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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.,則與位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交3.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積()A. B. C. D.4.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是15.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.6.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知雙曲線:(,)的右焦點與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.38.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.9.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.10.已知是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于兩點,若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.11.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.412.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為________.14.設(shè),則“”是“”的__________條件.15.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項和,且,則______.16.若實數(shù)滿足約束條件,設(shè)的最大值與最小值分別為,則_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)萬眾矚目的第14屆全國冬季運動運會(簡稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕,期間正值我市學校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查,得到如圖頻數(shù)分布直方圖:(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”,否則定義為“非冰雪迷”,請根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表;并判斷能否有的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān);(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,18.(12分)在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.19.(12分)已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍;(2)是否存在實數(shù),對于符合題意的任意,當時均有?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.20.(12分)在銳角中,分別是角的對邊,,,且.(1)求角的大??;(2)求函數(shù)的值域.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,點分別是的中點.(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達對祖國的熱愛之情,在數(shù)學中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標系中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標方程為(),M為該曲線上的任意一點.(1)當時,求M點的極坐標;(2)將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交.選D.3.C【解析】
畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.【詳解】解:幾何體的直觀圖如圖,是正方體的一部分,P?ABC,正方體的棱長為2,
該幾何體的表面積:.故選C.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.4.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當時,,關(guān)于點對稱,錯誤;當時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應用整體對應的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).5.B【解析】
分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.6.D【解析】
通過列舉法可求解,如兩角分別為時【詳解】當時,,但,故充分條件推不出;當時,,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應用,屬于基礎(chǔ)題7.A【解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學生的運算能力,是一道容易題.8.D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因為,當時,,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動一個單位得到,的定義域為,且,所以為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,所以圖像關(guān)于對稱.不等式等價于,等價于,注意到,結(jié)合圖像關(guān)于對稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式,屬于中檔題.10.B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.11.A【解析】
先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復合命題的真假,可得出選項.【詳解】已知對于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當時,,當即時,取等號,當時,函數(shù)沒有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個數(shù)為1個.故選:A.【點睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應用,以及復合命題的真假的判斷,注意運用基本不等式時,滿足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
分段求解函數(shù)零點,數(shù)形結(jié)合,分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個零點,等價于與有三個交點,又因為,且由圖可知,當時與有兩個交點,故只需當時,與有一個交點即可.若當時,時,顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??,故滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點,故不滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點,故不滿足題意;時,顯然與有一個交點,故滿足題意.綜上所述,要滿足題意,只需.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當且僅當時等號成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應用,以及基本不等式的應用,屬于中檔題.14.充分必要【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當時,有,故“”是“”的充分條件.當時,有,故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件,故答案為:充分必要.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷,可利用定義來判斷,也可以根據(jù)兩個條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來判斷,還可以利用兩個條件對應的集合的包含關(guān)系來判斷,本題屬于容易題.15.18【解析】
先由,可得,再結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】解:因為,所以,.故答案為:18.【點睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運算,重點考查了等差數(shù)列的前項和公式,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】
畫出可行域,平移基準直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,當直線過點時,取得最大值7;過點時,取得最小值2,所以.【點睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據(jù)題目所給的約束條件,畫出可行域;其次是求得線性目標函數(shù)的基準函數(shù);接著畫出基準函數(shù)對應的基準直線;然后通過平移基準直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表,求出,從而有的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān).(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,則抽中男教工:人,抽中女教工:人,從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學期望.【詳解】解:(1)由題意得下表:男女合計冰雪迷402060非冰雪迷202040合計6040100的觀測值為所以有的把握認為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關(guān).(2)由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工,2名女職工,所以的可能取值為0,1,2.且,,,所以的分布列為012【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用,考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法,考查古典概型、排列組合、頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(1)曲線的直角坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】
(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因為,所以,所以當,即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.19.(1);(2).【解析】
(1)對求導,對參數(shù)進行分類討論,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得.(2)先根據(jù),得,再根據(jù)零點解得,轉(zhuǎn)化不等式得,令,化簡得,因此,,最后根據(jù)導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性,確定對應函數(shù)最值,即得取值集合.【詳解】(1),當時,對恒成立,與題意不符,當,,∴時,即函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,∵和時均有,∴,解得:,綜上可知:的取值范圍;(2)由(1)可知,則,由的任意性及知,,且,∴,故,又∵,令,則,且恒成立,令,而,∴時,時,∴,令,若,則時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,∴,與不符;若,則時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,∴,與式不符;若,解得,此時恒成立,,即函數(shù)在單調(diào)遞增,又,∴時,;時,符合式,綜上,存在唯一實數(shù)符合題意.【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.20.(1);(2)【解析】
(1)由向量平行的坐標表示、正弦定理邊化角和兩
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