高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.1 空間幾何體及其表面積、體積 理 蘇教版

8.1空間幾何體及其表面積、體積一、填空題1．下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；②若有兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；④若四棱柱的四條對(duì)角線(xiàn)兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱．其中，真命題的編號(hào)是________(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))．答案②④2．在三棱錐S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，則三棱錐S-ABC的表面積是________．解析設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a，則eq\r(2)a＝2，a＝eq\r(2)，側(cè)面積為3×eq\f(1,2)×a2＝3，底面積為eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，表面積為3＋eq\r(3).答案3＋eq\r(3)3．給出下列四個(gè)命題：①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐②以三角形的一條邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐④圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn)其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè)．解析①錯(cuò)誤，如圖(1)，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．②錯(cuò)誤，如圖(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或如果是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．③錯(cuò)誤，若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．④正確．答案14．如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開(kāi)圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________．解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為1，斜高為eq\f(\r(3),2)，連接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可求得高為eq\f(\r(2),2)，所以體積V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).答案eq\f(\r(2),6)5．四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的喜好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖盛滿(mǎn)酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半，設(shè)剩余的酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關(guān)系有下列四種表述：eq\a\vs4\al(①h2＞h1＞h4,②h1＞h2＞h4,③h3＞h2＞h4,④h2＞h4＞h1)其中表述一定正確的是________．解析本題若用公式推導(dǎo)將費(fèi)時(shí)費(fèi)力，只要把握住所剩酒為原來(lái)的一半以及酒杯的形狀，h4為原來(lái)高度的一半應(yīng)最小，第二個(gè)杯子為圓錐形，液面高度應(yīng)該最高，故只有①正確．答案①6．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤(pán)上，空盤(pán)時(shí)盤(pán)芯直徑40mm，滿(mǎn)盤(pán)時(shí)直徑120mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，則滿(mǎn)盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是________m(π取3.14，精確到1m)．解析衛(wèi)生紙總長(zhǎng)度為eq\f(π602－202,0.1)≈3.14×32000＝100480(mm)≈100(m)．答案1007．如圖，一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h1、h2、h，則h1∶h2∶h＝________.解析如圖，設(shè)三棱錐P-ABE的各棱長(zhǎng)為a，則四棱錐P-ABCD的各棱長(zhǎng)也為a，于是h1＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)a，h2＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a×\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(6),3)a＝h，∴h1∶h2∶h＝eq\r(3)∶2∶2.答案eq\r(3)∶2∶28．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開(kāi)為如圖所示的實(shí)線(xiàn)部分，則可知所求最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為eq\r(52＋122)＝13cm.答案139．長(zhǎng)方體的全面積為11，十二條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，則4(x＋y＋z)＝24，且2xy＋2yz＋2xz＝11.則x2＋y2＋z2＝(x＋y＋z)2－2xy－2yz－2xz＝36－11＝25，從而對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為5.答案510．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M為線(xiàn)段B1B上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，△AMC1的面積為_(kāi)_______．解析如圖，當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，ACeq\o\al(2,1)＝14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝eq\f(AM2＋MC\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AM·MC1)＝－eq\f(1,2)，所以sin∠AMC1＝eq\f(\r(3),2)，S△AMC1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)11．如圖是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的軸對(duì)稱(chēng)平面圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，下面說(shuō)法不正確的是________(填序號(hào))．①該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體；②該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱(chēng)；③該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)；④該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)．解析半圓繞l旋轉(zhuǎn)后，可得半球，故組合體中只有一個(gè)球，所以①不正確，其余都正確．答案①12．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足PM＝2，P到直線(xiàn)A1D1的距離為eq\r(5)，則點(diǎn)P的軌跡是________．解析由PM＝2，知點(diǎn)P在以M為圓心，2為半徑的圓上．又由P到直線(xiàn)A1D1的距離為eq\r(5)，知點(diǎn)P在與BC平行且過(guò)AB中點(diǎn)的直線(xiàn)上，故點(diǎn)P的軌跡是它們的交點(diǎn)，即為兩點(diǎn)．答案兩個(gè)點(diǎn)13．如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說(shuō)法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE＋BF是定值．其中所有正確的命題的序號(hào)是________．解析觀察圖形并試驗(yàn)可知①正確，②不正確；③正確．④中AE＝B1F，BF＝A1E，所以AE＋BF＝AA1為定值，故正確命題是①③④答案①③④二、解答題14．直平行六面體的底面是菱形，過(guò)不相鄰的兩對(duì)側(cè)棱的截面的面積是Q1和Q2，求它的側(cè)面積．解析如圖，設(shè)直平行六面體A1C的底面菱形邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為l，A1六面體?A1ACC1、B1BDD1是矩形，∴Q1＝l·AC?AC＝eq\f(Q1,l).同理BD＝eq\f(Q2,l)，又底面是菱形?a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2),4l2)?2a·l＝eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2))，S側(cè)＝4al＝2eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2)).15．給出一塊邊長(zhǎng)為2的正三角形紙片，把它折成一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面積相等，設(shè)計(jì)一種折疊方法，用虛線(xiàn)標(biāo)在圖中，并求該三棱錐的體積．解析取等邊三角形三邊的中點(diǎn)A、B、C，連結(jié)AB、BC、CA得正三角形的三條中位線(xiàn)，以中位線(xiàn)為折線(xiàn)折起三角形，使三角形三頂點(diǎn)重合，則得側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于1的三棱錐S-ABC，作SO⊥平面ABC，連結(jié)并延長(zhǎng)CO交AB于E，則E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)SE.因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心，所以O(shè)C＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)在Rt△SOC中，SC＝1，SO＝eq\r(SC2－OC2)＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3)，故VS-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC×SO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CE×AB×SO＝eq\f(1,6)×eq\f(\r(3),2)×1×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),12).16．在四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積．解析(1)如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)為E，連接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VABCD＝VABPC＋VDBPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·aeq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(3a2－x2x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(6),2)a時(shí)取等號(hào))．∴該四面體的體積的最大值為eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為eq\f(\r(6),2)a，∴S表＝2×eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(10)a,4)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(15)a2,4)＝eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.17．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)．解析利用三角形相似比，由底面積之比為1∶16.可設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f