考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共273題）

考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共9套）（共273題）考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)數(shù)列則當(dāng)n→∞時(shí)，xn是A、無窮大量．B、無窮小量．C、有界變量．D、無界變量．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析2、當(dāng)x→0時(shí)，下列四個(gè)無窮小中哪一個(gè)是比其它幾個(gè)更高階的無窮小量A、x2B、1一cosxC、D、x—sinx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)其中a2+c2≠0，則必有A、b=4dB、b=一4dC、a=4cD、a=一4c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)f(x)=2x+3x一2，則當(dāng)x→0時(shí)A、f(x)與x是等價(jià)無窮?。瓸、f(x)與x是同階但非等價(jià)無窮?。瓹、f(x)是比x較高階的無窮?。瓺、f(x)是比x較低階的無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)對任意x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)·且A、存在且等于零．B、存在但不一定為零．C、一定不存在．D、不一定存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)函數(shù)f(x)=．討論f(x)的間斷點(diǎn)，其結(jié)論為A、不存在間斷點(diǎn)。B、存在間斷點(diǎn)x=1．C、存在間斷點(diǎn)x=0．D、存在間斷點(diǎn)x=一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1—x2，則φ(x)=______的定義域?yàn)開_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin(1一x2)，知識點(diǎn)解析：暫無解析8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)a是非零常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：e2a知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a＞0，a≠1)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：暫無解析12、已知當(dāng)x→0時(shí)，一1與cosx一1是等價(jià)無窮小，則常數(shù)a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、設(shè)f(x)=試求f[g(x)]和g[f(x)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：e2知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：暫無解析22、已知求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=一1，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)x1=10．(n=1，2，…)，試證數(shù)列{xn}極限存在，并求此極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：暫無解析25、討論函數(shù)f(x)=的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0為可去間斷點(diǎn),x=1為跳躍間斷點(diǎn)，x=2k(k=±1．±2，…)為無窮間斷點(diǎn)，其余點(diǎn)處連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)數(shù)列極限函數(shù)，則f(x)的定義域I和f(x)的連續(xù)區(qū)間J，分別是()A、I=(一∞，+∞)，J=(一∞，+∞)B、I=(一1，+∞)，J=(一1，1)∪(1，+∞)C、I=(一1，+∞)，J=(一1，+∞)D、I=(一1，1)，J=(一1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，當(dāng)x≤一1時(shí)，不存在，因?yàn)楫?dāng)x=一1時(shí)，無定義，則f(x)在x≤一1無定義。因此f(x)的定義域?yàn)镮=(一1，+∞)，且f(x)的連續(xù)區(qū)間是J=(一1，1)∪(1，+∞)。故選B。2、設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在x0間斷，則在點(diǎn)x0處必定間斷的函數(shù)是()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若f(x)+sinx在x=x0處連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]一sinx在x=x0連續(xù)，與已知矛盾，因此f(x)+sinx在點(diǎn)x0處必間斷。故選B。3、設(shè)f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點(diǎn)，則()A、φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)B、[φ(x)]2必有間斷點(diǎn)C、f[φ(x)]必有間斷點(diǎn)D、必有間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：取f(x)=1，x∈(一∞，+∞)，則f(x)，φ(x)滿足題設(shè)條件。由于φ[f(x)]=1，[φ(x)]2=1，f[φ(x)]=1都是連續(xù)函數(shù)，故可排除選項(xiàng)A、B、C。故選D。4、設(shè)f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()①φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)；②[φ(x)]2必有間斷點(diǎn)；③f[φ(x)]沒有間斷點(diǎn)。A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：①錯(cuò)誤。舉例：設(shè)f(x)=ex，則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)。②錯(cuò)誤。舉例：設(shè)則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)。③錯(cuò)誤。舉例：設(shè)f(x)=ex，則在x=0處間斷。故選A。5、設(shè)函數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)a，b滿足()A、a＜0，b＜0B、a＞0，b＞0C、a≤0，b＞0D、a≥0，b＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因f(x)連續(xù)，所以a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由可知x→—∞時(shí)，a+ebx如必為無窮大(否則極限必不存在)，此時(shí)需b<0。故選D。6、設(shè)函數(shù)，則()A、x=0，x=l都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)B、x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)C、x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)D、x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：顯然函數(shù)f(x)在x=0，x=1兩個(gè)點(diǎn)處無定義，因此這兩個(gè)點(diǎn)均為間斷點(diǎn)。因?yàn)?，所以x=0為第二類間斷點(diǎn)。因?yàn)?，所以x=1為第一類間斷點(diǎn)。故選D。7、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型是()A、x=1為第一類間斷點(diǎn)，x=一1為第二類間斷點(diǎn)B、x=±1均為第一類間斷點(diǎn)C、x=1為第二類間斷點(diǎn)，x=一1為第一類間斷點(diǎn)D、x=±1均為第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：分別就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1時(shí)求極限得出f(x)的分段表達(dá)式在｜x｜=1處，因所以，x=±1均為f(x)的第一類間斷點(diǎn)。故選B。8、設(shè)則()A、f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，在點(diǎn)x=一1處間斷B、f(x)在點(diǎn)x=1處間斷，在點(diǎn)x=一1處連續(xù)C、f(x)在點(diǎn)x=1，x=一1處均連續(xù)D、f(x)在點(diǎn)x=1，x=一1處均間斷標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由函數(shù)連續(xù)定義可知所以f(x)在x=1處間斷。為有界量，，則所以f(x)在x=一1處連續(xù)。故選B。9、函數(shù)在[一π，π]上的第一類間斷點(diǎn)是x=()A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：可以先找出函數(shù)的無定義點(diǎn)，再根據(jù)左、右極限判斷間斷點(diǎn)的類型。顯然函數(shù)在x=0，x=1，均無意義，而所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)。故選A。10、設(shè)函數(shù)則f(x)有()A、1個(gè)可去間斷點(diǎn)，1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)B、1個(gè)可去間斷點(diǎn)，1個(gè)無窮間斷點(diǎn)C、2個(gè)跳躍間斷點(diǎn)D、2個(gè)無窮間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：x=0，x=1時(shí)，f(x)均無定義，所以x=0，x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)，并且同理又有由可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)的定義知，x=0是可去間斷點(diǎn)，x=1是跳躍間斷點(diǎn)。故選A。11、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn)B、x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)C、x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn)D、g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)橛謌(0)=0，所以當(dāng)a=0時(shí)，有也就是說，此時(shí)g(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)；當(dāng)a≠0時(shí)，，即此時(shí)x=0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)。因此，g(x)在x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)。故選D。12、函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：已知有間斷點(diǎn)x=0，±1。因此x=0為第一類(跳躍)間斷點(diǎn)。因此x=1為可去間斷點(diǎn)。，所以x=一1是無窮間斷點(diǎn)。故選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)13、若在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在(一∞，0)及(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以需要確定參數(shù)a，使f(x)在x=0處連續(xù)。當(dāng)時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)，所以當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)。14、設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：已知f(x)在x=0處連續(xù)，則所以。15、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則A=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令函數(shù)其中g(shù)(x)，h(x)分別在[a，x0]，(x0，b]上是初等函數(shù)，因此連續(xù)，且f(x)在x0連續(xù)。所以g(x0)=h(x0)。對任意常數(shù)A，顯然x≠1時(shí)，f(x)連續(xù)。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，f(x)在x=1連續(xù)。因此，當(dāng)時(shí)，f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)。16、設(shè)函數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則c=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：由題設(shè)知，c≥｜x｜≥0，所以因此又f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則f(x)必在x=c處連續(xù)，所以有即，得c=1。17、已知函數(shù)f(x)連續(xù)，且，則f(0)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因此f(0)=2。18、設(shè)則f(x)的間斷點(diǎn)為x=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：首先對于不同的x，用求極限的方法得出f(x)的表達(dá)式，再討論f(x)的間斷點(diǎn)。當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x≠0時(shí)，有所以f(x)的表達(dá)式為由于所以x=0為f(x)的間斷點(diǎn)。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)求下列極限：19、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍宜杂蓨A逼準(zhǔn)則可知知識點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍宜杂蓨A逼準(zhǔn)則可知知識點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍宜杂蓨A逼準(zhǔn)則可知知識點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用定積分的定義可得知識點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用定積分的定義可得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用定積分的定義可得知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。25、證明xn存在，并求該極限；標(biāo)準(zhǔn)答案：0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π。由數(shù)學(xué)歸納法知0＜xn+1=sinxn≤1<π，n=1，2，…，即數(shù)列{xn}有界。于是(因當(dāng)x＞0時(shí)，sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在。設(shè)，在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：因由上題知該極限為1∞型。令t=xn，則n→∞，t→0，而又因?yàn)楣视兄R點(diǎn)解析：暫無解析27、(1)證明方程xn+xn-1+…+x=1(n為大于1的整數(shù))在區(qū)間(，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；(2)記上題中的實(shí)根為xn，證明xn存在，并求此極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)根據(jù)題意，令f(x)=xn+xn-1+…+x一1，則f(1)>0，又結(jié)合零點(diǎn)定理可得f(x)=xn+xn-1+…+x一1在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，即方程xn+xn-1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。又因?yàn)閒(x)=xn+xn-1+…+x一1在上是單調(diào)的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x一1在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。(2)由題設(shè)f(xn)=0，可知xnn+xnn-1+…+xn一1=0，進(jìn)而有xn+1n+1+xn+1n+。+…+xn+1一1=0，所以xn+1n+xn+1n+1+…+xn+1+1一1＜0，比較上面兩個(gè)式子可知xn+1＜xn，故{xn}單調(diào)遞減。又由(1)知，也即{xn}是有界的。則由單調(diào)有界收斂定理可知{xn}收斂，假設(shè)，可知a＜x2＜x1=1。當(dāng)n→∞時(shí)，有解得。知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)，數(shù)列{xn}滿足lnxn+＜1。證明xn存在，并求此極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則x<1。于是f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以x=1是f(x)唯一的最小值點(diǎn)，且f(x)≥f(1)=1，從而有。再結(jié)合題目中的條件有所以xn＜xn+1，0＜xn＜e，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞增且有界。由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知，極限存在。令而由前面討論出的函數(shù)f(x)性質(zhì)可知。知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)的可疑點(diǎn)只有x=0和x=1兩個(gè)。因?yàn)樗詘=0為可去間斷點(diǎn)，x=1為跳躍間斷點(diǎn)。知識點(diǎn)解析：暫無解析30、求函數(shù)所有的間斷點(diǎn)及其類型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)有可疑點(diǎn)x=0，x=1，x=一1，且因?yàn)樗詘=0為跳躍間斷點(diǎn)，x=1為可去間斷點(diǎn)，x=一1為無窮間斷點(diǎn)。知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且f(0)=f(x)。證明至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，1]，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：本題可以轉(zhuǎn)化為證明在區(qū)間[0，1]上存在零點(diǎn)，因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，所以在上連續(xù)。F(x)在上存在零點(diǎn)的情況可轉(zhuǎn)化為函數(shù)F(x)在上存在兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值是異號。則有于是中或全為0，或者至少有兩個(gè)值是異號的，因此由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理，存在，使得F(ξ)=0，即。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)f(x)可導(dǎo)，f(x)=0，f’(0)=2，F(xiàn)(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)是g(x)的()A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價(jià)無窮小D、同階但非等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：先改寫其中，則。故選D。2、當(dāng)x→0時(shí)，下列四個(gè)無窮小中，比其他三個(gè)高階的無窮小是()A、x2B、1一cosxC、D、x一tanx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：利用常用的等價(jià)無窮小結(jié)論。由于x→0時(shí)，，所以當(dāng)x→0時(shí)，選項(xiàng)B、C與選項(xiàng)A是同階無窮小。由排除法可知，故選D。3、當(dāng)x→0+時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0+時(shí)，有以下等價(jià)無窮小由排除法可知，故選B。4、把x→0+時(shí)的無窮小量α=∫0xcost2dt，β=∫0x2，排列起來，使排在后面的是前面一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗援?dāng)x→0+時(shí)，α是x的一階無窮小，β是x的三階無窮小，γ是x的二階無窮小。故選B。5、設(shè)x→0時(shí)，ax2+bx+c—cosx是比x2高階的無窮小，其中a，b，c為常數(shù)，則()A、a=，b=0，c=1B、a=一，b=0，c=0C、a=一，b=0，c=1D、a=，b=0，c=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題意得(ax2+bx+c-cosx)=0，得c=1，又因?yàn)樗詁=0，a=。故選C。6、設(shè)x→0時(shí)，(1+sinx)x一1是比xtanxn低階的無窮小，而xtanxn是比(esin2x一1)ln(1+x2)低階的無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，有(1+sinx)x一1=exln(1+sinx)一1～xln(1+sinx)～xsinx一x2，(esin2x一1)ln(1+x2)～sin2x·x2～x4，而xtanxn～x·xn=xn+1。因此2＜n+1＜4，則正整數(shù)n=2。故選B。7、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是比(ex2一1)高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，有1一cosx～x2，ln(1+x2)～x2，sinxn～xn，ex2一1～x2，故有(1-cosx)ln(1+x2)~x4，xsinxn~xn+1。而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2一1)高階的無窮小，知n+1＞2，即n＞1。因此正整數(shù)n=2。故選B。8、當(dāng)x→0時(shí)，ex一(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，則()A、a=，b=lB、a=1，b=1C、a=，b=一1D、a=一1，b=1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因ex=1+x++o(x2)，故ex一(ax2+bx+1)=(1一b)x+(一a)x2+o(x2)。顯然要使上式是比x2高階的無窮小(x→0時(shí))，只要故選A。9、當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=x一sinax與g(x)=x2ln(1—bx)是等價(jià)無窮小，則()A、a=1，b=一B、a=1，b=C、a=一1，b=一D、a=一1，b=標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題可以利用排除法解答，由于1n(1一bx)與一bx為等價(jià)無窮小，則所以a3=一6b，故排除B、C。另外是存在的，即滿足1—acosax→0(x→0)，故a=1，排除D。故選A。10、當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=3sinx—sin3x與cxk是等價(jià)無窮小，則()A、k=1，c=4B、k=1，c=一4C、k=3，c=4D、k=3，c=一4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由麥克勞林展開式可得由此可得k=3，c=4。故選C。11、設(shè)x→a時(shí)，f(x)與g(x)分別是x一a的n階與m階無窮小，則下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是()①f(x)g(x)是x一a的n+m階無窮??；②若n>m，則是x一a的n一m階無窮??；③若n≤m，則f(x)+g(x)是x一a的n階無窮小。A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：此類問題按無窮小階的定義要逐一分析。命題①：=>x一a時(shí)，f(x)g(x)是x一a的n+m階無窮小。命題②：若n>m，有=>x→a時(shí)，f(x)／g(x)是x一a的n—m階無窮小。命題③：例如，x→0時(shí)，sinx與一x均是x的一階無窮小，但即sinx+(一x)是x的三階無窮小。因此①②正確，③錯(cuò)誤。故選B。12、設(shè)其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4dB、b=一4dC、a=4cD、a=一4c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，由帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均為x的一階無窮小；而1—cosx，1一e-x2均為x的二階無窮小，因此有有，即a=一4c。故選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，則有又有故原式=15、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：e6知識點(diǎn)解析：將所給極限化為指數(shù)函數(shù)的形式，則有16、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，則有又有故原式=17、設(shè)a1，a2，…，am(m≥2)為正數(shù)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：max{a1，a2，…，am}知識點(diǎn)解析：不妨設(shè)a1為最大值，則原式=所以=max{a1，a2，…，am}。18、設(shè)則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識點(diǎn)解析：即a=ln2。19、數(shù)列則xn=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：利用等價(jià)無窮小因子，當(dāng)n→∞時(shí)，有所以由麥克勞林展開式ln(1+t)=t一t2+o(t2)(t→0)得20、[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因?yàn)椋援?dāng)x＞0時(shí)，；當(dāng)x＜0時(shí)，。又由，利用夾逼準(zhǔn)則可知，。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開式sinx=x一+o(x3)及常見的等價(jià)無窮小代換，得，原式知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開式ln(1+x)=x一+o(x2)可知知識點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)記23、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：即a=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、若x→0時(shí)f(x)一a與xk是同階無窮小，求常數(shù)k的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，有又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，x一sinx與x3是等價(jià)無窮小，故由題設(shè)，x→0時(shí)，f(x)一a與xk是同階無窮小，所以k=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，則而故原式=。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，則有又有故原式=。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因那么則有于是故知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開式可得原式=知識點(diǎn)解析：暫無解析30、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由洛必達(dá)法則可知所以原式=知識點(diǎn)解析：暫無解析31、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：原式知識點(diǎn)解析：暫無解析32、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：原式則即有知識點(diǎn)解析：暫無解析33、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(χ)＝則f(f[(χ)])等于()．A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：f[f(χ)]＝因?yàn)椋黤(χ)｜≤1，所以f[f(χ)]＝1，于是f{f[f(χ)]}＝1，選B．2、函數(shù)f(χ)＝｜χsinχ｜ecosχ，－∞＜χ＜＋∞是()．A、有界函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、周期函數(shù)D、偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析3、當(dāng)χ→0時(shí)，下列無窮小中，哪個(gè)是比其他三個(gè)更高階的無窮小()．A、χ2B、1－cosχC、－1D、χ－tanχ標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ→00時(shí)，1－cos～，因?yàn)樗驭郑璽anχ是比其他三個(gè)無窮小階數(shù)更高的無窮小，選D．4、當(dāng)χ→0＋時(shí)，下列無窮小中，階數(shù)最高的是()．A、ln(1＋χ2)－χ2B、＋cosχ－2C、ln(1＋t2)dtD、－1－χ2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0+時(shí)，ln(1＋χ2)－χ2～－χ4，由，得當(dāng)χ→0時(shí)，ln(1＋t2)dt～χ6，－1－χ2＝1＋χ2＋＋o(χ4)－1－χ2～，則ln(1＋t2)dt為最高階無窮小，選C．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、設(shè)f(χ)＝sinχ，f[φ(χ)]＝1－χ2，則φ(χ)＝_______，定義域?yàn)開______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin(1－χ2)；．知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)a＞0，且＝1，則a＝_______，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4；1．知識點(diǎn)解析：由＝1得b＝1，則＝1，故a＝4．7、當(dāng)χ→0時(shí)，～aχ2，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：則a＝8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：得χsin2χ＝e0＝1．11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ→0時(shí)，(χ→0)得知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤χ≤1時(shí)，0≤≤lnn(1＋χ)≤χn，積分得0≤由迫斂定理得＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)0＜a＜b＜c，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由cn≤an＋bn＋cn≤3cn得c≤因?yàn)椋?，所以＝c．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)χ→0時(shí)1－，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(χ)＝在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，且f(χ)＝0，則()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)＝在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，所以a≥0，又因?yàn)閒(χ)＝0，所以b＜0，選C．2、設(shè)a～β(χ→a)，則等于()．A、eB、e2C、1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣痢?，所以?，于是故選D．3、設(shè)函數(shù)f(χ)連續(xù)，且f′(0)＞0，則存在δ＞0使得()．A、對任意的χ∈(0，δ)有f(χ)＞f(0)B、對任意的χ∈(0，δ)有f(χ)＜f(0)C、當(dāng)χ∈(0，δ)時(shí)，f(χ)為單調(diào)增函數(shù)D、當(dāng)χ∈(0，δ)時(shí)，f(χ)是單調(diào)減函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒′(0)＞0，所以＞0，根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)χ∈(0，δ)時(shí)，有0，即f(χ)＞f(0)，選A．4、設(shè)f(χ)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y〞＋Py′＋qy＝sin2χ＋2eχ的滿足初始條件f(0)＝f′(0)＝0的特解，則當(dāng)χ→0時(shí)，()．A、不存在B、等于0C、等于1D、其他標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(0)＝f′(0)＝0，所以f′(0)＝2，于是＝1，選C．5、下列命題正確的是()．A、若｜f(χ)｜在χ＝a處連續(xù)，則f(χ)在χ＝a處連續(xù)B、若f(χ)在χ＝a處連續(xù)，則｜f(χ)｜在χ＝a處連續(xù)C、若f(χ)在χ＝a處連續(xù)，則f(χ)在χ＝a的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)D、若[f(a＋h)－f(a－h(huán))]＝0，則f(χ)在χ＝a處連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：令f(χ)＝、顯然｜f(χ)｜≡1處處連續(xù)，然而f(χ)處處間斷，A不對；令f(χ)＝顯然f(χ)在χ＝0處連續(xù)，但在任意χ＝a≠0處函數(shù)f(χ)都是間斷的，故C不對；令f(χ)＝顯然[f(0＋h)－f(0－h(huán))]＝0，但f(χ)在χ＝0處不連續(xù)，D不對；若f(χ)在χ＝a處連續(xù)，則f(χ)＝f(a)，又0≤｜｜f(χ)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(χ)－f(a)｜，根據(jù)迫斂定理，｜f(χ)｜＝｜f(a)｜，選B．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)6、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(1)＝1，則＝_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、設(shè)f(χ)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)＝0，f′(0)≠0，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：8、設(shè)f(χ)連續(xù)，且＝2，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：∫0χtf(χ－t)dt∫χ0(χ－u)f(u)(－du)＝χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du，∫0χarctan(χ－t)2dt∫χ0arctanu2(－du)＝∫0χarctanu2du，9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0時(shí)，有1－cosaχ～，則1－＝χ2，1－，原式＝＝2。11、設(shè)f(χ)可導(dǎo)且f(χ)≠0，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、設(shè)f(χ)在χ＝2處連續(xù)，且＝－1，則曲線y＝f(χ)在(2，f(2))處的切線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y－(χ－2)知識點(diǎn)解析：由得f(2)＝，且f′(2)＝，則曲線y＝f(χ)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－(χ－2)．13、當(dāng)χ→0時(shí)，－1～cos2χ－1，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣帧?時(shí)，，cos2χ－1一(cosχ＋1)(cosχ－1)～－χ2，且－1～cos2χ－1，所以a＝－3．14、設(shè)f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：，因?yàn)楹瘮?shù)f(χ)在z一0處連續(xù)，所以a＝．15、設(shè)f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：f(0＋0)＝＝－2,(0)＝f(0一0)＝a，因?yàn)閒(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以a＝－2．16、設(shè)f(χ)＝＝0，在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1；1．知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以a＋4b＝3＝2b＋1，解得a＝－1，b＝1．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)17、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點(diǎn)并指出其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先f(χ)＝其次f(χ)的間斷點(diǎn)為χ＝kπ((k＝0，±1，…)，因?yàn)閒(χ)＝e，所以χ＝0為函數(shù)f(χ)的第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)，χ＝kπ(k＝±1，…)為函數(shù)f(χ)的第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求函數(shù)y＝ln(χ＋)的反函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(χ)＝ln(χ＋)，因?yàn)閒(－χ)＝＝－f(χ)，所以函數(shù)y＝ln(χ＋)為奇函數(shù)，于是即函數(shù)y＝ln(χ＋)的反函數(shù)為χ＝shy．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ∈[1，2]時(shí)有1≥，則1≥dχ，當(dāng)χ∈[2，3]時(shí)有……當(dāng)χ∈[n，n＋1]時(shí)有從而有1＋＝ln(n＋1)．又當(dāng)χ∈E[1，2]時(shí)，當(dāng)χ∈[2，3]時(shí)，……當(dāng)χ∈[n－1，n]時(shí)，從而有1＋＝1＋lnn故ln(n＋1)≤1＋≤1＋lnn，于是1≤由迫斂定理得知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(χ)＝a1ln(1＋χ)＋a2ln(1＋2χ)＋…＋anln(1＋nχ)，其中a1，a2，…，an為常數(shù)，且對一切χ有｜f(χ)｜≤｜eχ－1｜．證明：｜a1＋2a2＋…＋nan｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ≠0時(shí)，由｜f(χ)｜≤｜eχ－1｜得且＝1，根據(jù)極限保號性得｜a＋2a＋…＋nan｜≤1．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由迫斂定理得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(χ)可導(dǎo)且0≤f′(χ)≤(k＞0)，對任意的χn，作χn+1＝f(χn)＝(n＝0，1，2，…)，證明：χn存在且滿足方程f(χ)＝χ．標(biāo)準(zhǔn)答案：χn+1－χn＝f(χn)＝f(χn-1)－f′(χn)(χn－χn-1)，因?yàn)閒′(χ)≥0，所以χn+1－χn與χn－χn-1同號，故{χn}單調(diào)．即{χn}有界，于是χn存在，根據(jù)f(χ)的可導(dǎo)性得f(χ)處處連續(xù)，等式χn+1＝f(χn)兩邊令n→∞，得，原命題得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(χ)在[a，＋∞)上連續(xù)，且f(χ)存在，證明：f(χ)在[a，＋∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(χ)＝A，取ε0＝1，根據(jù)極限的定義，存在X0＞0，當(dāng)χ＞X0時(shí)，｜f(χ)－A｜＜1，從而有｜f(χ)｜＜｜A｜＋1．又因?yàn)閒(χ)在[a，X0]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質(zhì)，存在k＞0，當(dāng)X∈[a，X0]，有｜f(χ)｜≤k．取M＝max{｜A｜＋1，k}，對一切的χ∈[a，＋∞)，有｜f(χ)｜＜M．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，任取χi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)在[a，b]上連續(xù)，所以f(χ)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(χi)≤M(i＝1，2，…，n)，注意到ki＞0(i＝1，2，…，n)，所以有kim≤kif(χi)≤kiM(i＝1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1＋k2＋…＋kn)m≤k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)≤(k1＋k2＋…＋kn)M，即m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝即k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)＝c(≠0)，求n，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、已知，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ln(1＋aχ)＝aχ－＋o(χ2)，ebχ＝1＋bχ＋＋o(χ2)，cosχ＝1－＋o(χ2)得ln(1＋aχ)－ebχ＋cosχ＝(a－b)χ－χ2＋o(χ2)，知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(1＋χ)－(aχ＋bχ2)＝χ－＋o(χ2)－(aχ＋bχ2)＝(1－a)χ－(b＋)χ2＋o(χ2)，由＝1得χ→0時(shí)，dt～χ2于是，故a＝1，b＝－2．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、確定a，b，使得χ－(a＋bcosχ)sinχ當(dāng)χ→0時(shí)為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：令y＝χ－(a＋bcosχ)sinχ，y′＝1＋bsin2χ～(a＋bcosχ)cosχ，y〞＝bsin2χ＋sin2χ＋(a＋bcosχ)sinχ＝asinχ＋2bsin2χ，y″′＝acosχ＋4bcos2χ，顯然y(0)＝0，y〞(0)＝0，所以令y′(0)＝y(tǒng)″′(0)＝0得故當(dāng)時(shí)，χ－(a＋bcosχ)sinχ為階數(shù)盡可能高的無窮?。R點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)f(χ)連續(xù)可導(dǎo)，＝2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du，χ→0時(shí)，χ－ln(1＋χ)＝χ－得知識點(diǎn)解析：暫無解析33、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析34、f(χ)＝，求f(χ)的間斷點(diǎn)并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝k(k＝0．－1．－2．…)及χ＝1為f(χ)的間斷點(diǎn)．f(0－0)＝＝0，因?yàn)閒(0－0)≠f(0＋0)，所以χ＝0為跳躍間斷點(diǎn)；由得χ＝－2為可去間斷點(diǎn)；當(dāng)χ＝k(k＝－1，－3，－4，…)時(shí)，由f(χ)＝∞得χ＝k(k＝－1，－3，－4，…)為第二類間斷點(diǎn)；由f(χ)＝∞得χ＝1為第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、當(dāng)χ→0+時(shí)，下列無窮小中，階數(shù)最高的是()．A、ln(1＋χ2)－χ2B、＋cosχ－2C、ln(1＋t2)dtD、－1－χ2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0+時(shí)，ln(1＋χ2)－χ2～－χ4，得當(dāng)χ→0時(shí)，ln(1＋t2)dt～χ6，－1－χ2＝1＋χ2＋＋o(χ4)－1－χ2～，則ln(1＋t2)dt為最高階無窮小，選C．2、設(shè)當(dāng)χ→0時(shí)，(χ－sinχ)ln(1＋χ)是比－1高階的無窮小，而－1是比(1－cos2t)dt高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0時(shí)，－1～χn，因?yàn)閟inχ＝χ－＋o(χ3)，所以(χ－sinχ)ln(1＋χ)～，所以當(dāng)χ→0時(shí)，，于是n＝3，選C．3、f(χ)＝2χ＋3χ－2，當(dāng)χ→0時(shí)()．A、f(χ)～χB、f(χ)是χ的同階但非等價(jià)的無窮小C、f(χ)縣χ的高階無窮小D、f(χ)縣χ的低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)椋絣n2＋ln3＝ln6，所以f(χ)是χ的同階而非等價(jià)的無窮小，選B．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：注意到＝1，由洛必達(dá)法則得9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識點(diǎn)解析：11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)12、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)an＝，求an．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：因(i＝1，2，…，n)，所以再由，根據(jù)迫斂定理得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)迫斂定理得知識點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：而∫01ln(1＋χ)dχ＝χln(1＋χ)＝ln2－1＋ln2＝ln所以知識點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：所以原式知識點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)迫斂定理，知識點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：χ→0時(shí)由1－cosaχ～χ2得知識點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：則cos(sinχ)＝cosχ～χ4，故知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)χ→0時(shí)，χ(χχ－1)～χ2所以知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、若＝0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：得＝36．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)＝A，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣帧?時(shí)，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由arctanχ－＋o(χ3)得當(dāng)χ→0時(shí)，χ2(χ－arctanχ)～，知識點(diǎn)解析：暫無解析30、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(χ)＝，g(χ)＝∫0χsin2(χ－t)dt，則當(dāng)χ→0時(shí)，g(χ)是f(χ)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價(jià)的無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由得當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)～χ2，又g(χ)＝∫0χsin2(χ－t)∫χ0sin2u(－du)＝∫0χsin2udu，由，得當(dāng)χ→0時(shí)，g(χ)～χ3，故g(χ)是f(χ)的高階無窮小，應(yīng)選A．2、設(shè)f(χ)＝∫01-cosχsint2dt，g(χ)＝，則當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價(jià)無窮小D、同階但非等價(jià)的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0時(shí)，g(χ)～，所以f(χ)是g(χ)的高階無窮小，選B．3、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)χn＝(n＝1，2，…)時(shí)，＝∞，當(dāng)yn＝(n＝1，2，…)時(shí)，＝0，所以極限不存在但不是∞，選C．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：＝1．5、設(shè)a≠，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0時(shí)，9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)閟inχ－＋o(χ3)，所以當(dāng)χ→0時(shí)(1＋χ2)sinχ－χ～χ3，故故原式＝11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)12、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣帧?+時(shí)，知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(χ)＝∫0tanχarctant2dt，g(χ)＝χ→sinχ，當(dāng)χ→0時(shí)，比較這兩個(gè)無窮小的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)χ→0時(shí)，g(χ)＝χ－sinχ＝χ－，所以當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)＝∫0tanχarctant2dt與g(χ)＝χ－sinχ是同階非等價(jià)的無窮?。R點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(χ)連續(xù)，且＝e3，且f′(0)存在，求f′(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝e3得f(0)＝0，則f′(0)＝3．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，f〞(0)＝4，＝0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋?，所以f(0)＝0，f′(0)＝0，又f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)且f〞(0)＝4，所以f(χ)＝2χ2＋o(χ2)，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求(cotχ)sin3χ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、(其中ai＞0(i＝1，2，…，n))標(biāo)準(zhǔn)答案：所以原式＝a1a2…an．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析30、標(biāo)準(zhǔn)答案：由當(dāng)χ→0時(shí)，1－cosχ～χ2得知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、以下三個(gè)命題：①若數(shù)列{un|收斂于A，則其任意子數(shù)列{uni}必定收斂于A；②若單調(diào)數(shù)列{xn}的某一子數(shù)列{xni}收斂于A，則該數(shù)列必定收斂于A；③若數(shù)列{x2n}與{x2n+1}都收斂于A，則數(shù)列{xn}必定收斂于A．正確的個(gè)數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：對于命題①，由數(shù)列收斂的定義可知，若數(shù)列{un}收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，恒有|un一A|＜ε，則當(dāng)ni＞N時(shí)，恒有|uni一A|＜ε，因此數(shù)列{uni}也收斂于A，可知命題正確．對于命題②，不妨設(shè)數(shù)列{xn}為單調(diào)遞增的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一給定子數(shù)列{xni}收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)ni＞N時(shí)，恒有|xni一A|＜ε．由于數(shù)列{xn}為單調(diào)遞增的數(shù)列，對于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一ε＜xni—A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，從而|xn一A|＜ε，可知數(shù)列{xn}收斂于A因此命題正確．對于命題③，因由極限的定義可知，對于任意給定的ε＞0，必定存在自然數(shù)N1，N2，使得當(dāng)2n＞N1時(shí)，恒有|x2n一A|＜ε；當(dāng)2n+1＞N2時(shí)，恒有|x2n+1一A|＜ε．取N=max{N1，N2}，則當(dāng)n＞N時(shí)，總有|xn一A|＜ε．因此可知命題正確．故答案選擇D．2、設(shè)f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一v(x)，并設(shè)與都不存在，下列論斷正確的是()A、若不存在，則必存在B、若不存在，則必不存在C、若存在，則必不存在D、若存在，則必存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：令當(dāng)x→0時(shí)可排除(A)；令當(dāng)x→0時(shí)可排除(B)；令當(dāng)x→0時(shí)可排除(D)；對于選項(xiàng)(C)，如存在，則存在，矛盾，故此論斷正確．3、設(shè)數(shù)列{xn}和{yn}滿足則當(dāng)n→∞時(shí)，{yn}必為無窮小的充分條件是()A、{xn}是無窮小B、是無窮小C、{xn}有界D、{xn}單調(diào)遞減標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若是無窮小，則故B正確．若取y=1，則滿足且{xn}在n→∞時(shí)是無窮小、有界、單調(diào)遞減的，但{yn}不是無窮小，排除A，C，D．4、設(shè)f(x)是偶函數(shù)，φ(x)是奇函數(shù)，則下列函數(shù)(假設(shè)都有意義)中，是奇函數(shù)的是()A、f[φ(x)]B、f[f(x)]C、φ[f(x)]D、φ[φ(x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函數(shù)，有g(shù)(一x)=φ[φ(一x)]=φ[一φ(x)]=一φ[φ(x)]=一g(x)，因此φ[φ(x)]為奇函數(shù)．同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[f(x)]均為偶函數(shù)．答案選(D)．5、設(shè)f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，則在區(qū)間內(nèi)()A、f(x)是增函數(shù)，φ(x)是減函數(shù)B、f(x)，φ(x)都是減函數(shù)C、f(x)是減函數(shù)，φ(x)是增函數(shù)D、f(x)，φ(x)都是增函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：在內(nèi)，sinx是增函數(shù)，cosx是減函數(shù)．任取且x1＜x2，有cosx1＞cosx2，所以sin(cosx1)＞sin(cosx2)，即f(x)是減函數(shù)；由于sinx1＜sinx2，所以cos(sinx1)＞cos(sinx2)，即φ(x)是減函數(shù)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)6、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：na知識點(diǎn)解析：令x=一1，則f(1)=f(一1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)一f(一1)=2f(1)=2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=na．當(dāng)n=1，2，3時(shí)，已知或者已證．假設(shè)n=k時(shí)，有f(k)=ka．當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a(k+1)a，故對一切正整數(shù)n，有f(n)=na，令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0．a(chǎn)，又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負(fù)整數(shù)n有f(n)=一f(一n)=一(一na)=na．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．7、對充分大的一切x，給出以下5個(gè)函數(shù)：100x，log10x100，e10x，x1010，則其中最大的是______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)x充分大時(shí)，有重要關(guān)系：eαx＞＞xβ＞＞lnγx,其中α，β，γ＞0，故本題填8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)10、設(shè)求f[g(x)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查分段函數(shù)的復(fù)合方法．下面用解析法求解．首先，廣義化為由g(x)的表達(dá)式知，若g(x)≤0，即{x|2ex一1≤0}∩{x|x≤0}或{x|x2一1≤0)∩{|x＞0}，而{x|2ex一1≤0}∩{x|x≤0}={x|x≤一ln2}∩{x|x≤0}={x|x≤一ln2}，{x|x一1≤0}∩{x|x答應(yīng)0}={x|—1≤x≤1}∩{x|x＞0}：{x|0＜x≤1}．當(dāng)g(x)＞0，即{x|2ex一1＞0}∩{x|x≤0}或{x|x2一1＞0}∩{x|x＞0}，而{x|2ex一1＞0}∩{x|x≤0}={x|x＞一ln2)∩{x|x≤0}={x|—ln2＜x≤0}，{x|x一1＞0}∩{x|x＞0}={x|x＞1或x＜一1}∩{x|x＞0}={x|x＞1}．綜上可得知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)g(x)=ex，求f[g(x)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得到知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，故原極限=知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，ex一e-x=e-x(e2x一1)～2x，故原極限=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，ln(1+x4)～x4，故原極限=知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：這是“1∞”型未定式極限，可用公式計(jì)算(事實(shí)上lnu=ln[1+(u一1)]～u一1(u→1))．故原式=知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=(投命題者所好，當(dāng)狗→0時(shí)，狗一sin狗～狗3)知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，etanx一esinx=esinx(etanx-sinx一1)～tanx—sinx，xsin2x～x3，故知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)海涅定理，取則原式=知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求極限：其中a≠0.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：為了在使用洛必達(dá)法則時(shí)使求導(dǎo)數(shù)變得簡單，先作變量代換，令從而知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：分子分母同乘e-x，即知識點(diǎn)解析：此題為型未定式，若用洛必達(dá)法則