考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷1（共267題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷1（共9套）（共267題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、微分方程y’’－4y＝e2x＋x的特解形式為()．A、ae2x＋bx＋cB、ax2e2x＋bx＋cC、axe2x＋bx2＋cxD、axe2x＋bx＋c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：y’’－4y＝0的特征方程為λ0－4＝0，特征值為λ1＝－2，λ2＝2．y’’－4y＝e2x的特解形式為y1＝axe2x，y’’－4y＝x的特解形式為y2＝bx＋c，故原方程特解形式為axe2x＋bx＋c，選(D)．2、設(shè)an(x－1)n在x＝－1處收斂，則此級數(shù)在x＝2處()．A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為an(x－1)n在x＝－1處收斂，即an(－2)n收斂，所以antn的收斂半徑R≥2，故當(dāng)x＝2時，｜2－1｜＜R，所以級數(shù)an(x－1)n在x＝2處絕對收斂，選(B)．3、函數(shù)f(x)＝x3－3x＋k只有一個零點，則k的范圍為()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：f(x)＝－∞，f(x)＝＋∞，令f’(x)＝3x2＝3x2－3＝0，得x＝±1，f’’(x)＝6x，由f’’(－1)＝－6＜0，得x＝－1為函數(shù)的極大值點，極大值為f(-1)＝2＋k，由f’’(1)＝6＞0，得x＝1為函數(shù)的極小值點，極小值為f(1)＝－2＋k，因為f(x)＝x3－3x＋k只有一個零點，所以2＋k＜0或－2＋k＞0，故｜k｜＞2，選(C)．4、當(dāng)x∈[0，1]時，f’’(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)－f(0)的大小次序為()．A、f’(0)＞f(1)－f(0)＞f’(1)B、f’(0)＜f’(1)＜f(1)－f(0)C、f’(0)＞f’(1)＞f(1)－f(0)D、f’(0)＜f(1)－f(0)＜f’(1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由拉格朗日中值定理得f(1)－f(0)＝f’(c)(0＜c＜1)，因為f’’(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，故f’(0)＜f’(c)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)－f(0)＜f’(1)，選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點解析：．6、設(shè)f(x)一階可導(dǎo)，且f(0)＝f’(0)＝1，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：7、∫xcos2xdx＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)z＝xyf，其中f(u)可導(dǎo)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2z知識點解析：9、級數(shù)在－1＜x＜1內(nèi)的和函數(shù)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：xln(1－x2)＋x3－x3ln(1－x2)(－1＜x＜1)知識點解析：－x2＝－ln(1－x2)－x2(－1＜x＜1)，所以＝xln(1－x2)＋x3－x3ln(1－x2)(－1＜x＜1)三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)＝，求f(x)的間斷點并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＝0及x＝±1時f(x)間斷．由f(0－0)＝0，f(0＋0)＝－∞得x＝0為f(x)的第二類間斷點．由f(1－0)＝，f(1＋0)＝等得x＝1為f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點。同理x＝－1也為f(x)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上有定義，M＞0且對任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜k．(1)證明：當(dāng)k＞0時，f(x)在[a，b]上連續(xù)；(2)證明：當(dāng)k＞1時，f(x)≡常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對任意的x0∈[a，b]，由已知條件得0≤｜f(x)－f(x0)｜≤M｜x－x0｜k，f(x)＝f(x0)，再由x0的任意性得f(x)在[a,b]上連續(xù)．(2)對任意的x0∈[a，b]，因為k＞1，所以0≤≤M｜x－x0｜k－1，由夾逼定理得f’(x0)＝0，因為x0是任意一點，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常數(shù)．知識點解析：暫無解析15、求y＝∫0x(1－t)arctantdt的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’＝(1－x)arctanx0，得x＝0或x＝1，y’’＝－arctanx＋，因為y’’(0)＝1＞0，y’’(1)＝＜0，所以x＝0為極小值點，極小值為y＝0；x＝1為極大值點，極大值為y(1)＝∫01(1－t)arctantdt＝∫01arctantdt＝∫01tarctantdt知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)＝f(b)＝0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＋f(ξ)g’(ξ)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)＝f(x)eg(x)，由f(a)＝f(b)＝0得φ(a)＝φ(b)＝0，則存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，因為φ’(x)＝eg(x)[f’(x)＋f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)＋f(ξ)g’(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)＝∫1xe－t2dt，求∫01x2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx＝∫ξbf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)＝∫axf(t)dt－∫xbf(t)dt，因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，所以g(a)＝－∫abf(t)dt＜0,g(b)＝∫abf(t)dt＞0，由零點定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)＝0，即∫aξf(x)dx＝∫ξbf(x)dx．知識點解析：暫無解析20、過曲線y＝x2(x≥0)上某點處作切線，使該曲線、切線與x軸所圍成的面積為，求切點坐標(biāo)、切線方程，并求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點坐標(biāo)為(a，a2)(a＞0)，則切線方程為y－a2＝2a(x－a)，即y＝2ax－a2，由題意得S＝，解得a＝1，則切線方程為y＝2x－1，旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝π∫01x4dx－π．知識點解析：暫無解析21、設(shè)z＝f(x，y)由方程z－y－z＋zez－y－x＝0確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：對z－y－x＋xez－y－x＝0兩邊求微分，得dz－dy－dx＋ez－y－xdx＋xez－y－x(dz－dy－dx)＝0，解得dz＝dx＋dy．知識點解析：暫無解析22、計算二重積分(x＋y)dxdy，其中D：x2＋y2≤x＋y＋1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、將f(x)＝arctanx展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)＝(－1)nxn(－1＜x＜1)，f(0)＝0，得f(x)＝f(x)－f(0)＝∫0xf’(x)dx＝∫0x[(－1)nx2n]dx，由逐項可積性得f(x)＝，顯然x＝±1時級數(shù)收斂，所以arctanx＝(－1≤x≤1)．知識點解析：暫無解析25、求微分方程y’’－y’＋2y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2－λ＋2＝0，特征值為，則原方程的通解為y＝．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為R1,R2,且R1＜R2，設(shè)(an＋bn)x1的收斂半徑為R0，則有()．A、R1＝R2B、R0＝R1C、R0＜R2D、R0＞R2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：選(B)．2、在曲線y＝(x－1)2上的點(2，1)處作曲線的法線，由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域為D(y＞0)，則區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：過曲線y＝(x－1)2上點(2，1)的法線方程為y＝x＋2，該法線與x軸的交點為(4，0)，則由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為，選(D)．3、設(shè)f(x)＝｜x3－1｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，則g(1)＝0是f(x)在x＝1處可導(dǎo)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)g(1)＝0，f’－(1)＝(x2＋x＋1)g(x)＝0，f’＋(1)＝(x2＋x＋1)g(x)＝0，因為f’－(1)＝f’＋(1)＝0，所以f(x)在x＝1處可導(dǎo)．設(shè)f(x)在x＝1處可導(dǎo)，f’－(1)＝(x2＋x＋1)g(x)＝－3g(1)，f’＋(1)＝(x2＋x＋1)g(x)＝3g(1)，因為f’－(1)＝f’＋(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(1)＝0為f(x)在x＝1處可導(dǎo)，選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：．5、y＝xsin2(2x＋1)，則y’＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：lny＝sin2(2n＋1)lnz，＝2sin(4x＋2)lnx＋，則．6、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、z＝f(xy)＋yg(x2＋y2)，其中f，g二階連續(xù)可導(dǎo)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(xy)＋y2f’’(xy)＋2xg’(x2＋y2)＋4xy2g’’(x2＋y2)知識點解析：f’(xy)＋2xyg’(x2＋y2)，f’(xy)＋y2f’’(xy)＋2xg’(x2＋y2)＋4xy2g’’(x2＋y2)．8、設(shè)f(x)＝，則f(n)(0)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、差分方程yx＋1－yx＝x2x的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C＋(x－2)2x知識點解析：yx＋1－yx＝0的通解為y＝C(1)x＝C，令yx＋1－yx＝x2x的特解為y0＝(ax＋b)2x，代入原方程得y0＝(x－2)2x，原方程的通解為y＝C＋(x－2)2x．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)＝，求f(x)的間斷點，并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然x＝0，x＝1為f(x)的間斷點．f(0－0)＝，因為f(0—0)≠f(0＋0)，所以x＝0為f(x)的跳躍間斷點．f(1—0)＝，因為f(1－0)≠f(1＋0)，所以x＝1為f(x)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析14、證明曲線上任一點的切線的橫截距與縱截距之和為2．標(biāo)準(zhǔn)答案：對兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得，切線方程為Y－y＝(X－x)，令Y＝0得X＝x＋；令X＝0得Y＝y(tǒng)＋，則X＋Y＝x＋2＋y＝＝2．知識點解析：暫無解析15、證明：當(dāng)x＞0時，x2＞(1＋x)ln2(1＋x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝x2－(1＋x)ln2(1＋x)，f(0)＝0；f’(x)＝2x－ln2(1＋x)－2ln(1＋x)，f’(0)＝0；f’’(x)＝2－＞0(x＞0)得f’(x)＞0(x＞0)；得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1＋x)ln2(1＋x)(x＞0)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)0＜a＜1，證明：方程arctanx＝ax在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個實根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝arctanx－ax，由f’(x)＝，由f’’(x)＝為f(x)的最大點，由f(x)＝－∞，f(0)＝0得方程arctanx＝ax在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有唯一實根，位于(，＋∞)內(nèi)．知識點解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、求∫02π｜sinx－cosx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、求曲線y＝3－｜x2－1｜與x軸圍成的封閉圖形繞y＝3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x＋dx][0，1]，dv1＝π[32－(x2－1)2]dx＝π(8＋2x2－x4)dx，V2＝∫01dv1＝π∫01(8＋2x2－x4)dx，[x，x＋dx][1，2]，dv2＝π[32－(1－x2)2]dx＝π(8＋2x2－x4)dx，V2＝∫12dv2＝π∫12(8＋2x2－x4)dx，則所求體積為V＝2(V1＋V2)＝2π∫02(8＋2x2－x4)dx＝．知識點解析：暫無解析21、設(shè)u＝f(z)，其中z是由z＝y(tǒng)＋xφ(z)確定的x，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)．證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、求I＝dxdy，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≤1，x≥0，y≥0}．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得知識點解析：暫無解析23、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、求冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)及其極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)＝1＋＝1－＝－ln(1－x)(－1≤x＜1))令S’(x)＝＝0，得唯一駐點x＝0，當(dāng)x＜0時，S’(x)＞0，當(dāng)x＞0時，S’(x)＜0，則x＝0為S(x)的極大值點，極大值為S(0)＝1．知識點解析：暫無解析25、求微分方程y’’－y’－6y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2－λ－6＝0，特征值為λ1＝－2,λ2＝3，則原方程的通解為y＝C1e－2x＋C2e3x．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，則等于()．A、－f’’(a)B、f’’(a)C、2f’’(a)D、f’’(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：選D．2、下列說法中正確的是()．A、若f’(x0)＜0，則f(x)在x0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B、若f(x)在x0取極大值，則當(dāng)x∈(x0－δ，x0)時，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時，f(x)單調(diào)減少C、f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D、f(x)為偶函數(shù)，f’’(0)≠0，則f(x)在x=0處一定取到極值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：則f(x)在x=0的任意鄰域內(nèi)都不單調(diào)減少，A不對；f(x)在x=0處取得極大值，但其在x=0的任一鄰域內(nèi)皆不單調(diào)，B不對；在x=1處取得極大值，但f(x)在x=1處不連續(xù)，C不對；由f’’(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)為偶函數(shù)，所以f’(0)=0，所以x=0一定為f(x)的極值點，選D．3、設(shè)g(x)=∫0xf(u)du，其中則g(x)在(0，2)內(nèi)()．A、單調(diào)減少B、無界C、連續(xù)D、有第一類間斷點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為f(x)在(0，2)內(nèi)只有第一類間斷點，所以g(x)在(0，2)內(nèi)連續(xù)．選C．4、設(shè)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且在區(qū)域D內(nèi)恒有條件，則()．A、f(x，y)的最大值點和最小值點都在D內(nèi)B、f(x，y)的最大值點和最小值點都在D的邊界上C、f(x，y)的最小值點在D內(nèi)，最大值點在D的邊界上D、f(x，y)的最大值點在D內(nèi)，最小值點在D的邊界上標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：若f(x，y)的最大點在D內(nèi)，不妨設(shè)其為M0，則有因為M0為最大值點，所以AC－B2非負(fù)，而在D內(nèi)有即AC－B2＜0，所以最大值點不可能在D內(nèi)，同理最小值點也不可能在D內(nèi)，選B．5、設(shè)D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π，則sinxsiny.max{x，y}dσ等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性，令D1={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x}，xsinxsinydσ=2∫0πxsinxdx∫0xsinydy=2∫0πxsinx(1－cosx)dx=2∫0πxsinxdx－2∫0πxsinxcosxdx=π∫0πsinxdx－∫0πxd(sin2x)=選B．6、設(shè)則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：顯然收斂．選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=－2知識點解析：f(0)=f(0－0)=a，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a=－2．9、設(shè)f(x)為二階可導(dǎo)的偶函數(shù)，f(0)=1，f’’(0)=2且f’’(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，于是f’(0)=0，又因為f’’(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，所以f(x)=f(0)+f’(0)x++o(x2)=1+x2+o(x2)，于是10、設(shè)∫xf(x)dx=arcsinx+c，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由∫f(x)dx=arcdsinx+c得11、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)證明：數(shù)列{an)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：取ε0=1，因為根據(jù)極限定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時，有｜an－A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1}，則對一切的n，有｜an｜≤M．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)·標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，即由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足｜f(x)一2ex｜≤(x－1)2，研究函數(shù)f(x)在x=1處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．當(dāng)x≠1時，不等式兩邊同除以｜x－1｜，得知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f’’(x)＞0，對任意的x1，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，證明：f[λx1+(1－λ)x2]≤λf(x1)+(1－λ)f(x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x0=λx1+(1－λ)x2，則x0∈[a，b]，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0)+(x－x0)2，其中ξ介于x0與x之間，因為f’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)，于是兩式相加，得f[λx1+(1一λ)x2]≤λf(x1)+(1一λ)f(x2)．知識點解析：暫無解析17、設(shè)a＞0，討論方程aex=x2根的個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：aex=x2等價于x2e－x－a=0．令f(x)=x2e－x－a，由f’(x)=(2x－x2)e－x=0得x=0，x=2．當(dāng)x＜0時，f’(x)＜0；當(dāng)0＜x＜2時，f’(x)＞0；當(dāng)x＞2時，f’(x)＜0，于是x=0為極小值點，極小值為f(0)=－a＜0；x=2為極大值點，極大值為(1)當(dāng)時，方程有三個根；(2)當(dāng)時，方程有兩個根．(3)當(dāng)時，方程只有一個根．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)其中g(shù)(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且g(0)=1．18、確定常數(shù)a，使得f(x)在x=0處連續(xù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=g’(0)時，f(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析19、求f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時，知識點解析：暫無解析20、討論f’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為=f’(0)，所以f’(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x－1)2f’(x)，顯然φ(x)在[0，1]上可導(dǎo)．由f(0)=f(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x－1)f’(x)+(x－1)f’’(x)，所以2(ξ－1)f’(ξ)+(ξ－1)2f’’(ξ)=0，整理得知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，令標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)－f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，因為f(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，從而｜∫0af(x)dx｜≤∫0a｜f(x)｜dx≤∫0aMxdx=知識點解析：暫無解析23、設(shè)u=u(x，y)由方程組u=(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組由五個變量三個方程構(gòu)成，故確定了三個二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得三個方程兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析24、計算二重積分x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)=a2(x2－y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對稱性(x2+y2)dxdy，其中D1是D位于第一卦限的區(qū)域．知識點解析：暫無解析25、設(shè)a0=1，a1=－2，a2=(n≥2)．證明：當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)收斂，并求其和函數(shù)S(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得冪級數(shù)的收斂半徑R=1，所以當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)所以知識點解析：暫無解析26、設(shè)有微分方程y’－2y=φ(x)，其中在(－∞，+∞)求連續(xù)函數(shù)y(x)，使其在(－∞，1)及(1，+∞)內(nèi)都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜1時，y’－2y=2的通解為y=C1e2x－1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x－1，當(dāng)x＞1時，y’－2y=0的通解為y=C2e2x，根據(jù)給定的條件，y(1+0)=C2e2=y(1－0)=e2－1，解得C2=1－e－2，y=(1一e－2)e2x，補充定義y(1)=e2－1，則得在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)且滿足微分方程的函數(shù)知識點解析：暫無解析27、設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(1)將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)所滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0．的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得y’’－y=sinx，特征方程為r2－1=0，特征根為r1，2=±1，因為i不是特征值，所以設(shè)特解為y’=acosx+bsinx，代入方程得a=0，于是方程的通解為y=C1ex+C2e－x－sinx，由初始條件得C1=1，C2=－1，滿足初始條件的特解為y=ex－e－x－sinx．知識點解析：暫無解析28、某人的食量是2500卡／天，其中1200卡／天用于基本的新陳代謝．在健身運動中，他所消耗的為16卡／千克／天乘以他的體重．假設(shè)以脂肪形式儲存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時間變化．標(biāo)準(zhǔn)答案：輸入率為2500卡／天，輸出率為(1200+16ω)，其中ω為體重，根據(jù)題意得ω(0)=ω0，由知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列結(jié)論中正確的是A、若數(shù)列{un}單調(diào)有界，則級數(shù)un收斂．B、若級數(shù)un收斂．C、若級數(shù)un收斂，則數(shù)列{un}單調(diào)有界．D、若級數(shù)un收斂，則級數(shù)部分和數(shù)列{Sn}單調(diào)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由級數(shù)收斂的概念知級數(shù)un收斂就是其部分和數(shù)列{Sn}收斂．?dāng)?shù)列{un}單調(diào)有界只說明Sn存在；由{Sn}單調(diào)有界必存在極限即可判定級數(shù)un收斂，故選(B)．而由級數(shù)un收斂，雖然可以確定數(shù)列{Sn}和{un}收斂，但{Sn}和{un}未必是單調(diào)的．2、現(xiàn)有命題其中真命題的序號是A、①與②．B、②與③．C、③與④．D、①與④．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)un=(一1)n—1(n=1，2，3，…)，于是(一1)n—1發(fā)散．可見命題①不正確．或把(u2n—1+u2n)去掉括號后所得的級數(shù)．由級數(shù)的基本性質(zhì)5：收斂級數(shù)加括號之后所得級數(shù)仍收斂，且收斂于原級數(shù)的和；但若加括號所得新級數(shù)發(fā)散時，則原級數(shù)必發(fā)散；而當(dāng)加括號后所得新級數(shù)收斂時，則原級數(shù)的斂散性不能確定，即原級數(shù)未必收斂．故命題①不是真命題．設(shè)un+1000的部分和Tn=Sn+1000—S1000，(n=1，2，…)，從而un+1000收斂．設(shè)＞1，由極限的保號性質(zhì)可知，存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時＞1成立，這表明當(dāng)n＞N時un同號且后項與前項的比值大于1．無妨設(shè)uN+1＞0，于是有0＜uN+1＜uN+2＜…＜un＜…(n＞N)，從而un有負(fù)項，可類似證明同樣結(jié)論成立。可見命題②與③都是真命題．設(shè)un=1，yn=一1(n=1，2，3…)，于是un都發(fā)散．可見命題④不是真命題．故應(yīng)選(B)．3、若級數(shù)(x一a)n當(dāng)x＞0時發(fā)散，而當(dāng)x=0時收斂，則常數(shù)a=________．A、1．B、一1．C、2．D、一2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：本題是一個具體的冪級數(shù)，可直接求出該級數(shù)的收斂域，再根據(jù)題設(shè)條件確定a的取值．由=1知收斂半徑為1，從而收斂區(qū)間為｜x一a｜＜1，即a—1＜x＜a+1．又當(dāng)x一a=1即x=a+1時，原級數(shù)變?yōu)槭諗?；?dāng)x一a=一1即x=a一1時，原級數(shù)變?yōu)椋l(fā)散．因此，原級數(shù)的收斂域為a—1＜x≤a+1．于是，由題設(shè)x=0時級數(shù)收斂，x＞0時級數(shù)發(fā)散可知，x=0是收斂區(qū)間的一個端點，且位于收斂域內(nèi)．因此只有a+1=0，從而a=一1．故選(B)．4、設(shè)常數(shù)λ＞0且級數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、收斂性與A有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：利用不等式2｜ab｜≤a2+b2可得均收斂，所以原級數(shù)絕對收斂，即(C)正確．故選(C)．5、設(shè)un=(一1)nln(1+)，則級數(shù)A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：un是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，所以是收斂的．而un2發(fā)散．這就說明(C)正確．6、設(shè)a＞0為常數(shù)，則級數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、斂散性與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：用分解法．分解級數(shù)的一般項7、設(shè)常數(shù)α＞2，財級數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、斂散性與α有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于由正項級數(shù)比較判別法的極限形式知級數(shù)，絕對收斂，即(C)正確．二、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)8、已知級數(shù)an收斂，并求此級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由級數(shù)收斂則它的任何加括號級數(shù)也收斂的性質(zhì)及(一1)n—1～an=2知，級數(shù)(a2n—1—22n)收斂，其和數(shù)為2，且an→0．又由于a2n—1=5，從而[2a2n—1一(a2n—1一a2n)]=8．設(shè)an的部分和為Sn，則S2n=a1+a2+…+a2n—1+a2n=(a1+a2)+…+(a2n—1+a2n)是S2n=8．注意到S2n+1=S2n+a2n+1，因此an收斂且其和為8．知識點解析：注意到an的奇數(shù)項構(gòu)成的級數(shù)a2n—1收斂，從而可以由級數(shù)的性質(zhì)通過運算來判定an收斂并求出其和．9、判定下列級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)a＞1時，1+an＞an，因此收斂。當(dāng)0＜a≤1時，1+an≤2，因此發(fā)散。(Ⅱ)注意到xlnn=elnnlnx=nlnx，這樣原級數(shù)轉(zhuǎn)化為p一級數(shù)．由于當(dāng)p＞1時收斂，p≤1時發(fā)散可得：當(dāng)lnx＞1時發(fā)散．知識點解析：暫無解析10、判定下列正項級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用比值判別法．因＜1，故原級數(shù)收斂．(Ⅱ)利用比較判別法的一般形式．由于發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散．(Ⅲ)利用比較判別法的極限形式．由于也發(fā)散．(Ⅳ)利用比較判別法的極限形式．(Ⅴ)利用比較判別法的極限形式．取un=，那么，由知識點解析：暫無解析11、判定下列級數(shù)的斂散性，當(dāng)級數(shù)收斂時判定是條件收斂還是絕對收斂：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于收斂，所以此級數(shù)絕對收斂．(Ⅱ)由于當(dāng)n充分大時有0＜sin，所以此級數(shù)為交錯級數(shù)，且此時還有sin=0，由萊布尼茨判別法知級數(shù)條件收斂．知識點解析：暫無解析12、求下列冪級數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因，．當(dāng)x=時，冪級數(shù)變成．(Ⅱ)由于的收斂半徑R=+∞，即收斂域D為(一∞，+∞)．(Ⅲ)該冪級數(shù)缺偶次方項，即a2n=0，故不能用求R公式(5．1)求其收斂半徑．此時，可將x看成數(shù)，把原冪級數(shù)當(dāng)作一個數(shù)項級數(shù)來處理．由于故當(dāng)4｜x｜2＜1即｜x｜＜時通項不趨于0，級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑R=．知識點解析：暫無解析13、求及arctanx的麥克勞林級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用公式(5．13)，并以x2代替其中的x，則有=1一x2+x4一x6+…+(一1)nx2n+…，(｜x｜＜1)．由于arctanx在[一1，1]上連續(xù)，冪級數(shù)在[一1，1]上收斂，故當(dāng)x=±1時上述展開式也成立．即arctanx=(｜x｜≤1)．知識點解析：暫無解析14、求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令S1(x)=nxn—1，則易知S1(x)的收斂域為(一1，1)，且S(x)=xS1(x)．為求其和函數(shù)S(x)首先求S1(x)，在其收斂區(qū)間(一1，1)內(nèi)進(jìn)行逐項積分得(Ⅱ)容易求得冪級數(shù)的收斂域為[一1，1)．為求其和函數(shù)首先在收斂區(qū)間(一1，n1)內(nèi)進(jìn)行逐項求導(dǎo)，得S’(x)=(一1＜x＜1)．又因為S(0)=0，因此S(x)=S(x)一S(0)=∫0xS(t)dt=∫0x=一ln(1一x)(一1＜x＜1)．注意和函數(shù)S(x)與函數(shù)一ln(1一x)都在[一1，1)上連續(xù)，它們又在(一1，1)內(nèi)恒等，于是由連續(xù)性可知S(x)=一ln(1一x)也在x=一1處成立，即S(x)=一ln(1一x)(一1≤x＜1)．知識點解析：暫無解析15、判別下列正項級數(shù)的斂散性：(Ⅰ)(常數(shù)α＞0，β＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比值判別法．(Ⅰ)由于收斂；當(dāng)p＞e時，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=e時，比值判別法失效．注意到數(shù)列{(1+)n}是單調(diào)遞增趨于e的，所以當(dāng)p=e時，＞1，即{un}單調(diào)遞增不是無窮小量，所以該級數(shù)也是發(fā)散的．從而，級數(shù)當(dāng)p＜e時收斂，p≥e時發(fā)散．(Ⅱ)=β，因此，當(dāng)β＜1時，原級數(shù)收斂，當(dāng)β＞1時發(fā)散．若β=1，則原級數(shù)為，因此，當(dāng)α＞1時收斂，α≤1時發(fā)散．知識點解析：暫無解析16、判別下列正項級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用比較判別法的極限形式，由于級數(shù)發(fā)散，而且當(dāng)n→∞時所以原級數(shù)也發(fā)散．(Ⅱ)仍利用比較判別法的極限形式．先改寫(Ⅲ)注意到0≤也收斂。知識點解析：暫無解析17、判別下列正項級數(shù)的斂散性：(Ⅰ)，其中{xn}是單調(diào)遞增而且有界的正數(shù)數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因為函數(shù)f(x)=單調(diào)遞減，所以再采用比較判別法，并將收斂．再由上面導(dǎo)出的不等式0＜un≤知原級數(shù)收斂．(Ⅱ)首先因為{xn}是單調(diào)遞增的有界正數(shù)數(shù)列，所以0≤1—．現(xiàn)考察原級數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0為常數(shù))，故所以{Sn}也是有界的．由正項級數(shù)收斂的充要條件知原級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析18、考察級數(shù)，p為常數(shù)．(Ⅰ)證明：(n=2，3，4，…)；(Ⅱ)證明：級數(shù)anp當(dāng)p＞2時收斂，當(dāng)p≤2時發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將an2改寫成(Ⅱ)容易驗證比值判別法對級數(shù)anp失效，因此需要用適當(dāng)放大縮小法與比較原理來討論它的斂散性．題(Ⅰ)已給出了{(lán)an}上下界的估計，由注意當(dāng)p＞2即號＞1時anp當(dāng)p＞2時收斂，當(dāng)p≤2時發(fā)散．知識點解析：暫無解析19、判別下列正項級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)p≤0時，有≥(ln3)—p≥1(n≥3)成立，即級數(shù)的一股項不是無窮小量，故級數(shù)發(fā)散．當(dāng)p＞0時，令ε=發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散．綜合即知：無論常數(shù)p取何值，題設(shè)的級數(shù)總是發(fā)散的．(Ⅱ)因(lnn)lnn=elnn．ln(lnn)=nln(lnn)＞n2收斂，故級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析20、討論級數(shù)un的斂散性，其中un=∫01x(1一x)sin2nxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[0，1]時，x(1一x)sin2nx≥0，從而un≥0．故un為正項級數(shù)．又sin2nx≤x2n(x∈[0，1])，所以un=∫01x(1一x)sin2nxdx≤∫01x(1一x)x2ndx知識點解析：暫無解析21、判別下列級數(shù)的斂散性(包括絕對收斂或條件收斂)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于發(fā)散，所以原級數(shù)不是絕對收斂的．原級數(shù)是交錯級數(shù)，易知的單調(diào)性，令f(x)=＞0，可知當(dāng)x充分大時g(x)單調(diào)增加，從而f(x)單調(diào)增加．故當(dāng)a充分大時滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，所以該級數(shù)收斂，并且是條件收斂的．(Ⅱ)由于發(fā)散，這說明原級數(shù)不是絕對收斂的。由于sinx在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，而隨著n的增加而單調(diào)遞減．又因滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，從而它是收斂的．結(jié)合前面的討論，知其為條件收斂．知識點解析：暫無解析22、判別級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：注意級數(shù)的一般項滿足知識點解析：設(shè)un=(一1)nun．對于交錯級數(shù)首先要討論它是否絕對收斂，為此采取比較判別法的極限形式，由于un滿足可見級數(shù)不絕對收斂．又因級數(shù)的一般項的絕對值un=不是單調(diào)減少的，從而不能用萊布尼茨判別法來判別這個級數(shù)的條件收斂性，必須用其他方法來討論它是否條件收斂．以下介紹兩種方法．23、判斷如下命題是否正確：設(shè)無窮小un～vn(n→∞)，若級數(shù)vn也收斂．證明你的判斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：對于正項級數(shù)，比較判法的極限形式就是：若與同時收斂或同時發(fā)散．本題未限定vn一定收斂．比如，取即un～vnvn是不收斂的．這個例子說明：對正項級數(shù)的比較判別法的極限形式不能用于判定任意項級數(shù)的條件收斂性．要注意變號級數(shù)與正項級數(shù)的區(qū)別．知識點解析：暫無解析24、求下列冪級數(shù)的收斂域：(Ⅲ)unxn的收斂半徑R=3；(只求收斂區(qū)間)(Ⅳ)an(x一3)n，其中x=0時收斂，x=6時發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)有相同的收斂半徑，可以用求收斂半徑公式，首先計算所以R=1．再考察冪級數(shù)在兩個端點x=±1處的斂散性．當(dāng)x=1時，級數(shù)單調(diào)遞減，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，從而當(dāng)x≥2時有f’(x)＜0，即f(x)當(dāng)x≥2時單調(diào)遞減，所以，(n≥2)．從而滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，故該級數(shù)收斂．這樣即得的收斂域為[一1，1)．(Ⅱ)由于，所以其收斂半徑為2．又由于本題是關(guān)于x+1的冪級數(shù)，所以收斂區(qū)間的兩個端點為x=一3與x=1．當(dāng)x=一3時，原級數(shù)為是一個交錯級數(shù)，而且容易看出它滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，所以是收斂的．這表明冪級數(shù)(x+1)n的收斂域為(—3，1]．(Ⅲ)an(x一1)n有相同的收斂半徑R=3．因而其收斂區(qū)間為(一2，4)．(Ⅳ)考察antn，由題設(shè)t=一3時它收斂知收斂半徑R≥3，又t=3時其發(fā)散知R≤3．因此R=3，由此可知antn的收斂域是[一3，3)，故原級數(shù)的收斂域是[0，6)．知識點解析：暫無解析25、求下列冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于均發(fā)散，所以其收斂域為(一1，1)．為求其和函數(shù)，先進(jìn)行代數(shù)運算，使其能夠通過逐項求導(dǎo)與逐項積分等手段變成幾何級數(shù)．設(shè)當(dāng)x=0時，上面的運算不能進(jìn)行，然而從原級數(shù)可直接得出S(0)=a0=1．綜合得冪級數(shù)的和函數(shù)容易看出=1．這就說明S(x)在x=0處還是連續(xù)的，這一點也正是冪級數(shù)的和函數(shù)必須具備的性質(zhì)．(Ⅱ)利用同樣的方法容易求得級數(shù)n(n+1)xn的收斂域為(一1，1)．令S(x)=n(n+1)xn—1應(yīng)先進(jìn)行兩次逐項積分．即知識點解析：暫無解析26、將下列函數(shù)展成麥克勞林級數(shù)并指出展開式成立的區(qū)間：(Ⅰ)ln(1+x+x2)；(Ⅱ)arctan．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于ln(1+x+x2)=ln=ln(1一x3)一ln(1一x)，利用公式(5．11)，并分別以(一x3)與(一x)代替其中的x，就有l(wèi)n(1一x3)=，(一1＜一x3≤1即一1≤x＜1)；注意函數(shù)arctan在點x=一1處也收斂，從而上式在端點x=一1處也成立，即，一1≤x＜1．知識點解析：暫無解析27、將下列函數(shù)在指定點處展開為泰勒級數(shù)：(Ⅰ)，在x=1處；(Ⅱ)ln(2x2+x一3)，在x=3處．標(biāo)準(zhǔn)答案：在上述展式中就是以代替(5．13)式中的x．類似地，有(Ⅱ)由于ln(2x2+x一3)=ln(2x+3)(x—1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，對于右端兩項應(yīng)用公式(5．11)，得知識點解析：使用間接法在指定點x處作泰勒展開，就要用x一x0，或者x一x0的倍數(shù)與方冪等代替原來的x．28、將f(x)=xln展開為x的冪級數(shù)，并求f(n)(0)，其中n=1，2，3，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：此外還有f’(0)=0．知識點解析：暫無解析29、將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅲ)可得被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式為知識點解析：在后兩個小題中除了作冪級數(shù)展開之外還涉及分析運算：一個含有求導(dǎo)，一個含有積分．其實在第(Ⅰ)小題中由于分母含有(1一x)2，也要借助于求導(dǎo)．像這樣的題目，到底是應(yīng)該先展開后做分析運算，還是應(yīng)該先做分析運算后展開呢?一般來說應(yīng)該先展開，因為對展開式的分析運算就是逐項求導(dǎo)、逐項積分，比較簡便．而且某些題目也必須先展開，第(Ⅲ)小題就是如此．30、將函數(shù)f(x)=xarctanx一展開成x的冪級數(shù)，并求其收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=arctanx，f"(x)=，將f"(x)展開，有當(dāng)x=±1時，右邊級數(shù)收斂，又f(x)連續(xù)，所以收斂域為一1≤x≤1．知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)=試將f(x)展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于上式右端的級數(shù)在點x=±1處收斂，因此上面等式在｜x｜≤1上成立．于是當(dāng)0＜｜x｜≤1時由于f(x)在點x=0處連續(xù)，且根據(jù)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)可得上式在點x=0處也成立，因此f(x)的冪級數(shù)展開式為f(x)=1+，x∈[—1，1]．知識點解析：先由arctanx的麥克勞林展開式求出0＜｜x｜≤1時f(x)的冪級數(shù)展開式，再由冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性及f(x)在點x=0處的連續(xù)性求得f(x)在｜x｜≤1上的展開式．32、設(shè)an＞0，bn＞0，(n=1，2，…)，且滿足，n=1，2，…，試證：(Ⅰ)若級數(shù)bn發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于an＞0，bn＞0，故發(fā)散．知識點解析：暫無解析33、設(shè)an=tan0xdx，(Ⅰ)求(an+an+2)的值；(Ⅱ)試證：對任意的常數(shù)λ＞0級數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅱ)是正項級數(shù)，可用比較判法別其斂散性．由于知識點解析：暫無解析34、(Ⅰ)求函數(shù)y(x)=1++…(一∞＜x＜+∞)所滿足的二階常系數(shù)線性微分方程；(Ⅱ)求(Ⅰ)中冪級數(shù)的和函數(shù)y(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)一∞＜x＜+∞時題設(shè)的冪級數(shù)可任意次逐項求導(dǎo)，且由此可見y(x)滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程y"一y=0．(Ⅱ)直接計算可得y(0)=1，y’(0)=，從而函數(shù)y(x)是二階常系數(shù)線性微分方程初值問題的特解．注意特征方程λ2—1=0有二相異特征根λ=1與λ=一1，可見微分方程的通解為y(x)=C1ex+C2ex．利用初值y(0)=1與y’(0)=．故(Ⅰ)中冪級數(shù)的和函數(shù)y(x)=e—x(一∞＜x＜+∞)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式f(χ)＝＋ln2則f(χ)等于【】A、eχln2B、e2χln2C、eχ＋ln2D、e2χ＋ln2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析2、已知函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)在任意點χ處的增量△y＝＋α且當(dāng)△χ→0時，a是△χ的高階無窮小，y(0)＝π，則y(1)等于【】A、2πB、πC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析3、若函數(shù)z＝f(χ，y)滿足＝2，且f(χ，1)＝χ＋2，又f′y(χ，1)＝χ＋1，則f(χ，y)等于【】A、y2＋(χ－1)y－2．B、y2＋(χ＋1)y＋2．C、y2＋(χ－1)y＋2．D、y2＋(χ＋1)y2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析4、已知(aχy3－y2cosχ)dχ＋(1＋bysinχ＋3χ2y2)dy是某一函數(shù)的全微分，則a，b取值分別為【】A、－2和2．B、2和－2．C、－3和3．D、3和－3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(χ)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)＝0，f(0)≠0，F(xiàn)(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(χ)dt且當(dāng)χ→0，F(xiàn)′(χ)與χk是同階無窮小，則k等于【】A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)6、差分方程6yt＋1＋9yt＝3的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)yt＝t2＋3，則△2yt＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：暫無解析8、差分方程yt+1－2yt＝t的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：yt＝C2t－1－t知識點解析：暫無解析9、已知yt＝et是差分方程yt+1＋ayt-1＝2et的一個特解，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e－e2知識點解析：暫無解析10、微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝(χ＋C)cosχ知識點解析：暫無解析11、微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dχ的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(χ＋4)y4＝Cχ知識點解析：暫無解析12、微分方程y〞＋2y′＋5y＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)知識點解析：暫無解析13、微分方程y〞－2y′＋2y＝eχ的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝eχ(C1cosχ＋C2sinχ＋1)知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(χ)連續(xù)，∫f(χt)dt＝f(χ)＋1，求f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：Cχ＋2知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z＝(eχsiny)滿足方程＝e2χz，求f(u)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：C1eu＋C2e-u知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(χ)在χ＞0上有定義，對任意的正實數(shù)χ，y，f(χy)＝χf(y)＋yf(χ)．f′(1)＝2，試求f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2χlnχ知識點解析：暫無解析17、設(shè)曲線L位于χoy平面的第一象限內(nèi)，L上任一點M處的切線與y軸總相交，交點記為A，已知，且L過點()，求L的方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝，(0＜χ＜3)知識點解析：暫無解析18、計算二重積分＝_______，其中D是由直線y＝2，y＝χ和雙曲線χy＝1所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、計算二次積分＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算積分＝_______，其中D＝{(χ，y)｜0≤y≤χ，χ2＋y2≤2χ}標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、計算(χ＋y)dχdy＝_______，其中區(qū)域D由y＝χ2，y＝4χ2，y＝1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、計算｜χ2＋y2－2y｜dχdy＝_______．其中D：χ2＋y2≤4．標(biāo)準(zhǔn)答案：9π知識點解析：暫無解析23、求下列二重極限．(1)＝_______；(2)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)0；(2)0．知識點解析：暫無解析24、設(shè)z＝e－χ－f(χ－2y)，且當(dāng)y＝0時，z＝χ2，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－e－χ＋e－(χ－2y)＋2(χ－2y)知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z＝(eχsiny)滿足方程＝ze2χ，求f(u)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：C1eu＋C2e-u知識點解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f(χ)在(0，＋∞)上可導(dǎo)，f(0)＝0，且其反函數(shù)為g(χ)．若∫0f(χ)g(t)dt＝χ2eχ，求f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(χ＋1)eχ－1知識點解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由參數(shù)方程所確定，求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(χ)連續(xù)，且f(0)≠0，求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)30、求下列微分方程通解：1)y〞＋2y′－3y＝e－3χ2)y〞－3y′＋2y＝χeχ3)y〞＋y＝χcosχ4)y〞＋4y′＋4y＝eaχ(a為實數(shù))標(biāo)準(zhǔn)答案：1)y＝C1eχ＋C2e－3χ－χe－3χ2)y＝C1eχ＋C2e2χ－(＋χ)eχ3)y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χsinχ4)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、當(dāng)x→1時，函數(shù)的極限()A、等于2．B、等于0．C、為∞．D、不存在但不為∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充要條件是：()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析3、設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(x)為極大值．則存在δ＞0，當(dāng)x∈(a一δ，a+δ)時必有：()A、(x—a)[f(x)一f(a)]≥0B、(x一a)[f(x)一f(a)]≤0C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析4、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，φ(x)=(x一b)．∫ax(t)dt，則存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A、1B、0C、D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析5、已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy是某一函數(shù)的全微分，則a，b取值分別為()A、一2和2．B、2和一2．C、一3和3．D、3和一3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析6、設(shè)則級數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析7、設(shè)級數(shù)()A、不存在．B、等于一1．C、等于1．D、等于0·標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、已知在x=0處連續(xù)，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析9、設(shè)f’(1)=2．極限=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點解析：暫無解析10、設(shè)則∫f(x)dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x一(1+e－x)ln(1+ex)+C知識點解析：暫無解析11、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、由方程所確定的函數(shù)z=z(x，y)在點(1，0，一1)處的全微分dz=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、交換積分次序∫02dx∫x2xf(x，y)dy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、若冪級數(shù)的收斂域為(一∞，+∞)，則a應(yīng)滿足______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0＜a＜1知識點解析：暫無解析15、微分方程ydx+(x一4x)dx的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x一4)y4=Cx知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)16、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y—xey=1所確定，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：y’｜x=0=e，y’’｜x=0=e2知識點解析：暫無解析19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：4—π知識點解析：暫無解析22、設(shè)平面圖形A由x2+y2≥2x與y≥x所確定，求圖形A繞x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)z=f(u，x，y)，u=xey，其中f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=fuu’’.xe2y+fuy’’.ey+fxu’’xey+f’’xy知識點解析：暫無解析24、設(shè)某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x，y(千只)，其利潤函數(shù)為π=一x2一4y2+8x+24y一15，如果現(xiàn)有原料15000公斤(不要求用完)，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品每千只都要消耗原料2000公斤，求1)使利潤最大的產(chǎn)量x，y和最大利潤；2)如果原料降至12000公斤，求這時利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)x=4千只，y=3千只時產(chǎn)量最大，最大利潤為37．2)x=3．2千只，y=2．8千只時利潤最大，最大利潤為36．2．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x，y)是定義在區(qū)域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元連續(xù)函數(shù)，f(0，0)=一1，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、計算積分所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、判定下列級數(shù)和斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：1)收斂2)當(dāng)a=1時發(fā)散；a≠1時收斂3)收斂4)收斂．知識點解析：暫無解析28、求下列冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、求初值問題的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程求f(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(u)=C1eu+C2e－u知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、若f′(χ)＝sinχ，則f(χ)的原函數(shù)之一是【】A、1＋sinχB、1－sinχC、1＋cosχD、1－cosχ標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析2、設(shè)函數(shù)f(χ)連續(xù)，F(xiàn)(χ)＝f(t)dt，則F′(χ)＝【】A、f(χ2)－f(e-χ)B、f(χ2)＋f(e－χ)C、2χf(χ2)－e-χf(e-χ)D、2χf(χ2)＋e-χf(e-χ)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析3、設(shè)f(χ)，φ(χ)在點χ＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且χ→0時，f(χ)是φ(χ)的高階無窮小，則χ→0時，∫0χf(t)sintdt是∫0χtφ(t)dt的()無窮小【】A、低階B、高階C、同階非等價D、等價標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析4、設(shè)f(χ)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)χ→0時，∫0f(χ)f(t)dt與χ2為等價無窮小，則f′(0)等于【】A、0B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，φ(χ)＝(χ－b).∫aχf(t)dt，則存在ξ∈(a，b)，使φ′(ξ)等于【】A、1B、0C、D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析6、設(shè)等于【】A、0B、1C、D、－1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(lnχ)＝，則∫f(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ－(1＋e－χ)ln(1＋eχ)＋C知識點解析：暫無解析9、設(shè)∫χf(χ)dχ＝ln(1＋χ)＋C，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(3χ＋χ3)＋C知識點解析：暫無解析10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(e2＋1)知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(t)dt＝χ，則f(5)＋∫05f(t)dt＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(χ)＝＋χ3∫01f(χ)dχ，則∫01f(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(χ)＝1，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點解析：暫無解析15、＝_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(χ)連續(xù)，則tf(χ2－t2)dt＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χf(χ2)知識點解析：暫無解析17、曲線y＝χeχ與直線y＝eχ所圍成圖形的面積是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識點解析：暫無解析18、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、＝_______(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、已知f(χ)的一個原函數(shù)為，求∫χf′(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜χ9＋8｜－ln｜χ｜＋C知識點解析：暫無解析25、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(χ)＝，求∫f(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)F(χ)是f(χ)的原函數(shù)，F(xiàn)(1)＝，若當(dāng)χ＞0時，f(χ)F(χ)＝，試求f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4－π知識點解析：暫無解析30、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(χ)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，試求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f′(0)知識點解析：暫無解析32、確定常數(shù)a＝_______，b＝_______，c＝_______的值，使＝c(c≠0)標(biāo)準(zhǔn)答案：1；0；知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)有定義，在x=x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則下列說法正確的是A、若則f’(x0)存在且等于A．B、若f’(x0)存在且等于A，則C、若，則f’(x0)不存在．D、若f’(x0)不存在，則標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：解答本題的關(guān)鍵是將f’(x0)的定義式與聯(lián)系來考慮．對于A：取但f(x)在x=x0處不連續(xù)，從而f’(x0)不存在．故A不對，同時也說明D不對．對于B：取顯然f’(0)存在，但不存在，故B也不對．由排除法可知，應(yīng)選C．或直接證明C正確．反證法：假設(shè)f’(x0)存在，則f(x)在x=x0處連續(xù)，那么在條件下，由洛必達(dá)法則有矛盾，所以f’(x0)不存在．2、在命題①若f(x)在x=a處連續(xù)，且｜f(x)｜在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處必可導(dǎo)，②若φ(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)=(x—a)φ(x)在x=a處必可導(dǎo)，③若φ(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a處必不可導(dǎo)，④若f(x)在x=a處連續(xù)，且存在，則f(x)在x=a處必可導(dǎo)中正確的是A、①②．B、①③．C、①②③．D、②④．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：①是正確的．設(shè)f(a)≠0，不妨設(shè)f(a)＞0，由于f(x)在x=a處連續(xù)，故存在δ＞0，當(dāng)x∈(a一δ，a+δ)時f(x)＞0，于是在此區(qū)間上f(x)≡｜f(x)｜，故f’(a)=[｜f(x)｜]’x=a存在．若f(a)＜0可類似證明．若f(a)=0，則所以由夾逼定理得②是正確的．因為③是錯誤的．由②正確即知③是錯誤的．無妨取反例：φ(x)=x2，則，即f(x)在x=a處可導(dǎo)．④也不正確．可取反例：f(x)=｜x｜，顯然f(x)在x=0處不可導(dǎo)，但綜上分析，應(yīng)選A．3、設(shè)f(x)在任意點x0∈(一2，+∞)有定義，且f(一1)=1，a為常數(shù)，若對任意x，x0∈(一2，+∞)滿足則函數(shù)f(x)在(一2，+∞)內(nèi)A、連續(xù)，但不一定可微．B、可微，且C、可微，且D、可微，且標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由題設(shè)增量等式應(yīng)得到f(x)在x=x0處可導(dǎo)，而x0又是(一2，+∞)內(nèi)任意一點，于是f(x)在(一2，+∞)內(nèi)處處可導(dǎo)，且再由f(一1)=1，即得lnC=1，解得C=e．所以在(一2，+∞)內(nèi)有表達(dá)式故應(yīng)選D．4、若極限則函數(shù)f(x)在x=a處A、不一定可導(dǎo)．B、不一定可導(dǎo)，但f+’(a)=A．C、不一定可導(dǎo)，但f-’(a)=A．D、可導(dǎo)，且f’(a)=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：只有極限存在并不能保證極限都存在，因此兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)都不一定存在，應(yīng)選A．請讀者試舉一例．5、設(shè)有多項式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又設(shè)x=x0是它的最大實根，則P’(x0)滿足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：反證法．設(shè)x0是P(x)=0的最大實根，且使0＜x一x0＜δ時P(x)＜0，又由此可見P(x)在區(qū)間必由取負(fù)值變?yōu)槿≌?，于是，使P(x1)=0，與x=x0是P(x)=0的最大實根矛盾．故應(yīng)選D．另外，該題也可以通過P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0的圖形來進(jìn)行判定．4次函數(shù)與x軸的交點有如下四種情況，由此可知P’(x0)≥0．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)則f’(1)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)=esinπx，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esinπx｜X=1=π．知識點解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義所以，所求極限為一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esinπx｜X=1=π．或把函數(shù)代入用洛必達(dá)法則求極限．8、若函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)存在，則極限=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：9f’(1)知識點解析：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成9、設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則參數(shù)λ的取值范圍為_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(3，+∞)知識點解析：由導(dǎo)數(shù)定義可求得上述根限只在λ＞1時存在，且此時f’(0)=0，于是f(x)的導(dǎo)函數(shù)為欲使f’(x)在x=0處連續(xù)，必須有而這一極限為零應(yīng)滿足λ＞3．因此，參數(shù)λ的取值范圍為(3，+∞)．(當(dāng)1＜λ≤3時不存在．)10、設(shè)則f’(t)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．知識點解析：先求出f(t)，再求f’(t)．由于所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．11、設(shè)y=y(x)由方程y=1+xexy確定，則dy｜x=0=_________，y’’｜x=0=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1；2知識點解析：根據(jù)隱函數(shù)微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)．由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx．另外，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則得到y(tǒng)’=exy+xexy(y+xy’)．①兩邊再次關(guān)于x求導(dǎo)一次，得到y(tǒng)’’=exy(x2y’’+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)，②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y(tǒng)’(0)=1，由②式得到y(tǒng)’’(0)=2．12、設(shè)y=sinx2，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)u=x3，則于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即得13、設(shè)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于正確了解復(fù)合結(jié)構(gòu)，設(shè)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即得14、設(shè)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：15、設(shè)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)=f3(x)，則f(n)(x)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2n一1)!!f2n+1(x)知識點解析：用歸納法．由f’(x)=f3(x)=1.f3(x)求導(dǎo)得f’’(x)=1.3f2(x)f’(x)=1.3f5(x)，再求導(dǎo)又得f’’’(x)=1.3.5f4(x)f’(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想f(n)(x)=1.3…(2n一1)f(2n+1)(x)=(2n—1)!!f(2n+1)(x)(n=1，2，3，…)．設(shè)n=k上述公式成立，則有f(k+1)(x)=[f(k)(x)]’=[(2k一1)!!f2k+1(x)]’=(2k一1)!!(2k+1)f2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f2k+3(x)，由上述討論可知當(dāng)n=1，2，3，…時f(n)(x)=(2n一1)!!f2n+1(x)成立．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)16、計算下列各題：標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則可得(Ⅱ)用對數(shù)求導(dǎo)法．因兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得(Ⅲ)dy=d(exsin)=exsinxd(xsinx)=exsinx[sinxdx+xd(sinx)]=exsinx(sinxdx+xcosxdx)=exsinx(sinx+xcosx)dx．(1V)知識點解析：暫無解析17、計算下列各題：(I)由方程xy=yx確定x=x(y)，求(Ⅱ)方程y-xey=1確定y=y(x)，求y’’．(Ⅲ)標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因，其中x=x(y)，將恒等式兩邊對y求導(dǎo)數(shù)得(Ⅱ)因．將恒等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得(Ⅲ)因2x—tan(x一y)=∫0x-ysec2tdt=tan(x—y)→x=tan(x一y)．將恒等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得將上式兩端再對x求導(dǎo)，又得y’’=2sin(x一y)cos(x一y).(1一y’)=sin2(x一y).cos2(x一y)．知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)有反函數(shù)g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f’’(a)=2，求g’’(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記y=f(x)．應(yīng)注意到，g(x)為f(x)的反函數(shù)，已經(jīng)改變了變量記號，為了利用反而數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，必須將g(x)改寫為g(y)．由反函數(shù)求導(dǎo)公式有f’(x)g’(y)=1，將該等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得f’’(x)g’(y)+f’(x)g’’(y)y’=0，或f’’(x)g’(y)+[f’(x)]2g’’(y)=0．注意到在上式中令x=a，應(yīng)有y=3，因此得到g’’(3)=一f’’(a)g’(3)=一2．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在x=0點的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x≠0時f(x)≠0，已知求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：所求極限為1∞型，設(shè)法利用重要極限，并與導(dǎo)數(shù)f’(0)的定義相聯(lián)系．由于因此，由復(fù)合函數(shù)的極限運算性質(zhì)，只需考慮極限由于f(0)=0，存在，故上述極限可利用極限的乘法運算求得，即有于是知識點解析：暫無解析20、設(shè)求a，b，c的值，使f’’(0)存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：為使f’’(0)存在，需f(x)，f’(x)在x=0處連續(xù)。由f(x)的連續(xù)性，有由f’(x)在x=0處的連續(xù)性，有從而可得b=1．欲使f’’(0)存在，需f-’’(0)=f+’’(0)．又知識點解析：暫無解析21、設(shè)試確定常數(shù)a，b的值，使函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(0)=f(0+0)=[9arctanx+2b(x一1)3]｜x=0=一2b，故當(dāng)一2b=2a，即a=一b時，f(x)在x=0處連續(xù)．當(dāng)a=一b時有令f-’(0)=f+’(0)，得1+2a=9+6b，與a=一b聯(lián)立可解得a=1，b=一1．綜上所述，當(dāng)a=1，b=一1時f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f’(0)=3．知識點解析：暫無解析22、曲線的切線與x軸和y軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標(biāo)為a，試求切線方程和這個圖形的面積．當(dāng)切點沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時，該面積的變化趨勢如何?標(biāo)準(zhǔn)答案：由處的切線方程為切線與x軸和y軸的交點分別為4(3a，0)和于是，△AOB的面積為當(dāng)切點沿x軸正方向趨于無窮遠(yuǎn)時，有當(dāng)切點沿y軸正方向趨于無窮遠(yuǎn)時，有知識點解析：暫無解析23、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點及其圖形的凹凸區(qū)間與拐點．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)的定義域是(一∞，1)∪(1，+∞)，且函數(shù)無奇偶性、對稱性與周期性，又從而函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的零點分別是x=0與列表討論函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖形的凹凸性如下：故函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為(一∞，0]∪(1，+∞)；單調(diào)增加區(qū)間為[0，1)；極小值點為x=0．函數(shù)圖形的凸區(qū)間為知識點解析：暫無解析24、已知f(x)=ax3+x2+2在x=0和x=一1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點和拐點．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=3ax2+2x，f’(0)=0，f’(一1)=3a一2=0，從而于是f’(x)=2x2+2x,f’’(x)=4x+2．令f’’(x)=0，得．列表討論函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(一∞