新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)素養(yǎng)檢測 第六章 平面向量及其應(yīng)用

單元素養(yǎng)檢測(一)

(第六章)

(120分鐘150分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出

的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)

1.在四邊形ABCD中，BC+DA+CD=()

A.BDB.ACC.ABD.BA

【解析】選D.在四邊形ABCD中,BC+DA+CD=BC+CRDA=BD+DA=BA.

2.已矢口AABC中，AB+AC=2AD,貝！JBB-后()

A.2BDB.BCC.2ADD.0

【解析】選D.因?yàn)锳ABC中，族+正=2G,所以靠-AB+XS-AB=0,得

DB+DC=0,所以BD-DC=0.

3.已知向量a=(l,1),b=(0,2),且入a+ub=(2,8),則入-u=()

A.5B,-5C.1D.-l

【解題指南】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,得到方程組求出結(jié)果.

【解析】選D.因?yàn)閍=(1,1),b=(0,2),

所以入a+ub=(入，入+2u),

因?yàn)槿隺+ub=(2,8),所以(入，入+2口)=(2,8),

所以入=2,|1=3,所以入一(1二一1.

4.已知AABC中,D為AB上一點(diǎn)，滿足靛=2X6,且|硝=2|同，則AABC

的形狀為（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解析】選C.因?yàn)锳ABC中，D為AB上一點(diǎn)，滿足港=2A6,則AI上D瓦且

|AB|=2|CD|,如圖，延長CD到E,使麗=函則ACBE是平行四邊形,由向量

加法的平行四邊形法則，得CA+CB=CE=2CD,

則IAB|=|CE|,所以平行四邊形ACBE是矩形，

即4ABC的形狀一定為直角三角形.

5.在平行四邊形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),DE交AF于H,記

AB=a,BC=b,貝AH=()

,24,r24,

A.-a一一bB.-a+-b

5555

八2￡c2￡

C.--a+—bD.一一a一-b

5555

【解析】選B.如圖，過點(diǎn)F作BC的平行線交DE于G,則G是DE的中點(diǎn)，

JLGF=-EC=-BC,

24

所以G三一A6,則△AHDs^jHG,

4

.1_-一4―.

從而HF^-AH,所以AH=-AF,

45

__a_?]

AF=AI>+-DF=b+-a,

2

4A.1\24,

所以AH=-b+-a=-a+-b.

5k2755

6.(2019?全國卷H)已知泰=(2,3),而⑶t),|B6|=1,則靛?B<5=()

A._3B.~2C.2D.3

【解析】選C.因?yàn)锽(5=A(5-XS=(1,t-3),又因?yàn)镮Bi|=1,即l2+(t-3)2=r,

解得t=3,所以Bd=(l,0),故靛?BC=2.

7.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=bcosC且c=6,A=",

6

則AABC的面積為()

A.2A/3B.375C.4V3D.6V3

【解析】選D.在AABC中，由a二bcosC且c=6,

A=-,由正弦定理，得一J=-=2a=2bcosC,

6sinCsinA

所以c=2bsinCeosC=6.

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC,

即36=b2cos2C+b-2b2cos2C=b2(1-cos2C)

=b2sin2C,因?yàn)閟in00,所以bsinC=6,

代入2bsinCeosC=6,得cosC=-，由于0<C<n,

2

所以C=-,B=n-A-C=-,

32

所以a=ctanA=2b,

三角形的面積等于LesinB=-X2V3X6X1=673.

22

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

在AABC中，若靛?秒2且NBAC=30。，則4ABC的面積為（）

A.V3B.2V3C.—D.—

33

【解析】選C.在4ABC中，若熊?AC=2且ZBAC=30°,得

_?4A/3

IAB|IAC|cos30°=2,所以IAB||AC|=——，則AABC的面積為

3

S=-|AB||AC|sin30°=-X^^xi=—.

22323

8.在三角形ABC中，用=2,|4Q=2&，ZBAC=45°,P為線段AC上任

意一點(diǎn)，則還?說的取值范圍是（）

11

A.—,1B.—,4

L4112

*1「1.

C.0D.2

L4」L2

【解析】選B.設(shè)

AP=XAC,P‘=（1一入）Ai,0W入Wl,PB?PC=（AB-AP）?（1一入）人8=

（AB-AAC）?衣，結(jié)合題目中的條件得到原式=4（lf）（l-2入）=

4(2A2-3A+1),OWXW1,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到范圍是」，4.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分,在每小題給出

的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的

得3分,有選錯(cuò)的得0分）

9.設(shè)點(diǎn)0是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AO=OCB.BO//DB

C.族與5B共線D.AO=BO

【解析】選ABC.如圖，因?yàn)槎c方向相同，長度相等，所以A正確；

因?yàn)锽,0,D三點(diǎn)在一條直線上，所以說〃瓦,B正確；

因?yàn)锳B//CD,所以族與cb共線，C正確；

因?yàn)槊cB<5方向不同，所以鼠）*BO,D錯(cuò)誤.

10.已知a//b,|cz|=2|b|=6,則|a+卅的值可能為（）

A.3B.6C.8D.9

【解析】選AD.因?yàn)閍〃b,|a卜21bl=6,

則|。卜6,|〃=3.

當(dāng)a,b方向相同時(shí)，|Q+b|=|d|+|b|=9;

當(dāng)a,b方向相反時(shí)，|Q+“=||QH加卜3.

【易錯(cuò)警示】本題易忽略兩個(gè)向量方向相反的情形而漏解.當(dāng)兩個(gè)非零

向量共線時(shí).，如果沒有明確向量的方向相同或相反,要對(duì)兩種情形分類

討論求值.

11.在4ABC中，根據(jù)下列條件解三角形,則其中沒有兩個(gè)解的是（）

A.b=10,A=45°,B=60°

B.a=60,c=48,B=120°

C.a=7,b=5,A=75°

D.a=14,b=16,A=45°

【解析】選ABC.若b=10,A=45°,B=60°，則由正弦定理可得

a_10,求得a二竽,故AABC有一解;

sin45°sin60"

若a=60,c=48,B=120°,則由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac?cosB=8784,

求得b只有一解，故4ABC有一解;

75

若a=7,b=5,A=75°，則由正弦定理可得----一二——，求得sin

sm750sinB

_5（V6+V2）

BD-，

28

再根據(jù)b<a，可得B為銳角，故角B只有一個(gè)，故aABC有一解；

若a=14,b=16,A=45°,則由正弦定理可得一一二上,求得sinB=—,

sin450sinB7

再根據(jù)b>a,可得B>A,所以B可能是銳角也可能是鈍角，即角B有2個(gè)

值，故4ABC有兩解.

12.點(diǎn)G為AABC的重心,AB=2,BC=1,ZABC=60°,則下列等式成立的是（）

A.ZACB=90°B.BG=—

3

八一一1

C.BG?CG=-D.AG?CG=--

99

【解析】選ABCD.因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心，AB=2,BC=1,NABC=60°,

由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB?BCcos60°=3,即AC=V3,由勾股定理

逆定理，得

ZACB=90°，所以NBAC=30°.

延長BG交AC于點(diǎn)D,貝"D為AC的中點(diǎn)，CD=—,在ABCD中，BD2=BC2+CD2=-,

24

得BD§,

所以BG=-BD=—,

33

貝i]AG?CG=(BG-BA)?(BG-BC)=BG2-BG"-(BA+BC)+BA?BC=BGJ-

--?.aa.-3■a.

BG?2BD+BA?BC=BG2-BG?2?一BG+BA?BC

2

—~2BG2+2X1X—=-2X-+1—.

299

22

延長CG交AB于點(diǎn)E,則E為AB的中點(diǎn)，CE=1,CG=-CE=-

33

貝i]BG?CG=(CG-CB)?CG^CG2-CB^CG=

CG2-CB--CE=CG2-CB--?-(CA+CB)

332

=CG2-CB(CA+CB)=Oi2-(CB?CA+CB2)=—(0+1)=~.

33939

A

D

【拓展延伸】

三角形的四心與性質(zhì)

學(xué)習(xí)向量的加減法離不開三角形，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心是

三角形性質(zhì)的重要組成部分，你知道三角形“四心”的意義嗎？它們與

向量的表示是什么？下面的幾個(gè)結(jié)論也許能給同學(xué)們一點(diǎn)幫助.

一、三角形“四心”的意義

重心:三角形三邊中線的交點(diǎn).

垂心:三角形三邊高線的交點(diǎn).

外心:三角形三邊中垂線的交點(diǎn).

內(nèi)心:三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).

二、三角形“四心”的向量表示

結(jié)論1：若點(diǎn)0為/XABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足

OA?OB=OB?OC=OC?OA,

則點(diǎn)。為AABC的垂心.

證明：由蘇?OB=OB?OC,WOA?OB-OB?OC=0,即

OB?（QA-OC）=0,OB±CA.

同理可證無_L畫故0為AABC的垂心.

結(jié)論2:若點(diǎn)0為4ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足

OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,則點(diǎn)0為4ABC的垂心.

證明：由OA2+BC2=OB2+CA2,

得QA2+（OC-OB）2=OB2+（OA-OC）2,

所以6二?OC=OC?OA.

同理可證蘇,OB=OB?OC.

容易得到。/,OB=OB?OC=CX：?OA,

由結(jié)論1知0為4ABC的垂心.

結(jié)論3:若點(diǎn)G為AABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿足6X+靛+招0,則點(diǎn)G為

△ABC的重心.

證明:由GA+GB+GC=0,得岸GE+G6.

設(shè)BC邊中點(diǎn)為M,則2G加面+左，

所以-5X=2GM即點(diǎn)G在中線AM上.

設(shè)AB邊中點(diǎn)為N,同理可證G在中線CN上,故點(diǎn)G為AABC的重心.

結(jié)論4:若點(diǎn)G為aABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿足55d（而+無+及），則點(diǎn)G

3

為/XABC的重心.

證明：由5&=±（而+55+56）,得（56-5X）+（56-而）+（氏-56）=0,得

3

GA+GB+GC=0.

由結(jié)論3知點(diǎn)G為AABC的重心.

結(jié)論5:若點(diǎn)P為4ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足

0P=OA+X（I/IB|+IAC|）

B—BG

（或+入（IBAI+|BC|））,

則點(diǎn)P為AABC的內(nèi)心.

A（5

證明：由于加=0久+入（IAB|+|AC|）,

A6

可得標(biāo)=X（IAB|+|AC|）.

設(shè)與屈同方向的單位向量為e,與互同方向的單位向量為e2,則

AP=入（e,+e2）,因?yàn)閑i、e2為單位向量,所以向量e+e?在NA的平分線上.

由人＞0,知點(diǎn)P在NA的平分線上.

同理可證點(diǎn)P在NB的平分線上.

故點(diǎn)G為AABC的內(nèi)心.

結(jié)論6:若點(diǎn)。為4ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn),滿足

（OA+OB）?AB=（OB+OC）?BC=（OC+OA）?cA=0,則點(diǎn)。為△ABC的外心.

證明：因?yàn)锽A=OA-O瓦

所以（質(zhì)+而）-BA=|OA|2-|OB|2.

同理得（而+氏）-CB=|OB|2-|OC|2,（OC+QA）?AC=|OC|2-|OA|.

由題意得|詞2-I麗2=1麗2T砌2

=|醺艮|國I）所以|詞2=|麗舊國2,

得|就|=|而|=|反|.

故點(diǎn)。為AABC的外心.

注意:「示|=|函=|反|=|同2=|麗2

=]oc1（OA+OB）?AB=（OB+OC）?BC

=（OC+OA）?CA=0.

以上幾個(gè)結(jié)論不僅展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量

加減法應(yīng)用的很好典例，值得大家關(guān)注.

三、填空題（本大題共4個(gè)小題,每小題5分，共20分.把答案填在題中

的橫線上）

13.已知a=(2,—2),b=(x,2),若a?b=6,貝!Jx=.

【解析】因?yàn)閍=(2,-2),b=(x,2),所以a?b=2x-4,又因?yàn)閍?b=6,所以

2x-4=6,解得x=5.

答案:5

14.(2019?全國卷H)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若

b=6,a=2c,B=-,則aABC的面積為

3

【解析】因?yàn)閏osB12+C2廿,

Zac

又因?yàn)閎=6,a=2c,又一,可得C2=12,

3

解得C=2V3,a=4

貝IAABC的面積S=-X4V5X2V5X—=6V3.

22

答案：6jW

15.(2019?浙江高考)在AABC中,ZABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段

AC上,若NBDC=45。，則BD=,cosZABD=.

ADRD

【解析】如圖，在aABD中，由正弦定理有:-------=--------,

sinNADBsinZBAC

37r/..

而AB=4,NADB二一,KC=y/AB2+BC2-5,

4

AK

D

BC

BC3AB4“12-/2

sinZBAC=一cosNBAC=—所以BD=---.

AC5AC55

cosNABD二cos(ZBDC-ZBAC)

=cos-cosNBAC+sin—sinZBAC=^A

4410

答案:坨型

510

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosB=-,b=4,SAABC=4V2,

3

則4ABC的周長為.

【解題指南】先根據(jù)cosB=Z求出sinB,再由S&\BC=4企求出ac,最后

3

再由余弦定理可求出a2+c2,進(jìn)而可求出a,c的值，即可求出周長.

【解析】由cosB='得sinB二任，由三角形面積公式可得LesinB二

332

-ac?--4V2,

23

則ac=12①，

結(jié)合余弦定理b2=a，c2-2accosB,

1

可得16=a2+c2-2X12X則a2+c2=24@,

3

由①②聯(lián)立可得a=c=2^5,所以4ABC的周長為4舊+4.

答案:4禽+4

16.已知點(diǎn)M是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若滿足6癡-八后-2而=0,且

SAABC=入SAABM,則實(shí)數(shù)入的值是.

【解析】記2AA^I=贏，

因?yàn)锳N-AB+2AN-2A<5=0,所以BN-2NC,

乜口圖，得SABN=-S△ABC,

A3

又因?yàn)閟△ABM="SAABN,所以SAABC=3SAABM,

2

從而有人二3.

A

BNC

答案：3

四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟)

17.(10分)已知向量|a|=2,a?b=l,a在b方向上的投影為1.

(1)求向量a,b的夾角；⑵求a-b1.

【解析】⑴因?yàn)閨a|=2,a?b=l,由a在b方向上的投影為1,得—=1,

|b|

所以|=1,向量a,b的夾角9滿足cos9=--又?！闧0,n],得

\a\\b\2

0=-.

3

(2)|a-b|2-(a-b)2==a2-2a?b+b2

二4-2X1+1=3,

所以|a-b|=V3.

18.(12分)已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時(shí)，

(l)ka+b與a-3b垂直？

(2)ka+b與a-3b平行?平行時(shí)它們是同向還是反向？

【解析】由a=(l,2),b=(-3,2),得

ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),

(1)(ka+b)-L(a-3b),得(ka+b)?(a-3b)

=10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得k=19.

(2)(ka+b)//(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2),

解得k二-工，此時(shí)ka+b-,-)---(10,-4),所以方向相反.

3333

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2,NBAD=120°,動(dòng)點(diǎn)M,N滿足

BM=XBC,DN=MDC,入，PWO.

BMC

⑴當(dāng)人J時(shí)，求I而-加的值；

2

⑵若?AN--2,求-+-的值.

A〃

1

【解題指南】⑴入=u=-時(shí)，M,N分別為BC,CD的中點(diǎn)，可得

2

?而i=?京i=V3,根據(jù)模長的計(jì)算公式得到結(jié)果；

⑵根據(jù)平面向量基本定理得到威?正（好+威）?（四+而），按照向量

點(diǎn)積公式展開得到結(jié)果.

1

［解析】（1）當(dāng)人二u=-時(shí),M,N分別為BC,CD的中點(diǎn)，

2

此時(shí)易得|AM|:|AN|二V3且八I,AR的夾角為60°，則

|AM-AN|=V（AM-AN）*23

二J3-2xV3x75cos60。+3=V3.

（2）AM?（AB+BM）?（AD+DN）

=AB?AD+-AB?DN+BM?AD+BM?DN,

所以-2=2X2X（-0+2X2U+2X2入+2入X2|1X（一；）,所以4（入+

|1）=2入|1,

所以2（入+|1）=入口，故工+工二"口.

入〃入〃2

19.（12分）設(shè)向量m=（Q,b）,n=（b-2,a~2）,在ZiABC中a,b,c分別為角

A,B,C的對(duì)邊，且2csinC=（2b-a）sinB+（2a-b）sinA.

⑴求角C;

⑵若m_Ln,邊長c=2,求AABC的周長/和面積S的值.

【解析】（1）由已知可得2c2=（2b-a）b+（2a-b）a,

2+022i

即c2=b2+a2-ab,所以cosC=----------

2ab2

所以c=-.

3

(2)由題意可知m±n,可得a(b-2)+b(a-2)=0,所以a+b二ab,

由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,

貝I(a+b)2-3(a+b)-4=0,即a+b=4,

故周長為4+2=6,

面積為S=-absinC=-,4,sin-=V3.

223

20.(12分)已知在4ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向

量p=

(sinA-cosA,l-sinA),q=(2+2sinA,sinA+cosA),p與q是共線向

量,且巴WAW巴.

62

(1)求角A的大??；

(2)若sinC=2sinB,且a=V3,試判斷AABC的形狀，并說明理由.

【解析】(1)因?yàn)閜〃q,所以(sinA-cosA)(sinA+cosA)-2(1-sin

A)(1+

sinA)--COS2A_2COS2A-0,

1

所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-

2

因?yàn)榘蚖AW巴,所以巴W2AWn,

623

所以2A二^—,所以A——.

33

⑵AABC是直角三角形.理由如下：

由cosA=3及余弦定理得b2+c2-bc=3.

2

又sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b.

222222

聯(lián)立可得02+c-bc=3,解得｛b=｝所以a+b=（73）+1=4=C,

[c=2b,lc=2,

所以4ABC是直角三角形.

21.（12分）在AABC中，NABC=90°,AB=>/5,BC=1,P為4ABC內(nèi)一

點(diǎn)，ZBPC=90°.

⑴若PC=在，求PA;

2

⑵若NAPB=150。，求4ABP的面積S.

【解析】（1）因?yàn)樵?ABC中，NABC=90°,AB=JW,BC=1,所以sinZ

PBC二上二丑，可得NPBC=60°,BP=BCcos60°

BC22

因?yàn)镹PBA=90°-ZPBC=30°，所以△APB中由余弦定理，得

PA2=PB2+AB2