考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷3（共135題）

考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷3（共9套）（共135題）考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第1套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3)T，試討論當a，b為何值時，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3惟一地線性表示，并求出表示式；(Ⅲ)β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不惟一，并求表示式．標準答案：設有一組數(shù)x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β(*)對方程組(*)的增廣矩陣施行初等行變換：(1)當a=0，b為任意常數(shù)時，有可知r(A)≠，故方程組(*)無解，β不能由α1，α2，α3線性表示．(2)當a≠0，且a≠b時，r(A)==3，方程組(*)有唯一解：x1=1-，x2=，x3=0．故此時β可由α1，α2，α3唯一地線性表示為：β=(1-)α1+α2．(3)當a=b≠0時，對施行初等行變換：可知r(A)==2，故方程組(*)有無窮多解，通解為：x1=1-，x2=+c，3=c，其中c為任意常數(shù)．故此時β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不唯一，其表示式為β=(1-)α1+(+c)α2+α3．知識點解析：暫無解析2、求標準答案：由知識點解析：暫無解析3、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析4、試求方程ex=ax2(a＞0為常數(shù))的根的個數(shù)．標準答案：即在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個零點．知識點解析：暫無解析5、已知ξ＝是矩陣A＝的一個特征向量．(1)試確定a，b的值及特征向量考所對應的特征值；(2)問A能否相似于對角陣?說明理由．標準答案：(2)A＝的特征值為λ1＝λ2＝λ3＝－1，但矩陣－E－A＝的秩為2，從而與λ＝－1對應的線性無關特征向量(即A的線性無關特征向量)只有1個，故A不能相似于對角陣．知識點解析：暫無解析6、計算標準答案：知識點解析：暫無解析7、求微分方程y’’一a(y’)2=0(a＞0)滿足初始條件y｜x=0=0，y’｜x=0=一1的特解。標準答案：令y’=p，則將之代入原方程，得分離變量并積分由此得=ax+C1，由x=0，y=0，y’=p=一1，得C1=1，即，即故有由x=0，y=0，得C2=0，所以知識點解析：暫無解析8、計算n階行列式標準答案：對第一列展開：D=aiAi1=(-1)i+1aiMi1．Mi1=其中Gi是一個對角線元素都是-1的i-1階下三角矩陣，Hi是一個對角線元素都是x的n-i階上三角矩陣，于是Mi1=｜Gi｜｜Hi｜=(-1)i-1xn-i．代入得D=aixn-t．知識點解析：暫無解析9、設A是3階矩陣，交換A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q，使得C＝AQ．標準答案：利用矩陣初等變換與初等矩陣的關系．得知識點解析：暫無解析10、已知a，b，c不全為零，證明方程組只有零解．標準答案：因為系數(shù)行列式=-(a2+bv+c2)≠0，所以齊次方程組只有零解．知識點解析：暫無解析11、計算定積分∫-12χe－｜χ｜dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析12、高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足，已知體積減少的速度與側(cè)面積所成比例系數(shù)為0．9，問高度為130的雪堆全部融化需要多少時間(其中長度單位是cm，時間單位為h)?標準答案：得t=100，即經(jīng)過100小時全部融化．知識點解析：暫無解析設方程組有無窮多個解，α1=為矩陣A的分別屬于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．13、求A；標準答案：因為方程組有無窮多個解，所以D==a2-2a+1=0，解得a=1．令P(α1，α2，α3)=知識點解析：暫無解析14、求｜A*+3E｜．標準答案：｜A｜=2，A*對應的特征值為，即2，-1，-2，A*+3E對應的特征值為5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知識點解析：暫無解析15、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第2套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、作函數(shù)的圖形．標準答案：①定義域為(一∞，0)∪(0，+∞)，無周期性無奇偶性．y’=0的根為y"=0的根為x=一1．③列表由表可知函數(shù)的極小值點在處取得，拐點為(一1，0)．④鉛直漸近線：無斜漸近線．⑤作圖(如圖1．2—2)．知識點解析：暫無解析2、設，當a，b為何值時，存在矩陣*C，使得AC—CA=B，并求所有矩陣C．標準答案：所以，當a=一1，b=0時，系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，也就是線性方程組有解，即存在C，使AC—CA=B．又當a=一1，b=0時，知識點解析：暫無解析3、設矩陣A＝的特征值之和為1，特征值之積為－12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一個可逆矩陣P，使P-1AP＝A為對角矩陣．標準答案：由λ1＋λ2＋λ3＝a＋2＋(－2)＝1，λ1λ2λ3＝｜A｜＝2(－2a－b2)＝－12，解得a＝1，b＝2．知識點解析：暫無解析4、設f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3,f(1)=1，求∫12f(x)dx．標準答案：令2x一t=u，則原等式變?yōu)橹R點解析：暫無解析5、設f(χ)在[0，1]三階可導，且f(0)＝f(1)＝0．設F(χ)＝χ2f(χ)，求證：在(0，1)內(nèi)存在c．使得F″′(c)＝0．標準答案：由于F(0)＝F(1)＝0，F(xiàn)(χ)在[0，1]可導，則ξ1∈(0，1)，F(xiàn)′(ξ1)＝0．又F′(χ)＝χ2f′(χ)＋2χf(χ)，及由F′(0)＝0，F(xiàn)′(ξ1)＝0，F(xiàn)′(χ)在[0，1]可導，則ξ2∈(0，ξ1)使得F〞(ξ2)＝0．又F〞(χ)＝χ2f〞(χ)＋4χf′(χ)＋2f(χ)，及由F〞(0)＝F〞(ξ2)＝0，F(xiàn)〞(χ)在[0，1]可導，則c∈(0，ξ2)使得F″′(c)＝0．知識點解析：暫無解析6、設一拋物線y=ax2+bx+c過點(0，0)與(1，2)，且a＜0，確定a，b，c，使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最?。畼藴蚀鸢福阂驗榍€過原點，所以c=0，又曲線過點(1，2)，所以a+b=2，b=2-a．因為a＜0，所以b＞0，拋物線與z軸的兩個交點為0，，所以令S’(a)=0，得a=-4，從而b=6，所以當a=-4，b=6，c=0時，拋物線與x軸所圍成的面積最?。R點解析：暫無解析7、設函數(shù)f(u)有連續(xù)的一階導數(shù)，f(2)=1，且函數(shù)z=滿足，x＞0，y＞0，①求z的表達式．標準答案：初值條件是u=2時f=1．微分方程的解應該是u的連續(xù)函數(shù)，由于初值條件給在u=2處，所以f的連續(xù)區(qū)間應是包含u=2在內(nèi)的一個開區(qū)間．解式③得通解知識點解析：暫無解析8、(1)A，B為n階方陣，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析9、已知線性方程組(I)及線性方程組(Ⅱ)的基礎解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，一0，1]T求方程組(I)和(Ⅱ)的公共解．標準答案：方程組(Ⅱ)的通解為k1ξ1+k2ξ2=k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T=[一3k1一k2，7k1一2k2，2k1，k2]T．其中k1，k2是任意常數(shù)，將該通解代入方程組(I)得：3(一3k1一k2)一(7k1—2k2)+8(2k1)+k2=一16k1+16k1—3k2+3k2=0，(一3k1一k2)+3(7k1—2k2)一9(2k1)+7k2=一21k1+21k1—7k2+7k2=0，即方程組(Ⅱ)的通解均滿足方程組(I)，故(Ⅱ)的通解k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T．即是方程組(I)，(Ⅱ)的公共解．知識點解析：暫無解析10、設A為n階矩陣，λ1和λ2是A的兩個不同的特征值.x1，x2是分別屬于λ1和λ2的特征向量，試證明：x1+x2不是A的特征向量．標準答案：反證法假設x1+x2是A的特征向量，則存在數(shù)λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，則(λ—λ1)x1+(λ一λ2)x2=0．因為λ1≠λ2，所以x1，x2線性無關，則知識點解析：暫無解析11、設＝0且F可微，證明：＝z－χy．標準答案：＝0兩邊對χ求偏導得兩邊對Y求偏導得知識點解析：暫無解析設f(x)在(-a，a)(a>0)內(nèi)連續(xù)，且f'(0)=2．12、證明：對00xf(x)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]；標準答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt，顯然F(x)在[0，x]上可導，且F(0)=0，由微分中值定理．存在0<θ<1，使得F(x)=F(x)-F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]．知識點解析：暫無解析13、標準答案：知識點解析：暫無解析14、設且A～B．(1)求a；(2)求可逆矩陣P，使得P-1AP＝B．標準答案：(1)因為A～B，所以tr(A)＝tr(B)，即2＋a＋0＝1＋(－1)＋2，于是a＝0．(2)由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)(λ－2)＝0得A，B的特征值為λ1＝－1，λ2＝－1，λ3＝2．當λ＝－1時，由(－E－A)X＝0即(E＋A)X＝0得ξ1＝(0，－1，1)T；當λ＝1時，由(E－A)X＝0得ξ2＝(0，1，1)T；當λ＝2時，(2E－A)X＝0得毒ξ3＝(1，0，0)T，取P1＝，則P1-1AP1＝當λ＝－1時，由(－E－B)X＝0即(E＋B)X＝0得η1＝(0，1，2)T；當λ＝1時，由(E－B)X＝0得η2(1，0，0)T；當λ＝2時，由(2E－B)X＝0得η3＝(0，0，1)T，取P2＝，則P1-1BP2＝由P1-1AP1＝P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)＝B，取P＝P1P2-1＝，則P-1AP＝B．知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第3套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求標準答案：1；知識點解析：暫無解析2、求極限：．標準答案：知識點解析：暫無解析3、標準答案：根據(jù)迫斂定理，知識點解析：暫無解析4、在半徑為a的半球外作一外切圓錐體，要使圓錐體體積最小，問高度及底半徑應是多少?標準答案：設外切圓錐的底半徑為r，高為h．見圖4．8，記∠ABO＝φ則tanφ＝，于是圓錐體體積為求V(r)的最小值點等價于求f(r)＝的最小值點．由于因此，當時圓錐體體積最小．知識點解析：暫無解析5、設z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二階連續(xù)可偏導，求標準答案：=f’1exsiny+Zxf’2，=f’1excosy+exsiny(f’’11excosy+2yf"12)+2x(f’’21excosy+2yf’’12)=f’2excosy+知識點解析：暫無解析6、已知4×5矩陣A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均為四維列向量，α1,α2,α4線性無關，又設α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。標準答案：由于α1，α2，α4線性無關，α3=α1一α4，α5=a1+a2+a4，所以r(A)=3。由已知條件β=2α1+α2一α3+α4+α5，從而線性方程組Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)T。由α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，可知導出組Ax=0的兩個線性無關的解為ξ1=(1，0，一1，一1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，一1)T。由r(A)=3，可知齊次線性方程組Ax=0的基礎解系由兩個線性無關的解構(gòu)成，故ξ1，ξ2為Ax=0的基礎解系，方程組Ax=β的通解為x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析7、平面曲線L：繞χ軸旋轉(zhuǎn)所得曲面為S，求曲面S的內(nèi)接長方體的最大體積．標準答案：曲線L：繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面為S：＝1．根據(jù)對稱性，設內(nèi)接長方體在第一卦限的頂點坐標為M(χ．y．z)，則體積V＝8χyz．令F＝χyz＋λ(－1)，由由實際問題的特性及點的唯一性，當時，內(nèi)接長方體體積最大，最大體積為V＝ab2．知識點解析：暫無解析8、設且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣。若Q的第一列為，求a，Q。標準答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設特征值是λ1，那么知矩陣A的特征值是2，5，一4。對λ=5，由(5E—A)x=0得基礎解系α2=(1，一1，1)T。對λ=一4，由(一4E一A)x=0得基礎解系α3=(一1，0，1)T。因為A是實對稱矩陣，對應于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化α2,α3，即知識點解析：暫無解析9、設u＝u(χ，y，z)連續(xù)可偏導，令(1)若＝0，證明：u僅為θ與φ的函數(shù)．(2)若，證明：u僅為r的函數(shù)．標準答案：(1)因為＝0所以u是不含r的函數(shù)，即u僅為θ與φ的函數(shù)．從而＝t(r2cos2θcosφsinφ)＋t(r2sin2θcosφsinφ)＋t(－r2sinφcosφ)＝0，故u僅是r的函數(shù)，即u不含θ與φ．知識點解析：暫無解析10、設A為n階非零矩陣，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．標準答案：因為A2=AA可以對角化．由A2=A，得｜A｜.｜E-A｜=0，所以矩陣A的特征值為λ0，1．因為r(A)=r，所以λ=1為r重特征值，λ=0為，n-r重特征值，所以5E+A的特征值為λ=6(r重)，λ=5(n-r重)，故｜5E+A｜=5n-r×6r．知識點解析：暫無解析11、設二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩為2．(1)求a；(2)用正交變換法化二次型為標準形．標準答案：(1)A＝，因為二次型的秩為2，所以r(A)＝2，從而a＝2．(2)A＝，由｜λE－A｜＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝0．當λ＝2時，由(2E－A)X＝0得λ＝2對應的線性無關的特征向量為當λ＝0時，(0E－A)X＝0得λ＝0對應的線性無關的特征向量為α3＝因為α1，α2兩兩正交，單位化得令則f＝XTAXYT(QTAQ)Y＝2y12＋2y22．知識點解析：暫無解析已知曲線L的方程40612、討論L的凹凸性；標準答案：當t＞0時，所以曲線t在t＞0時是凸函數(shù)。知識點解析：暫無解析13、過點(一1，0)引L的切線，求切點(x0，y0)，并寫出切線的方程；標準答案：切線方程為設x0=t02+1，y0=4t0一t02，則即4t02一t02=(2一t0)(t02+2)，整理得t02+t0—2=0或者(t一1)(t0+2)=0，解之得t0=1或t0=一2，因為t0＞0，所以t0=1。此時對應的點為(2，3)，進而可得切線方程為y=x+1。知識點解析：暫無解析14、求此切線與L(對應于x≤x0的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積。標準答案：設L的方程為x=g(y)，則S=∫03g(y)一(y一1)]dy。根據(jù)t2一4t+y=0解得由于(2，3)在L上，因此可知知識點解析：暫無解析15、舉例說明邊緣密度不能確定聯(lián)合密度(以二元正態(tài)為例)．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第4套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求下列極限：標準答案：(Ⅰ)屬00型.一般方法．因此=e0=1．其中(Ⅱ)屬∞0型．因此e=e-1．(Ⅲ)屬∞0型．利用恒等變形及基本極限可得=1．20=1．知識點解析：暫無解析2、設a1=1，當n≥1時，an+1=，證明：數(shù)列{an}收斂，并求其極限值．標準答案：設f(x)=＞0，f(x)在[0，+∞)上單調(diào)增加．由a1=1＞0，可得a2=＞0．故a1＞a2＞0，又由于函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)增加，所以有f(a1)＞f(a2)＞f(0)=0．再根據(jù)遞歸定義式an+1=f(an)，可得a2＞a3＞0．類似地可以繼續(xù)得到：a1＞a2＞a3＞a4＞…＞an＞an+1＞…＞0，于是可知數(shù)列{an}單調(diào)減少且有下界0，所以數(shù)列{an}收斂．設其極限為A(A≥0)，即=A．在an+1=f(an)兩邊同取n→∞時的極限，根據(jù)函數(shù)f(x)的連續(xù)性，有A=f(A)，即A=．知識點解析：暫無解析3、設y＝，求y′．標準答案：由y＝得知識點解析：暫無解析4、設線性方程組已知(1，一1，1，一1)T是該方程組的一個解，求方程組所有的解．標準答案：將(1，一1，1，一1)T代入方程組得λ=μ．對增廣矩陣作初等行變換，有知識點解析：暫無解析5、求證：(x∈(0，1))．標準答案：改寫右端對f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]區(qū)間用柯西中值定理：余下只需證注意函數(shù)在(0，1)是單調(diào)減函數(shù)，因為原不等式成立．知識點解析：暫無解析6、求標準答案：因為知識點解析：暫無解析7、求下列函數(shù)的帶皮亞諾余項至括號內(nèi)所示階數(shù)的麥克勞林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=(x3)．(Ⅲ)f(x)=，其中a＞0(x2)．標準答案：(Ⅰ)ex=1+x++o(x3)，cosx=1－+o(x3)，相乘得知識點解析：暫無解析8、設對任意的x和y，有=4，用變量代換將f(x，y)變換成g(μ，ν)，試求滿足=μ2+ν2的常數(shù)a和b。標準答案：由題意g(μ，ν)=f(μν，(μ2一ν2))，=νf1’+μf2’，=μf1’一νf2’，因此，有=a[ν2(f1’)2+μ2(f2’)2+2μνf1’f2’]一b[μ2(f1’)2+ν2(f2’)2一2μνf1’f2’]=(aν2一bμ2)(f1’)2+(aμ2一bν2)(f2’)2+2μν(a+b)f1’f2’=μ2+ν2。利用(f1’)2+(f2’)2=4，即(f2’)2=4一(f1’)2得(a+b)(ν2一μ2)(f1’)2+2(a+b)μνf1’f2’+4aμ2一4bν2=μ2+ν2由此得a+b=0，4a=1，一4b=1，故。知識點解析：暫無解析9、設f(x)為連續(xù)正值函數(shù)，x∈[0，+∞)，若平面區(qū)域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心縱坐標等于曲線y=f(x)在[0，t]上對應的曲邊梯形面積與之和，求f(x)．標準答案：(Ⅰ)列方程．按平面圖形的形心公式，形心的縱坐標為而相應的曲邊梯形的面積為∫0tf(x)dx．見圖6．2．按題意即∫0tf2(x)dx=2[∫0tf(x)dx]2+∫0tf(x)dx(x≥0)．①(Ⅱ)轉(zhuǎn)化．將方程①兩邊求導，則方程①<=>f2(t)=4f(t)0tf(x)dx+f(t)<=>f(t)=40tf(x)dx+1②(①中令x=0，等式自然成立，不必另加條件)．f(x)實質(zhì)上是可導的，再將方程②兩邊求導，并在②中令t=0得方程①<=>方程②<=>③(Ⅲ)求解等價的微分方程的初值問題③．這是一階線性齊次方程的初值問題，兩邊同乘μ(t)=e－∫4dte－4t得[f(t)ee－4t]’=0，并由初始條件得f(t)=e4t，即f(x)=e4x．知識點解析：暫無解析10、求標準答案：知識點解析：暫無解析11、已知方程組及方程組(Ⅱ)的通解為k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T，k1，k2為任意常數(shù)．求方程組(I)，(Ⅱ)的公共解．標準答案：將方程組(Ⅱ)的通解k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T=[一2一k1+-2k2，一3+k1一k2，k1，k2]T代入方程組(I)，得化簡得k1=2k2+6．將上述關系式代入(Ⅱ)的通解，得方程組(I)，(Ⅱ)的公共解為：[一2-(2k2+6)4—2k2，一3+2k2+6一k2，2k2+6，k2]T=[一8，k2+3，2k2+6，k2]T．知識點解析：暫無解析12、設α，β是n維非零列向量，A=αβT+βαT．證明：r(A)≤2．標準答案：r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)，而r(αβT)≤r(α)=1，r(βαT)≤r(B)=1，所以r(A)≤r(αβT)+r(βαT)≤2．知識點解析：暫無解析13、設D={(x，y)｜x2+y2≤x}，求標準答案：令知識點解析：暫無解析14、求P(Z≤1/2|X=0)；標準答案：知識點解析：暫無解析15、求Z的概率密度fZ(z)．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第5套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設f(x)可導且f’’(0)=6，且標準答案：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，=e3.知識點解析：暫無解析2、標準答案：知識點解析：暫無解析3、(其中ai＞0(i＝1，2，…，n))標準答案：所以原式＝a1a2…an．知識點解析：暫無解析4、設y＝χ2e2χ，求y(n)．標準答案：用萊布尼茲法則并注意(χ2)(k)＝0(k＝3，4，…)，(e2χ)(k)＝2ke2χ，得知識點解析：暫無解析5、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且∫abf(x)dx=f(b)．求證：在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f’(ξ)=0．標準答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，由積分中值定理可知，在(a，b)內(nèi)至少存在一點c使得這就說明f(c)=f(b)．根據(jù)假設可得f(x)在[c，b]上連續(xù)，在(c，b)內(nèi)可導，故由羅爾定理知，在(c，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f’(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)(a，b)．知識點解析：暫無解析6、求函數(shù)f(χ)＝(χ∈(－∞，＋∞))的最小值．標準答案：先求導數(shù)并得駐點．由f′(χ)＝0即2χ－得唯一駐點χ＝再求由于f(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)可導，且有唯一的極小值點χ＝，因而必是最小值點，f(χ)的最小值為知識點解析：暫無解析7、在上半平面求一條凹曲線(圖6．2)，使其上任一點P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點的法線PQ長度的倒數(shù)(Q是法線與x軸的交點)，且曲線在點(1，1)處的切線與x軸平行．標準答案：若將此曲線記為y=y(x)，則依曲率計算公式，并注意曲線凹凸性的假設，即要求y’’≥0，故曲率又由于過(x，f(x))點的法線方程為X-x+y’(x)[Y-y(x)]=0，它與x軸交點Q的橫坐標X0=x+y’(x)y(x)，所以，線段的長度為這樣，由題設該曲線所滿足的微分方程及初始條件為y(1)=1，y’(1)=0．解二階方程的初值問題得y=(ex-1+e1-x)．知識點解析：暫無解析8、求曲線與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．標準答案：知識點解析：暫無解析9、設曲線(0＜a＜4)與x軸、y軸所圍成的圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V1(a)，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V2(a)，問a為何值時，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．標準答案：曲線與x軸和y軸的交點坐標分別為(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲線可化為于是V(a)=V1(a)+V2(a)=令V’(a)=，又V’’(2)＜0，所以a=2時，兩體積之和最大，且最大值為V(2)=知識點解析：暫無解析10、證明：實對稱矩陣A可逆的充分必要條件為存在實矩陣B，使得AB+BTA正定．標準答案：必要性取B=A-1，則AB+BTA=E+(A-1)TA=2E，所以AB+BTA是正定矩陣．充分性用反證法．若A不是可逆矩陣，則r(A)＜n，于是存在實向量x0≠0使得Ax0=0．因為A是實對稱矩陣，B是實矩陣，于是有x0T(AB+BTA)x0=(Ax0)TBx0+x0TBT(Ax0)=0，這與AB+BTA是正定矩陣矛盾．知識點解析：暫無解析11、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2標準答案：令F(x)=∫axf(t)dt，知識點解析：暫無解析設(X，Y)服從D={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3-y)上的均勻分布．12、求X，Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷X，Y是否獨立；標準答案：知識點解析：暫無解析13、求(X，Y)的協(xié)差陣，判斷X與Y是否相關；標準答案：知識點解析：暫無解析14、求密度函數(shù)fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)；標準答案：知識點解析：暫無解析15、求E[Y|X]和E[X|Y]．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第6套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、(Ⅰ)設f(χ)，g(χ)連續(xù)，且＝1，又φ(χ)＝0，求證：無窮小∫0φ(χ)f(t)dt～∫0φ(χ)g(t)dt(χ→a)；(Ⅱ)求ω＝ln(1＋2sint)dt／[∫0χln(1＋2sint)dt]3}．標準答案：(Ⅰ)由(Ⅱ)因ln(1＋2sinχ)－2sinχ～2χ(χ→0)，由題(Ⅰ)因此，利用等價無窮小因子替換即得ω＝＝1．知識點解析：暫無解析2、設an=A，證明：數(shù)列{an}有界．標準答案：取ε0=1，因為an=A，根據(jù)極限定義，存在N＞0，當n＞N時，有｜an-A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max(｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1}，則對一切的n，有｜an｜≤M．知識點解析：暫無解析3、已知三角形周長為2p，求出這樣一個三角形，使它繞自己的一邊旋轉(zhuǎn)時體積最大．標準答案：知識點解析：暫無解析4、求功：(Ⅰ)設半徑為1的球正好有一半沉入水中，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，問要做多少功?(Ⅱ)半徑為R的半球形水池，其中充滿了水，要把池內(nèi)的水全部取盡需做多少功?標準答案：(Ⅰ)以球心為原點，χ軸垂直向上，建立坐標系(如圖3．5)．取下半球中的微元薄片，即取小區(qū)間[χ，χ＋dχ][－1，0]，相應的球體小薄片，其重量(即體積)為，π(1－χ2)dχ，在水中浮力與重力相符，當球從水中移出時，此薄片移動距離為(1＋χ)，故需做功dω1＝(1＋χ)π(1－χ)2dχ．因此，對下半球做的功ω1＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ．取上半球中的微元薄片，即V取小區(qū)間[χ，χ＋dχ][0，1]，相應的小薄片，其重量為，π(1－χ)2d戈，當球從水中移出時，此薄片移動距離為1．所受力為重力，故需做功dω2＝π(1－χ2)dχ．因此，對上半球做的功ω2＝∫01π(1－χ2)dχ．于是，對整個球做的功為ω＝ω1＋ω2＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ＋∫01π(1－χ2)dχ＝∫-11π(1－χ2)dχ＋∫-10πχ(1－χ2)dχ(Ⅱ)建立坐標系如圖3．6．取χ為積分變量，χ∈[0，R]．[χ，χ＋dχ]相應的水薄層，看成圓柱體，其體積為π(R2－χ2)dχ，又比重ρ＝1，于是把這層水抽出需做功dω＝πχ(R2－χ2)dχ．因此，所求的功ω＝∫0Rπχ(R2－χ2)dχ＝π知識點解析：暫無解析5、計算其中D={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤2}．標準答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x2≤y≤2}，則知識點解析：暫無解析6、設一錐形貯水池，深15m，口徑20m，盛滿水，今以吸筒將水吸盡，問作多少功?標準答案：如圖1．3—4建立坐標系，取x為積分變量，[0，15]為積分區(qū)間，由圖上數(shù)據(jù)可知由此可知錐型貯水池在x處截面半徑為典型區(qū)間[x，x+dx]上所對應之體積元素知識點解析：暫無解析7、設f(x，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，證明：由方程f(x，y)=0所確定的隱函數(shù)y=φ(x)在x=a處取得極值b=φ(a)的必要條件是f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，f’y(a，b)≠0．且當r(a，b)＞0時，b=φ(a)是極大值；當r(a，b)＜0時，b=φ(a)是極小值，其中r(a，b)=．標準答案：y=φ(x)在x=a處取得極值的必要條件是φ’(a)=0．而知識點解析：暫無解析8、設f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，證明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．標準答案：先將累次積分表示成二重積分，則有I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如圖8．28，它與D’={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}關于y=x對稱．于是I=f(x)f(y)dxdy，2I==∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=[∫01f(x)dx]2，因此，I=[∫01f(x)dx]2．知識點解析：暫無解析9、用配方法化下列二次型為標準形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3標準答案：則f(x1，x2，x3)2y1x2-2y2x2+8y1x3+4y2x3=2(y1+2y3)2-2(y2-y3)2-6y32，f(x1，x2，x3)=XTAXZT(PTAP)Z=2z12-2z22-6z32知識點解析：暫無解析10、設A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩陣P，使得P一1AP=A．標準答案：(1)設(E+αβT)ξ=λξ．①左乘βT，βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ，若βTξ≠0，則λ=1+βTα=3；若βTξ=0，則由①式，λ=1．λ=1時，(E一A)X=一αβTX=一[b1，b2，…，bn]X=0．即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2，故α≠0，β≠0，設b1≠0，則ξ1=[b2，一b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，一b1，…，0]T，…，ξn一1=[bn，0，…，0，一b1]T；λ=3時，(3E一A)X=(2E一αβ)X=0，ξn=α=[a1，a2，…，an](2)取知識點解析：暫無解析11、設函數(shù)z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(χ2)，其中f可微，求的最簡表達式．標準答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)兩邊關于χ求偏導得2χ＋2z＝y(tǒng)f(z2)＋2χyzf′(z2)，知識點解析：暫無解析12、設函數(shù)f(x，y)可微，，求f(x，y)．標準答案：由，得C=0，即f(0，y)=siny．又由，得lnf(x，y)=-x+lng(y)，即f(x，y)=φ(y)e-x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e-xsiny．知識點解析：暫無解析13、設函數(shù)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．標準答案：令u=2x—t，則t=2x一u,，dt=一du，則∫0xtf(2x-t)dt=-∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xdu-∫x2xuf(u)du,于是2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=兩邊對x求導，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-[2xf(2x).2一xf(x)]=，即知識點解析：暫無解析14、X與Y的聯(lián)合概率分布標準答案：知識點解析：暫無解析15、D(X+Y)標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第7套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設隨機變量X和Y相互獨立，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，記U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(1)求V的概率密度fV(v)；(2)E(U+V)，E(UV)．標準答案：由于X和Y相互獨立，都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函數(shù)為(1)設V的分布函數(shù)為Fmin(v)，則Fmin(v)=1一[1-F(v)]2=1=e-2v，v＞0．故fV(v)=(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．知識點解析：本題考查獨立同分布條件下最大值和最小值的分布．先寫出V的分布函數(shù)，再求導得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性質(zhì)和指數(shù)分布期望的結(jié)果得到E(U+V)，E(UV)．2、已知標準答案：知識點解析：暫無解析3、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導，且f(a)=f(b)=1，證明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη－ξ[f(η)+f’(η)]=1．標準答案：設F(x)=exf(x)，由已知f(x)及ex在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，均滿足拉格朗日中值定理條件，因此，存在ξ，η∈(a，b)，使得F(B)一F(A)=ebf(b)一eaf(a)=F’(η)(b一a)=eη[f’(η)+f(η)](b一a)及eb一ea=eξ(b一a)．將以上兩式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有eη－ξ[f(η)+f’(η)]=1．知識點解析：暫無解析4、證明下列不等式：標準答案：(Ⅰ)設f(χ)＝，則f(χ)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且可見函數(shù)f(χ)在點χ＝處取得它在區(qū)間[0，1]上的最小值，又因f(0)＝f(1)＝1，故f(χ)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝f(1)＝1，從而(Ⅱ)注意0＜χ＜時，0＜χ＜tanχ＜1，則知識點解析：暫無解析5、證明：對任意的x，y∈R且x≠y，有標準答案：令f(t)=et，因為f’’(t)=et＞0，所以函數(shù)f(t)=et為凹函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)的定義，對任意的x，y∈R且x≠y，有知識點解析：暫無解析6、設A是n階矩陣，A=E+xyT，x與y都是n×1矩陣，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．標準答案：令，則B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可見B的特征值只能是0或2．因為則r(B)=1，故齊次方程組Bx=0的基礎解系由n一1個向量組成，且基礎解系是：α1=(一y2，y1，0，…，0)T，α2=(一y3，0，y1，…，0)T，…，αn-1=(一yn，0，0，…，y1)T．這正是B的關于λ=0也是A關于λ=1的n—1個線性無關的特征向量．由于B=2B，對B按列分塊，記B=(β1，β2，…，βn)，則B(β1，β2，…，βn)=2(β1，β2，…，βn)，即Bβi=2βi，可見α=(x2，x2，…，xn)T是B關于λ=2，也就是A關于λ=3的特征向量．那么A的特征值是1(n一1重)和3，特征向量分別是k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，knαn，其中k1，k2，…，kn-1不全為0，kn≠0．知識點解析：暫無解析7、求arctanx帶皮亞諾余項的5階麥克勞林公式．標準答案：由于(arctanx)’==1-x2+x4+o(x5)，由該式逐項積分即得arctanx=∫0x=∫0x(1-t2+t4)dt+o(x6)=x-x3+x5+o(x6)．知識點解析：暫無解析8、設f(x)=，求∫01x2f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析9、在橢圓x2+4y2=4上求一點，使其到直線2x+3y一6=0的距離最短．標準答案：知識點解析：暫無解析10、已知矩陣A的伴隨矩陣A*=diag(1，1，1，8)，且ABA－1=BA－1+3E，求B。標準答案：在A*=｜A｜A－1兩端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A－1｜=｜A｜3，因為A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA－1=BA－1+3E移項并提取公因式得，(A—E)BA－1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A－1得(E一A－1)B=3E。由已求結(jié)果｜A｜=2，知A－1=，E—A－1=diag(1，1，1，1)一，得(E—A－1)－1=diag(2，2，2，)，因此B=3(E—A－1)－1=diag(6，6，6，一1)。知識點解析：暫無解析11、設線性方程組為(1)討論a1，a2，a3，a4取值對解的情況的影響．(2)設a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，求此方程組的通解．標準答案：(1)增廣矩陣的行列式是一個范德蒙行列式，其值等于=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)．于是，當a1，a2，a3，a4兩兩不同時，增廣矩陣的行列式不為0，秩為4，而系數(shù)矩陣的秩為3．因此，方程組無解．如果a1，a2，a3，a4不是兩兩不同，則相同參數(shù)對應一樣的方程．于是只要看有幾個不同，就只留下幾個方程．①如果有3個不同，不妨設a1，a2，a3兩兩不同，a4等于其中之一，則可去掉第4個方程，得原方程組的同解方程組它的系數(shù)矩陣是范德蒙行列式，值等于(a1-a2)(a3-a1)(a3-a2)≠0，因此方程組有唯一解．②如果不同的少于3個，則只用留下2個或1個方程，此時方程組無窮多解．(2)此時第3，4兩個方程分別就是第1，2方程，可拋棄，得(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，它們的差(-2，0，2)T是導出組的一個非零解．本題未知數(shù)個數(shù)為3，而系數(shù)矩陣的秩為2(注意k≠0)．于是(-2，0，2)T構(gòu)成導出組的基礎解系，通解為：(-1，1，1)T+c(-2，0，2)T，c可取任意常數(shù).知識點解析：暫無解析12、設A是n階正定矩陣，證明：｜E＋A｜＞1．標準答案：因為A是正定矩陣，所以存在正交陣Q，使得QTAQ＝其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A＋E)Q＝于是｜QT(A＋E)Q｜＝｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．知識點解析：暫無解析13、設u=，其中f(s，t)二階連續(xù)可偏導，求du及標準答案：知識點解析：暫無解析設A=E=ααT，其中α為n維非零列向量．證明：14、A2=A的充分必要條件是α為單位向量；標準答案：令αTα=k，則A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+kααT，因為α為非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要條件是k=1，而αTα=｜α｜2，所以A2=A的充要條件是α為單位向量．知識點解析：暫無解析15、當α是單位向量時A為不可逆矩陣．標準答案：當α是單位向量時，由A2=A得r(A)+r(E-A)=n，因為E-A=ααT≠O，所以r(E-A)≥1，于是r(A)≤n-1＜n，故A是不可逆矩陣．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第8套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、(Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在極限xn=A，yn=B，則A＜B；(Ⅱ)設f(x)在(a，b)有定義，又c∈(a，b)使得極限=A，則f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得當0＜｜x-a｜＜δ時有界．標準答案：(Ⅰ)不正確．在題設下只能保證A≤B，不能保證A＜B．例如，xn=，yn=，則xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正確．這時只能保證：點c的一個空心鄰域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保證f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，則在(0，1)無界．(Ⅲ)正確．因為，由存在極限的函數(shù)的局部有界性使得當0＜｜x-a｜＜δ時有界．知識點解析：暫無解析2、設f(x)=求f’(x)．標準答案：當｜x｜<1時，f’(x)=當x<-1時，f’(x)=-1；當x>1時，f’(x)=1；又，則f(x)在x=-1處不連續(xù)，故也不可導．由f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0得f(x)在x=1處連續(xù)．因為所以f(x)在x=1處也不可導，知識點解析：暫無解析3、標準答案：d(x2lnx)=ln｜x2lnx｜+C．知識點解析：暫無解析4、設A為3階方陣，且有3個相異的特征值λ1，λ2，λ3，對應的特征向量依次為α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，證明：β，Aβ，A2β線性無關．標準答案：因為Aαi=λiαi(i=1，2，3)，則Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3．設存在常數(shù)k1，k2，k3，使k1β+k2Aβ+k3A2β=0，進而得(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0．由于α1,α2,α3線性無關，于是有其系數(shù)行列式故k1=k2=k3=0，所以，β，AB，A2β線性無關．知識點解析：本題考查方陣不同的特征值對應的特征向量是線性無關的性質(zhì)和向量組線性相關性的證明．5、證明：對任意的χ，y∈R且χ≠y，有標準答案：今f(t)＝et，因為f〞(t)＝et＞0，所以函數(shù)f(t)＝et為凹函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)的定義，對任意的χ，y∈R且χ≠y，有．即知識點解析：暫無解析6、設α1，α2，…，αt為AX=0的一個基礎解系，β不是AX=0的解，證明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關．標準答案：由α1，α2，…，αt線性無關β，α1，α2，…，αt線性無關，令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，∵β，α1，α2，…，αt線性無關∴k=k1=…=kt=0，∴β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關．知識點解析：暫無解析7、計算標準答案：積分區(qū)域D為扇形所以原式＝知識點解析：暫無解析8、設f(χ)在區(qū)間[0，1]上可導，f(1)＝2χ2f(χ)dχ．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．標準答案：令φ(χ)＝χ2f(χ)，由積分中值定理得f(1)＝2χ2f(χ)dχ＝c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)＝φ(1)，顯然φ(χ)在區(qū)間[0，1]上可導，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)一0．而φ′(χ)＝2χf(χ)＋χ2f′(χ)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f′(ξ)＝0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析9、設α，β都是n維列向量時，證明：①αβT的特征值為0，0，…，0，βTα．②如果α不是零向量，則α是αβT的特征向量，特征值為βTα．標準答案：記A＝αβT，則A2＝αβTαβT＝(βTα)A，于是A的特征值都滿足等式λ2＝(βTα)λ，即只可能是0和βTα．如果βTα＝0，則A的特征值都是0．如果βTα≠0，則A的所有特征值之和為tr(A)＝βTα，它們一定是n－1個為0，一個為βTα．②仍記A＝αβT，則Aα＝αβTα＝(βTα)α，因此則α是A的特征向量，特征值為βTα．知識點解析：暫無解析10、設α＝為A＝的逆矩陣A-1的特征向量．求χ，y，并求A-1對應的特征值μ．標準答案：令Aα＝μ0，即，解得μ0＝4，χ＝10，y＝－9，根據(jù)一對逆矩陣的特征值互為倒數(shù)的性質(zhì)知μ＝．知識點解析：暫無解析11、已知α=是可逆矩陣A=的伴隨矩陣A*的特征向量，特征值λ．求a，b，λ．標準答案：由A可逆知α也是A的特征向量有Aλ=λ0α．于是可如同上題，求出a，b和λ0．而λ=｜A｜／λ0．于是3+b=λ0，2+2b=λ0b，1+a+b=λ0，第1，3兩式相減a=2，從而求出｜A｜=4．由第1，2兩式得2+2b=(3+b)b，即b2+b-2=0．解得b=1或-2．當b=1時，λ0=4，λ=1，當b=-2時，λ0=I，λ=4．知識點解析：暫無解析12、設函數(shù)f(x)二階連續(xù)可導，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．標準答案：因為x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0可化為f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0，兩邊對x求導得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，則方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解為C1e-x+C2e-2x．令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一個特解為y0=axe-x，代入得a=1，則原方程的通解為f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解為f(x)=e-2x+xe-x．知識點解析：暫無解析設A，B，C，D都是n階矩陣，r(CA+DB)=n．13、證明：標準答案：因為n=r(CA+DB)=知識點解析：暫無解析14、設ξ1，ξ2，…，ξr與η1，η2，…，ηs分別為方程組AX=0與BX=0的基礎解系，證明：考ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs線性無關．標準答案：因為只有零解，從而方程組AX=0與BX=0沒有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr與η1，η2，…，ηs線性無關．知識點解析：暫無解析15、設X與Y獨立，證明：對任意實數(shù)x1，x2，y1，y2(x12；y12)，事件{x12}與事件{y12}獨立．標準答案：證明由于X與Y獨立，故(X，Y)的分布函數(shù)F(x，y)=FX(x)FY(y)，其中FX(x)，F(xiàn)T(y)分別為X，Y的邊緣分布函數(shù)，注意到P{x12，y12}=F(x2，y2)-F(x1，y2)-F知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷第9套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、證明n階行列式標準答案：記此行列式為Dn，對第1行展開，得到一個遞推公式Dn=(1－a)Dn－1+aDn－2．下面用數(shù)學歸納法證明本題結(jié)論．(1)驗證n=1，2時對：D1=1－a，D2==(1－a)2+a=1－a+a2．(2)假設對n－1和n－2結(jié)論都對，證明對n也對：Dn－1=1－a+a2－a3+…+(－a)n－1，Dn－2=1－a+a2－a3+…+(－a)n－2，則由遞推公式Dn=(1－a)Dn－1+aDn－2=Dn－1－a(Dn－1－Dn－2)=Dn－1+(－a)n=1－a+a2－a3+…+(－a)n－1+(－a)n．知識點解析：暫無解析2、設A是n階可逆矩陣，且A與A一1的元素都是整數(shù)，證明：｜A｜=±1．標準答案：由于AA一1=E，則｜A｜｜A一1｜=1．因為A的元素都是整數(shù)，所以｜A｜必是整數(shù),同理可得，｜A一1｜亦必是整數(shù)．又由于兩個整數(shù)｜A｜和｜A一1｜相乘為1，故｜A｜和｜A一1｜只能同時取值為±1．知識點解析：暫無解析3、對行滿秩矩陣Am×n，必有列滿秩矩陣Bn×m，使AB=E．標準答案：當m=n時，取B=A一1，則AB=E．當m＜n時，由r(A)=m知A中存在m個列，由它們構(gòu)成的m階子式｜A1｜≠0，A經(jīng)過適當?shù)牧械某醯茸儞Q可使A1位于A的前，n列，即有n階可逆矩陣P，使AP=(A1，A2)，其中A1為m階可逆矩陣，令顯然r(B)=r(A1一1)=m．于是B為列滿秩矩陣，且有知識點解析：暫無解析4、設f(x)在[a，b]連續(xù)，且∈[a，b]，總∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．試證：∈[a，b]，使得f(ξ)=0．標準答案：反證法．若在[a，b]上f(x)處處不為零，則f(x)在[a，b]上或恒正或恒負．不失一般性，設f(x)＞0，x∈[a，b]，則x0∈[a，b]，f(x0)=．由題設，對此x0，∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤f(x0)=f(x0)＜f(x0)，與f(x0)是最小值矛盾．因此，∈[a，b]，使f(ξ)=0．知識點解析：暫無解析5、設且f’’(0)存在，求a，b，c．標準答案：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以c=0，即f(x)=f’-(0)=f’+(0)=由f(x)在x=0處可導，得b=1，即f(x)=于是f’’-(0)=f’’+(0)=由f’’(0)存在，得a=，即a=，b=1，c=0．知識點解析：暫無解析6、設f(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)內(nèi)f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲線y=f(x)與直線x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2，求函數(shù)y=f(x)，問a為何值，此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積最小?標準答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．這是求解一階線性方程．兩邊乘積分因子(取其中一個)，得ax2+Cx，x∈[0，1]，其中C為任意常數(shù)使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)確定C與a的關系使得由y=f(x)與x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2．由已知條件