、側(cè)視圖和俯視圖）為兩個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)邊長為1的正方形，則其外接球的表面積為（）A．B．C．D．6、一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為（）A．B．C．D．7、表面積為的球面上有四點(diǎn)、、、且是等邊三角形，球心到平面的距離為，若平面平面，則棱錐體積的最大值為____________．8、一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個(gè)空間幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是____________．9、已知、、、都是球表面上的點(diǎn)，平面，，，，，則球的表面積等于____________．10、利用一個(gè)球體毛坯切削后得到一個(gè)四棱錐，其中底面四邊形是邊長為1的正方形，，且平面，則球體毛坯體積的最小值應(yīng)為____________．11、如圖，在四面體中，平面，是邊長為6的等邊三角形．若，則四面體外接球的表面積為____________．12、正四面體的棱長為4，為棱的中點(diǎn)，過作其外接球的截面，則截面面積的最小值為____________．13、已知正三棱錐，點(diǎn)、、、都在半徑為的球面上，若、、兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為____________．14、一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，則這個(gè)三棱柱的體積為____________．15、若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為____________．立體幾何中的折疊問題主要包含兩大問題：平面圖形的折疊與幾何體的表面展開．把一個(gè)平面圖形按照某種要求折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的變化，這就是折疊問題．把一個(gè)幾何體的表面伸展為一個(gè)平面圖形從而研究幾何體表面上的距離問題，這就是幾何體的表面展開問題．折疊與展開問題是立體幾何的兩個(gè)重要問題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)，展開與折疊問題就是一個(gè)由抽象到直觀，由直觀到抽象的過程．此類問題也是歷年高考命題的一大熱點(diǎn)，主要包括兩個(gè)方面：一是平面圖形的折疊問題，多涉及到空間中的線面關(guān)系、體積的求解以及空間角、距離的求解等問題；二是幾何體的表面展開問題，主要涉及到幾何體的表面積以及幾何體表面上的最短距離等．解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)系．不變的線線關(guān)系，尤其是平面圖形中的線線平行、線線垂直關(guān)系是證明空間平行、垂直關(guān)系的起點(diǎn)和重要依據(jù)；不變的數(shù)量關(guān)系是求解幾何體的數(shù)字特征，如幾何體的表面積、體積、空間中的角與距離等的重要依據(jù)．【例1】如圖，在下列六個(gè)圖形中，每個(gè)小四邊形皆為全等的正方形，那么沿其正方形相鄰邊折疊，能夠圍成正方體的是_____________．（要求：把你認(rèn)為正確圖形的序號都填上）【練習(xí)1】下圖代表未折疊正方體的展開圖，將其折疊起來，變成正方體后的圖形是（）【例2】將圖1中的等腰直角沿斜邊的中線折起得到空間四邊形（如圖2），則在空間四邊形中，與的位置關(guān)系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．異面且垂直D．異面但不垂直【練習(xí)2】將下面的平面圖形（每個(gè)點(diǎn)都是正三角形的頂點(diǎn)或邊的中點(diǎn)）沿虛線折成一個(gè)正四面體后，直線與是異面直線的是（）①②③④A．①②B．②④C．①④D．①③折疊后幾何體的數(shù)字特征包括線段長度、幾何體的表面積與體積、空間角與距離等，設(shè)計(jì)問題綜合、全面，也是高考命題的重點(diǎn)．解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定折疊后幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及平面圖形折疊前后的數(shù)量關(guān)系之間的對應(yīng)．【例3】如圖，等腰的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)、的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積．（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？【練習(xí)3】在平行四邊形中，，沿將四邊形折起成直二面角，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．【例4】如圖1，在矩形中，，，、分別為、邊上的點(diǎn)，且，，將沿折起至位置（如圖2所示），連結(jié)、、，其中．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【練習(xí)4】如圖，邊長為2的正方形，、分別是、的中點(diǎn)，將、分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于．（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值．折疊問題分析求解兩原則：（1）折疊問題的探究須充分利用不變量和不變關(guān)系；（2）折疊前后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變．幾何體表面展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程，一般地，涉及到多面體表面距離的問題，解題時(shí)不妨將它展開成平面圖形試一試．【例5】把正方體的表面沿某些棱剪開展成一個(gè)平面圖形（如右下圖），請根據(jù)各面上的圖案判斷這個(gè)正方體是（）【練習(xí)5】水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如圖，是一個(gè)正方體的平面展開圖，若圖中的“似”表示正方體的前面，“錦”表示右面，“程”表示下面．則“?！?、“你”、“前”分別表示正方體的______________________．①正方體展開頭記憶口訣：正方體盒巧展開，六個(gè)面兒七刀裁；十四條邊布周圍，十一類圖記分明；四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合；躍馬失蹄四分開；兩兩錯(cuò)開一階梯．對面相隔不相連，識圖巧排“”、“凹”、“田”；②在正方體的展開圖中，一條直線上的小正方形不會(huì)超過四個(gè)；③正方體的展開圖不會(huì)有“田”字形，“凹”字形的形狀．【例6】如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，、分別是兩底面的直徑，、是母線，若一只小蟲從點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到點(diǎn)，求小蟲爬行的最短路線的長度．【練習(xí)6】如圖，在長方體中，，，，求沿著長方體表面從到的最短路線長．幾何體表面上的最短距離需要將幾何體的表面展開，將其轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最短距離，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離最短求解．但要注意棱柱的側(cè)面展開圖可能有多種展開圖，如長方體的表面展開圖等，要把不同展開圖中的最短距離進(jìn)行比較，找出其中的最小值．1、如圖是棱長為1的正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)到的距離為B．與所成角是C．三棱錐的體積是D．與是異面直線2、把正方形沿對角線折起，當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（）A．B．C．D．3、已知正方形的對角線與相交于點(diǎn)，將沿對角線折起，使得平面平面（如圖），則下列命題中正確的為（）A．直線直線，且直線直線B．直線平面，且直線平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面4、如圖，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論正確的是____________．①；②；③與平面所成的角為；④四面體的體積為．5、已知正三棱柱的側(cè)面展開圖是相鄰邊長分別為3和6的矩形，則該正三棱柱的體積是____________．6、如圖，在矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是____________．（填寫所有的正確選項(xiàng)）①是定值；②點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；③存在某個(gè)位置，使；④存在某個(gè)位置，使平面．7、如圖，三棱錐中，，，、分別為、上的點(diǎn)，則周長最小值為____________．8、如圖，、、、為空間四點(diǎn)，在中，，，等邊以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)．（1）當(dāng)平面平面時(shí)，求；（2）當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有？證明你的結(jié)論．9、如圖1所示，正的邊長為，是邊上的高，、分別是、的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折，使翻折后平面平面（如圖2），求三棱錐的體積．10、如圖1，在直角梯形中，，，且，現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形折疊，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求點(diǎn)到平面的距離．11、正的邊長為4，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成直二面角．（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面，此類問題多以規(guī)則幾何體為載體，涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等，題目較為綜合，解決此類問題一般可從兩個(gè)方面思考：一是函數(shù)法，即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立所求的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；二是直接法，即根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征或平面幾何中的相關(guān)結(jié)論，直接判斷最值．【例1】正方體的棱長為1，、分別在線段與上，求的最小值．空間中兩點(diǎn)距離的最值，最基本的方法就是利用距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征求解最值．對于分別在兩個(gè)不同對象上的點(diǎn)之間距離的最值，可以根據(jù)這兩個(gè)元素之間的關(guān)系，借助立體幾何中相關(guān)的性質(zhì)、定理等判斷并求解相應(yīng)的最值．如典例中的兩點(diǎn)分別在兩條異面直線上，顯然這兩點(diǎn)之間距離的最小值即為兩異面直線的公垂線段的長度．另外注意直線和平面的距離，兩平面的距離等的靈活運(yùn)用．【練習(xí)1】在正四棱錐中，平面于，，底面邊長為，點(diǎn)、分別在線段、上移動(dòng)，則、兩點(diǎn)的最短距離為（）A．B．C．2D．1【例2】正三棱柱中，各棱長均為2，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則在棱柱的表面上從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是多少？并求之．求解幾何體表面上的最短距離問題，往往需要將幾何體的側(cè)面或表面展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面圖形中的最值，進(jìn)而利用平面幾何中的相關(guān)結(jié)論判斷并求解最值．如典例中就是利用了平面內(nèi)兩點(diǎn)間線段最短來確定最值，但要注意幾何體表面的展開方式可能有多種，求解相關(guān)最值時(shí)，需要比較才能得到正確結(jié)論．【練習(xí)2】在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為____________．【例3】一個(gè)圓錐軸截面的頂角為，母線為2，過頂點(diǎn)作圓錐的截面中，最大截面面積為____________．由圓錐的性質(zhì)可知，過圓錐頂點(diǎn)的截面一定是等腰三角形，且腰長等于圓錐的母線長，該等腰三角形的頂角的最大值為軸截面的頂角，所以截面面積的最大值取決于軸截面頂角的取值范圍，不能誤認(rèn)為軸截面的面積就是最大值．【練習(xí)3】圓柱軸截面的周長為定值，求圓柱側(cè)面積的最大值．【例4】如圖所示，邊長，，的三角形簡易遮陽棚，其、是地面上南北方向兩個(gè)定點(diǎn)，正西方向射出的太陽光線與地面成角，試問：遮陽棚與地面成多大角度時(shí)，才能保證所遮影面面積最大？求解幾何體中的面積最值，首先要明確所求圖形面積的表示式，區(qū)分該圖形中的定值與變量，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和已知條件確定變量的最值即可．【練習(xí)4】在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，求三棱錐的全面積的最大值．【例5】如圖，在中，，平面，于，于，，，當(dāng)變化時(shí)，求三棱錐體積的最大值．幾何體體積的最值問題的解決，要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定其體積的求解方式，分清定量與變量，然后根據(jù)變量的取值情況，利用函數(shù)法或平面幾何的相關(guān)結(jié)論判斷相應(yīng)的最值．【練習(xí)5】在棱長為1的正方體中，點(diǎn)、分別是線段、（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是____________．【例6】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求面與面所成二面角的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，與面所成的角為，求的最大值．【練習(xí)6】在棱長為1的正方體中，是上的一動(dòng)點(diǎn)，平面和平面與對角面所成的二面角的平面角分別為、，試求的最大值和最小值．1、已知正三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心到平面的距離為1，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值是（）A．B．C．D．2、在長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為對角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、可以重合），則的最小值為（）A．B．C．D．13、已知各棱長均為1的四面體中，是的中點(diǎn)，直線，則的最小值為（）A．B．C．D．4、在長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為對角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、可以重合），則的最小值為（）A．B．C．D．15、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為（）A．B．3C．D．6、已知四棱錐SKIPIF1<0的三視圖如圖所示，則四棱錐的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是（）A．3B．SKIPIF1<0C．6D．87、兩球和在棱長為1的正方體的內(nèi)部，且互相外切，若球與過點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，球與過點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，則球和的表面積之和的最小值為（）A．B．C．D．8、如圖，與是四面體中互相垂直的棱，．若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是________________．9、如圖，在棱柱的側(cè)棱和上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且滿足，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________________．10、已知直三棱柱中，，側(cè)面的面積為2，則直三棱柱外接球表面積的最小值為________________．11、某三棱錐的三視圖如下圖所示，正視圖、側(cè)視圖均為直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，面積最大的面的面積是________________．12、正六棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為1，則動(dòng)點(diǎn)從沿表面移到點(diǎn)時(shí)的最短的路程是________________．13、表面積為的球面上有四點(diǎn)、、、且是等邊三角形，球心到平面的距離為，若面，則棱錐體積的最大值為________________．14、棱長為2的正方體容器盛滿水，把半徑為1的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個(gè)鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個(gè)鐵球的半徑應(yīng)該為多大？15、如圖，過半徑為的球面上一點(diǎn)作三條兩兩垂直的弦、、．（1）求證：為定值；（2）求三棱錐的體積的最大值．16、如圖，在平行四邊形中，，，，沿將折起，使二面角是大小為銳角的二面角，設(shè)在平面上的射影為．（1）當(dāng)為何值時(shí)，三棱錐的體積最大？最大值為多少？（2）當(dāng)時(shí)，求的大?。Ⅲw幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象力，又可以考查學(xué)生的意志力和探究意識，逐步成為近幾年高考命題的熱點(diǎn)和今后命題的趨勢之一，探究性問題主要有兩類：一是推理型，即探究空間中的平行與垂直關(guān)系，可以利用空間線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行推理探究；二是計(jì)算型，即對幾何體中的空間角與距離、幾何體的體積等計(jì)算型問題的有關(guān)探究，此類問題多通過求角、求距離、體積等的基本方法把這些探究性問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程，根據(jù)方程解的存在性來解決．【例1】如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：平面；（2）設(shè)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？請給出證明．線面平行與垂直是高考考查空間線面關(guān)系證明的兩個(gè)重點(diǎn)，此類探究性問題的求解，一定要靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，注意其中的平行與垂直關(guān)系，如該題中正棱柱中側(cè)棱與底面垂直關(guān)系的應(yīng)用；為棱的中點(diǎn)時(shí)，有等的靈活應(yīng)用，幫助我們能夠準(zhǔn)確地判斷探究性問題的結(jié)論，丙直接迅速地把握證明的思路．【練習(xí)1】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，，，．（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置，并加以證明；若不存在，說明理由．【例2】棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求在線段上是否存在點(diǎn)，使面？試證明你的結(jié)論．以特殊幾何體為背景的空中線面關(guān)系的探究性問題，很容易忽視幾何體中的一些特殊的平行、垂直關(guān)系，導(dǎo)致探究性問題的結(jié)論、證明的思路受阻．如該題中（1）問需要利用棱與一組平行平面垂直的性質(zhì)得到線面垂直關(guān)系，作為證明的起點(diǎn)；（2）問如果忽視（1）中結(jié)論的應(yīng)用，則就無法判斷結(jié)果，無法進(jìn)行證明．【練習(xí)2】在三棱柱中，已知，，在底面的射影是線段的中點(diǎn)．（1）證明在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長；（2）求二面角的余弦值．【例3】如圖，在直三棱柱的底面中，，，，且．（1）證明：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角等于？證明你的結(jié)論．（3）若是棱的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論．空間角的探究性問題要注意兩個(gè)方面：一是空間角的正確表示，即利用直線的方向向量和平面的法向量表示空間角時(shí)要注意兩者的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化，如該題中線面角的正弦等于直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值；二是注意我們再利用方程判斷存在性時(shí)，要特別注意題中的條件限制，如該題（2）問：在棱上是否存在點(diǎn)，故即使該題中方程有解，但若，滿足條件的點(diǎn)也不存在．【練習(xí)3】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成角？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．【例4】如圖，直四棱柱中，側(cè)棱，底面是菱形，，，為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？試證明你的結(jié)論．空間線面關(guān)系、空間角的探究問往往與空間線面關(guān)系的證明、空間角與距離的求解相結(jié)合綜合命題，解決此類探究性問題可從兩個(gè)角度解決：一是直接利用傳統(tǒng)的幾何方法進(jìn)行邏輯推理，必須熟練掌握特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征，注意平行與垂直關(guān)系的利用；二是直接利用向量法，此種方法簡單直接，但也存在這很多易錯(cuò)易混的問題，特別是直線的方向向量與平面的法向量之間的運(yùn)算與空間線面關(guān)系、空間角之間的正確轉(zhuǎn)化是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．要熟記結(jié)論，靈活運(yùn)用幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷，準(zhǔn)確進(jìn)行兩類關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化．【練習(xí)4】如圖，在三棱柱中，平面，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，．（1）當(dāng)為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，二面角的大小是？【例5】如圖，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．（1）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？（2）求線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到面的距離等于1？如果存在，試判斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)；如果不存在，請說明理由．探究線面平行問題時(shí)，應(yīng)注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征，也可根據(jù)是否能構(gòu)造中位線或比例線段從而找出線線平行關(guān)系進(jìn)行判斷．該題易出現(xiàn)的問題是忽視點(diǎn)在線段上的限制條件，誤以為方程的解就是結(jié)果而忽視對的取值范圍的技巧．【練習(xí)5】如圖，在四棱錐中，平面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．解決此類探究性問題的基本思路就是設(shè)出參數(shù)，根據(jù)空間線面關(guān)系的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行推理，或根據(jù)角、距離、體積等的求解方法用參數(shù)表示出相關(guān)的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于參數(shù)的方程，根據(jù)方程解的存在性以及解的個(gè)數(shù)問題來處理．解題過程需要注意以下三個(gè)問題：1、熟練把握空間線面關(guān)系的性質(zhì)定理，在探究空間線面關(guān)系的有關(guān)問題時(shí)，可以把探究的結(jié)論作為已知條件，利用性質(zhì)定理逐步進(jìn)行推導(dǎo)；2、熟練掌握求解空間角、空間距離以及幾何體體積等的基本方法，通過設(shè)置合適的參數(shù)，建立關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程，轉(zhuǎn)化為方程的解的問題進(jìn)行探究；3、合理設(shè)參，準(zhǔn)確計(jì)算．探究性問題中的點(diǎn)往往在線段上或某個(gè)平面圖形內(nèi)，我們可以利用線段長度的比值設(shè)置參數(shù)，但也要注意參數(shù)的取值范圍的限制．1、如圖，平面平面，四邊形是邊長為2的正方形，為上的點(diǎn)，且平面．（1）求證：平面；（2）設(shè)，是否存在使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．2、如圖，在四棱錐中，，平面，平面，，，．（1）求棱錐的體積；（2）求證：平面平面；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．3、已知正的邊長為4，是邊上的高，、分別是和邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成直二面角．（1）求二面角的余弦值；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由．4、如圖，在中，是的中點(diǎn)，，．將沿折起，使點(diǎn)與圖中點(diǎn)重合．（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求二面角的余弦值；（3）在（2）條件下，試問在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？證明你的結(jié)論．5、在四棱錐中，平面，，底面是梯形，，，．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為棱上一點(diǎn)，，試確定的值使得二面角為？6、如圖，在四棱錐中，底面梯形中，，平面平面，是等邊三角形，已知，，，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）試確定的值，使三棱錐體積為三棱錐體積的3倍？7、如圖，是以為直徑的圓上異于、的點(diǎn)，平面平面，，，、分別是、的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為．（1）求證：直線平面；（2）直線上是否存在點(diǎn)，使直線分別與平面、直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．8、在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說明理由．9、如圖，直角梯形與等腰直角所在的平面互相垂直，，，，．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出；若不存在，請說明理由．10、如圖，在多面體中，底面正方形的兩條對角線與相交于點(diǎn)，且平面，，，．（1）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由；（2）求直線與平面所成的角．開放題是相對與那種完全具備條件和固定答案的封閉題而言的，立體幾何開放性試題與一般的開放性試題同樣具備以下幾個(gè)特征：不確定性、探究性、非完備性、發(fā)散性、有層次性、發(fā)展性和創(chuàng)新性等，是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完備．要求解答者自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括．它對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求．它有利于培養(yǎng)學(xué)生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程．空間直角坐標(biāo)系的建立，把空間幾何體數(shù)字化了，其結(jié)構(gòu)特征可以直接利用數(shù)字化的“空間坐標(biāo)”進(jìn)行具體的刻畫，所以可以把空間幾何體中的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”、“式”、“方程”與“函數(shù)”的相關(guān)問題，空間幾何體中的開放性問題也就轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的相關(guān)問題進(jìn)行解決．條件追溯型的基本特征是：針對一個(gè)結(jié)論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷．解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件．在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意．【例1】四棱錐的底面是矩形，側(cè)面是正三角形，且側(cè)面底面，當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)，能使？并給出證明．條件追溯型問題可以利用根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用已知的結(jié)論構(gòu)建關(guān)于條件參數(shù)的方程，通過求解方程確定對應(yīng)的條件即可．條件探索型題目，其結(jié)論明確，需要完備使得結(jié)論成立的充分條件，可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件，進(jìn)行演繹推理推導(dǎo)出所需尋求的條件．這類題要求變換思維方向，有利于培養(yǎng)逆向思維能力．【練習(xí)1】如圖，垂直于正方形所在平面，，是的中點(diǎn)，與夾角的余弦值為．（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)在什么為位置時(shí)，使得平面？結(jié)論探索型問題的基本特征是：有條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定．解決這類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論．在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧?，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結(jié)論，再就一般情形去認(rèn)證結(jié)論．【例2】如圖，在正方體中，棱長為，、分別為和上的點(diǎn)，，則與平面的位置關(guān)系是________．該題也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決，更為簡單直接．結(jié)論探索型問題中的結(jié)論一般是確定的，所以可以利用特值來驗(yàn)證；對于探究含有變量或動(dòng)點(diǎn)的問題，其結(jié)論不一定是確定的，可能隨變量的不同或動(dòng)點(diǎn)的位置而發(fā)生變化，此時(shí)要多取幾個(gè)特殊的參數(shù)或特殊的點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，不能僅憑一值一點(diǎn)下結(jié)論．【練習(xí)2】如圖，在長方體中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則與的位置關(guān)系為（）