新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)4-2 奔馳定理及三角“四心”向量式（5題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

重難點(diǎn)4-2奔馳定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考點(diǎn)，它可以和函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、幾何等知識(shí)相結(jié)合考查。平面向量的“奔馳定理”，對(duì)于解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決與三角形面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用。常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等?！绢}型1三角形“重心”及應(yīng)用】滿分技巧常見(jiàn)重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）若SKIPIF1<0QUOTEAP=λAB+AC或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則P一定經(jīng)過(guò)三角形的重心（4）若SKIPIF1<0或QUOTEOP=OA+λABABsinB+ACACsinCSKIPIF1<0，λ∈[0,+∞)，則P一定經(jīng)過(guò)三角形的重心【例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是平面上一定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的軌跡一定通過(guò)SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】A【解析】由題意SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由于SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0邊上的中線所在直線的向量，∴動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定通過(guò)SKIPIF1<0的重心，如圖，故選A．【變式1-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定過(guò)SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心【答案】B【解析】如圖，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)在射線SKIPIF1<0上．故SKIPIF1<0的軌跡過(guò)SKIPIF1<0的重心．故選：B．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其垂足依次為SKIPIF1<0，如圖所示，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)奔馳定理就有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心，B選項(xiàng)正確.故選：B【變式1-3】（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形SKIPIF1<0的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】D【解析】記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在三角形的中線SKIPIF1<0上，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的重心.故選：D.【變式1-4】（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，如圖，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.故選：B【題型2三角形“內(nèi)心”及應(yīng)用】滿分技巧常見(jiàn)內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)，（2）AP=λABAB+AC【例2】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)D，E分別在線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且D為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的（）.A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，且D為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則可得四邊形SKIPIF1<0為菱形，即SKIPIF1<0為菱形SKIPIF1<0的對(duì)角線，所以SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的內(nèi)心故選:A【變式2-1】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0的三邊為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B【解析】在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分別取點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鄰邊作平行四邊形SKIPIF1<0，如圖，則四邊形SKIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平分線．

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分線上．同理可得SKIPIF1<0在其它兩角的平分線上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心．故選：B．【變式2-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0方向上的單位向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0方向上的單位向量，則SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的角平分線一致，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P的軌跡為SKIPIF1<0的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的內(nèi)心，故選：C.【變式2-3】（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)切圓與邊SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0，內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，由直角三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.【變式2-4】（2022·遼寧沈陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其內(nèi)心，內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】延長(zhǎng)SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn).在三角形SKIPIF1<0和三角形SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C【題型3三角形“外心”及應(yīng)用】滿分技巧常用外心向量式：O是?ABC的外心，（1）QUOTEOA=OB=OC?OA2=OB（2）OA（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OB+則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的外心.（4）若OA+OB?AB=OB【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)?？计谥校┰赟KIPIF1<0中，動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，故點(diǎn)P的軌跡過(guò)SKIPIF1<0的外心，故選：A【變式3-1】（2023·廣東佛山·佛山一中校考一模）在SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，那么動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡必通過(guò)SKIPIF1<0的（）A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心【答案】D【解析】設(shè)線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0互為相反向量，所以，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0垂直且平分線段SKIPIF1<0，因此動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是SKIPIF1<0的垂直平分線，必通過(guò)SKIPIF1<0的外心，故選：D.【變式3-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)O為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在SKIPIF1<0中，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)O為該三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】B【解析】根據(jù)題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0的一半，所以點(diǎn)O在邊AB的中垂線上，同理，點(diǎn)O在邊AC的中垂線上，所以點(diǎn)O為該三角形的外心，故選：B．【變式3-3】（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高且SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定過(guò)SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0軸正方向如圖建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，而直線SKIPIF1<0平分線段SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為線段SKIPIF1<0的垂直平分線，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定過(guò)SKIPIF1<0的外心，故選：A.【變式3-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)可得點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分線上，所以點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，故選：B【題型4三角形“垂心”及應(yīng)用】滿分技巧常見(jiàn)垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：（1）OA（2）OA（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosCSKIPIF1<0，λ∈0,+∞，則動(dòng)點(diǎn)P（4）奔馳定理推論：S?BOC:S?COA:【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【答案】C【解析】取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接OD，AM，BM，CM．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心．故選：C．【變式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故選：D.【變式4-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】D【解析】SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心.故選：D.【變式4-3】（2023·上?！じ呷兄袑W(xué)校考期中）在四面體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0不是等邊三角形，且點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0內(nèi)，則點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】D【解析】如圖，由題意可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故選：D.【變式4-4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)H是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵H是SKIPIF1<0的垂心，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【題型5奔馳定理及應(yīng)用】滿分技巧奔馳定理及其推論1、奔馳定理：O是SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=0，則SKIPIF1<02、奔馳定理推論：QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=0SKIPIF1<0，則=1\*GB3①SKIPIF1<0=2\*GB3②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0QUOTES?AOBS?ABC=zx+y+z.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．3、對(duì)于三角形面積比例問(wèn)題，常規(guī)的作法一般是通過(guò)向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案?！纠?】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值分別為（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，由面積關(guān)系可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由題可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A【變式5-1】（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有SKIPIF1<0及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有關(guān)系式SKIPIF1<0．因圖形和奔馳車的SKIPIF1<0很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足SKIPIF1<0，則O為SKIPIF1<0的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，根據(jù)平面向量基本定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平分線，同理可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，故選：B【變式5-2】（2024·江西新余·高三統(tǒng)考期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．以下命題正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則M為SKIPIF1<0的重心B．若M為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0C．若M為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0，同理，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以M為SKIPIF1<0的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為SKIPIF1<0的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正確；C選項(xiàng)，若M為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C正確；D選項(xiàng)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤.故選：ABC【變式5-3】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0的三個(gè)內(nèi)角分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則以下命題正確的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0有可能是SKIPIF1<0的重心C．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0為直角三角形【答案】AD【解析】對(duì)于A，由奔馳定理可得，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0共線，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心時(shí)，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為內(nèi)切圓半徑），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：AD.【變式5-4】（2024·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.以下命題正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對(duì)于A，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)D，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A，M，D三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，故A正確；對(duì)于B，由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，則可設(shè)SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)D，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)E，由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0是平面內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心【答案】C【解析】由題意知，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故選：C2．（2022·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在平面內(nèi)，滿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的（）A．重心，外心B．內(nèi)心，外心C．重心，內(nèi)心D．垂心，外心【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0有公共點(diǎn)SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的三條中線上，即為SKIPIF1<0的重心；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓圓心，即為SKIPIF1<0的外心綜上，點(diǎn)SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的重心，外心.故選：A3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O為△SKIPIF1<0的內(nèi)心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镺為△SKIPIF1<0的內(nèi)心，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“SKIPIF1<0”是“點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】依題意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0重心，即充分性成立；若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0重心時(shí)，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，必要性成立，故選：C.5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定過(guò)SKIPIF1<0的（）A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)【答案】C【解析】由動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0的中線，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定過(guò)SKIPIF1<0的重心.故選：C.6．（2022·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考期中）已知SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“SKIPIF1<0”為“點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心”（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】充分性：SKIPIF1<0等價(jià)于：SKIPIF1<0，等價(jià)于：SKIPIF1<0，等價(jià)于：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心；必要性：若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心，由重心性質(zhì)知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：C7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是平面上的一定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定通過(guò)SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩端同時(shí)點(diǎn)乘SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分線上，即SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的外心.故選：B.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別表示在邊SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的單位向量，可設(shè)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分線上；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別表示在邊SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的單位向量，可設(shè)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分線上；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別表示在邊SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的單位向量，可設(shè)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分線上，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心.故選：C.9．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，H為SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，O為SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0