2024-2025學(xué)年云南省元陽縣一中高三（下）期末數(shù)學(xué)試題試卷含解析

2024-2025學(xué)年云南省元陽縣一中高三（下）期末數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為，高為，有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．3．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．6．設(shè)，則復(fù)數(shù)的模等于()A． B． C． D．7．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱中心的充要條件是()A． B．C． D．9．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)10．已知無窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．11．某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)12．設(shè)集合，，則()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面向量，，（R），且與的夾角等于與的夾角，則.14．已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，則直線的方程是______.15．若變量，滿足約束條件則的最大值為________.16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.18．（12分）如圖，設(shè)橢圓：，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求面積的最小值，以及取到最小值時(shí)直線的方程．19．（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明；（Ⅱ）已知點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，連接分別交橢圓于兩點(diǎn).⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若，求的值；⑶設(shè)直線，的斜率分別為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．（12分）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買每滿元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有點(diǎn)數(shù)的正方體骰子次，若擲得點(diǎn)數(shù)大于，則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng)；否則獲得三等獎(jiǎng)，結(jié)束抽獎(jiǎng)，已知抽獎(jiǎng)箱中裝有個(gè)紅球與個(gè)白球，抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷鰝€(gè)球，若個(gè)球均為紅球，則獲得一等獎(jiǎng)，若個(gè)球?yàn)閭€(gè)紅球和個(gè)白球，則獲得二等獎(jiǎng)，否則，獲得三等獎(jiǎng)（抽獎(jiǎng)箱中的所有小球，除顏色外均相同）.若，求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率；若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元，二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元，三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元，記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為，若商場(chǎng)希望的數(shù)學(xué)期望不超過元，求的最小值.22．（10分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.2．D【解析】

先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項(xiàng)C：由于，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因?yàn)?，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域?yàn)?若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8．A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以.故選：A.本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm，得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體，易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm，每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個(gè)球．故選：本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.10．A【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)，再求出，利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)闊o窮等比數(shù)列的公比為2，則無窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A。本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。11．A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12．D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】試題分析：，與的夾角等于與的夾角，所以考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量夾角14．【解析】

求出點(diǎn)坐標(biāo)，由于直線與直線垂直，得出直線的斜率為，再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程.【詳解】由于直線可看成直線先繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角得到，則直線與直線垂直，即直線的斜率為所以直線的方程為，即故答案為：本題主要考查了求直線的方程，涉及了求直線的交點(diǎn)以及直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.15．7【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值，.故答案為：.本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.16．【解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識(shí)證明，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先由面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，，所以.又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以AD⊥AC.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最小值為9，.【解析】

（Ⅰ）由已知求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，設(shè)，把直線方程代入拋物線方程，化為的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得，同理求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得，將面積表示為參數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【詳解】（Ⅰ）∵橢圓：，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，∴，又∵橢圓的離心率是，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）過點(diǎn)的直線的方程設(shè)為，設(shè)，，聯(lián)立得，∴，，∴．過且與直線垂直的直線設(shè)為，聯(lián)立得，∴，故，∴，面積．令，則，，令，則，即時(shí)，面積最小，即當(dāng)時(shí)，面積的最小值為9，此時(shí)直線的方程為．本題考查橢圓方程的求解，拋物線中弦長(zhǎng)的求解，涉及三角形面積范圍問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬綜合困難題.19．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）令，；則．易得，．即可證明；（Ⅱ），分①，②，③當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：（Ⅰ）令，；則．令，，易得在遞減，在遞增，∴，∴在恒成立．∵在遞減，在遞增．∴．∵；（Ⅱ）∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，．①當(dāng)時(shí)，可知，∴∴，，∴．∴在單調(diào)遞增，，．∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，，∴，∴在恒成立，∴在無零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，．∴在單調(diào)遞減，，．∴在存在一個(gè)零點(diǎn)．綜上，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，考查了分類討論思想，屬于壓軸題．20．（1）（2）（3）【解析】試題分析：（1）；（2）由橢圓對(duì)稱性，知，所以，此時(shí)直線方程為，故．（3）設(shè)，則，通過直線和橢圓方程，解得，，所以，即存在．試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意知：解之得：，所以橢圓方程為：（2）若，由橢圓對(duì)稱性，知，所以，此時(shí)直線方程為，由，得，解得（舍去），故．（3）設(shè)，則，直線的方程為，代入橢圓方程，得，因?yàn)槭窃摲匠痰囊粋€(gè)解，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又在直線上，所以，同理，點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，即存在，使得．21．；.【解析】

設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件，因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為，顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于，然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為，求出；由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為，，，相應(yīng)求出概率，求出期望，化簡(jiǎn)得，由題意可知，，即，求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件，因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為，顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于，然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為，所以；由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為，，，且，，，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，，化簡(jiǎn)得，由題意可知，，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，解得，即?/p>