高等數(shù)學(xué)（下）作業(yè)集

第七章測試題

一.計算題

1：求頂點為A(2,1,4),氏3,—1,2),c(5,0,6)的三角形的周長。

答案

因IABI=7(3-2Y4-(-1-1)2+(2-4)?=3

IBC|=5/(5-3)4+(0+1?+(6-2)2=y/21

\AC\=—2)—(0—1"+(6-4)2=714

故三角形的周長z=3+/H+/&.

2:已知向量a=2i+5J-Jt,B=3i+J+2瓦求：

⑴I。I和Ib

(2)4a—

A

(3)cos(a,b)?

答案

⑴Ia|="+5?+(-1)2=囪,|&|=732+l2+22=yi4

(2)4。-3,=(4i+2QJ-4Jt)-《9i+3J+6fc)=-5J+17J-lOfc

cost/fr)=2y—1X2=_9_

(3)ysoxyi42^/105

3:已知向量。={3,rn,5),b={2,4,n)o

⑴若求〃的值；

⑵若a_L4求m，”的值。

答案

⑴因a〃M故':-?得m=6,n=y.

、因aJ_b，故a?b=6+4m+5n=0,得m=—4(6+5公("為任意實數(shù)).

⑵4

4：求同時垂直于向量。=2i+3J+A和b=4i+5/+3左的單位向量。

答案

設(shè)所求單位向量為了_La且不_L瓦即有了〃(aXb),因此f=±況7又

IaX|

因aX3=221=i_2j+2"|aXb|=/l+4+4=3,所以孑=士后,一暫，外

5:已知三角形的三個頂點AQ，-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),求AABC的面積。

答案

A?={3—1,3-(-1),1-2)={2,4,—1},5?==<3—3,1—3,3—1}

UiH

={0,-2,21.所求面積5=9|笳xSC|=：24-1=1I6i-4；-4*|=/17.

||o-22(

6:說出下面曲面的名稱及曲面與Q坐標面交線的名稱：

(1)x2+4y2+16?^=64；

⑵/+4,-16/064；

⑶x2+y+于=64.

(4)爐+9丁=10?j

⑸xz+4/-16/,=0])

(6)/+/=4.

答案

⑴橢球面，橢圓；

(2)單葉雙曲面，雙曲線；

(3)球面,圓；

(4)拋物面，拋物線；

⑸橢圓錐面,兩相交直線；

(6)圓柱面,圓。

7:求滿足下列條件的平面方程：

(1)過點(1，1，D且與平面*+y-z=°平行；

N一1_.-0=芟+1

⑵過點(3，。，2)且與直線一2一—3一丁垂直；

(3)通過點(1，-1,D且垂直于兩平面H-，+Z-1=°和"+y+￡+l=0的平面。

答案

(1)解由已知條件可取所求平面得法向量為已知平面的法向量”={1，1，-1},故得所求

平面方程為—1)+(義一D+(Z—1)=。即h+3—N—1=0.

⑵解由題設(shè)可取所求平面的法向量為已知直線的方向向量“=S={2,3,1),從而得所

求方程為2(工一1)+3G+D+G—1)=0,即2H+3y+z=0.

(3)解已知兩平面的法向量Ri-(1,一1,1),“2={2.1?1),所求平面法向量"可取為

”=不義的=(-2,1,3}。從而得所求平面方程為C—2)5—1)+6+1)+3"=1)=

。即2土一y—3z—0.

8:求滿足下列條件的直線方程：

生-4_y+1_z-1

⑴過點(3,1,一2)且與直線’3-二7?一T平行；

⑵過點＜2,—3,4)且與平面工一4y+2N=1垂直；

⑶過點3,2,4)且與平面工+2Z=1和3-3Z=2平行。

答案

(1)已知直線的方向向量為$。={3,-2,1},可取所求直線的方向向量S=$6,則所求直

N-3_——1=2+_?

線方程為一廠=-2=丁?

(2)已知平面的法向量劉={1，-4,2},可取擠求直線的方向向量S=“，則所求直線方

■Z-2_y+3=z-4

程為丁—一40?。?/p>

當(dāng)訪=—8時，Hu=-7,y0==14,4=—24;

當(dāng)4=10時fXQ=11?%=22,ZQ=30f

即所求點為(-7,-14,-24)或(11,22,30).

(3)由兩已知平面的法向量的=(1?0,2},啊={0,1,—3},可取直線的方向向建

為5=次X電={-2,3.1},于是所求的直線方程為與==#=三*.

一G31

工—1_一一2=三

2

9:在直線F―=H5上求一點,便該點到平面H+2y-2之一4的距離等于3。

答案

將直線方程化為參數(shù)式夕=2，+2,*=3?,設(shè)所求點為《巧，“，石)，

對應(yīng)參數(shù)值為to，則點到平面的距離為

j_IHo十2yo—2zo—41_1

1to+1+4t0+4—6to-4|=^-|1—to|=3

^1+22+(-ZY3

即I1一￡。|=9,解得io=-8或10.

1

當(dāng)訪=-8時?說＞=-7,yQ=-14,4=一.24：

當(dāng)4=10時，XQ=11?%=22,=30f

即所求點為《一7,-14,-24)或〈U,22,30).

第七章考試題

一.單項選擇題

1:平面于向量a=｛2笈，一5,4｝的單位向量是。

(A)I7*7，7J

(B)I117

(c)(士零，千率士今)

(D)｛卷干品土制

答案

C

2：向量a=1—2]+3*與5=4i+5/+2Jt的夾角是一

n

(A)T

(B)l

K

(C)T

⑻T

答案

c

H-3_y+1_jr

3：過點M(—3,5,2)且垂直于直線：一235的平面方程是

(A)-2x+3y+5x+31=0

(B)-2x4-3jr+5z-21=0

(C)2x—3y-52+31=0

(D)2x+3>+5?-19=0

答案

A

N+1一夕-3一z-1

4：過點M(l，-1,5)且平行于直線：~i5=一3的直線方程是

z-5

工-1_y+_l=之一5

(B)~5-3~

工+1y-3z—1

(C)4-15

工一1N-5

⑻~-5^

答案

A

5:方程"+必一/=。表示的曲面是

(A)球面

(B)圓錐面

(C)橢圓拋物面

⑻柱面

答案

B

二.填空題

1：已知A(4,—1,0)，B(3,0,5),則融=_。

答案

負一?二，五

2:設(shè)。=⑶4,1),&={2,6,—2},則a—26=

答案

負一，負八，五

3:設(shè)。==(1.1，2},6-{2,2,4},則aXb=

答案

零，零，零

4:過點尸(0,-3D,Q(5,4,l)的直線方程是

答案

略

5:過點及軸的平面方程是o

答案

略

三.計算題

1:已知三角形的頂點A(9,3,2)，夙1,5,6),C(10,4,7),求三角形的三條邊長。

答案

IAB\=2-/21,|BC|=2?,|AC|=3"

2:求過點(2,2,2)同時垂直于平面一；+2-什7=0及2/一￥—2+2=0的平面方程。

答案

2x+3y+z—12=0.

3:求過點(2,2,一D且垂直于平面3H-，+Z=4的直線方程。

答案

工—2y-2z+1

3-11

fx-y+x+5=0,

4:求直線MH-8y+4z+36=0的對稱式方程及參數(shù)方程。

答案

對稱式:中=平=M

x=-4

參數(shù)式《y=_￡+3.

z=—3f+2

5：求對點Mo(4,2,l)為球心，以2為半徑的球面方程。

答案

(x-4)z+。-2)"+(之一1)'=4.

第八章測試題

一.計算題

1：已知函數(shù)f(如①—《〃+口尸，試求fGy，1十y)。

答案

于6+y)=(制+a+y)*7

2:已知函數(shù)2’”"4言試求

答案

/(x+>,+lx+y~y

\yiJH+,十三Nxy+y^+x

3:求下列函數(shù)的定義域：

(1)n=InCy2—4x+8)?

x=sin(^y)

(2)

(3)z=>/x-4yi

z=J10二獷二jt+,_1_.

(4)Vx2+y—2

答案

(1)由y-4x+8>0,得D={(x,y)|y>4x-8}

⑵D={(x,y)|工+y40}：

(3)由y>0,x--Jy=。，得D=(<x.y)|H=0,>0,y<x*}

(4)由10一"一y*》2,"+y?—2>0,得D={(x,y)|2<a?4-y,<10}

z=_L-；=4±^

4:指出函數(shù)(1)工一y(2)z的間斷點。

答案

(1)間斷點為直線工一y=0,上的所有點?

(2)間斷點為拋物線V—2,=0上的所有點?

5:求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

⑴/(x,y)=工+y—+3,求￡(1,2)?

⑵z=Q+a，,求乳;，乳「

(3)"=1!1(1+3+：/+/)，求當(dāng)二二y=N=1時，〃：+u；+心

⑷z=arctanyx*"i

(5)?~?

z=sin-cos2，

(6)yx

(7)z=ln(x+ln3)?

答案

因￡=1一笛_丁,所以/；(1,2)=1--L

\1)vx1+?yrv5

因靠=y（l+干尸?y=/（l+xy尸，故盍L=1.又因lnx=yln（l+到）,

⑵

故案=2[ln(1+矽)+rfe}從而=2[ln<1+】)得卜1+Zln2

?'______￡______'_3J="也,_a_

(3)，=1，+工+/+/，，1+工+:+,''-1+工+—+￡'當(dāng)工—，—z時,

W*~/，％=卜=:，"；=率所以（U：+"；+"：）I=參

￡=-eta小)；=-f=昌乙)

(4)

1

-.xi.Inx-1=々I-

1+x*22(14?6

（5）N；=ye^+grqf?cosxy?y=火1+即8§卬）/=，由輪換對稱性即得

z；=工（1+4cos到）e—

：十sin}(-sin為(一壬卜|cosfcosf+*卜fsoinJ

:一與cos-cos2---sin與sin義

y*yxxyx

⑺“—4+111；/y(x+lny)a

6:設(shè)z=In”當(dāng)，求全微分“k：。

答案

z；~\>dz=￡二了、dx+3二如

x(.3tr+y)ar+yX(JT+y)x2+y

7:設(shè)z=（爐+，'）鏟:求全微分ck。

答案

*=ea[2工—("+y)sinx]Zy=+；/)

dz=ew[2x—(J?+y2)sinxldx+Zye^(x8+^)dy

8:設(shè)z=f（"-y，產(chǎn)），求小嬴

答案

差=f；2H+fi^yo2xfi+泗);

ox

第=f\(-2y)+f；/工=-2yf!+xe^fi

9：設(shè)￡=/（cosy+zsinQ,求Z的各二階偏導(dǎo)數(shù)。

答案

dz

e”(cosy+xsiny+siny),-7=/(cosy+Nsiny+2sin^)

axdx

—e"(cosy+工cosy-siny)f=e*(—siny+rcosy)

*4=—e*(cosy+-rsinv),=爭:=e*《cosy+xcosy-siny)

a,3ydxdxdy

10：設(shè)由下列方程給出函數(shù)y=/（幻，求曲:

⑴書+Iny+Inx=0?

(2)x5+y=x*，

(3)e*+e*=sin(xyz).

答案

令F(x?y)=xy+lny+lnx?貝。F*=y+-9Fy-x+-

⑴xy

立■”=一2

dxFyx

(3)令FQc,y)=e*+e*—sin《卬D,網(wǎng)您=e*一^COSCJC^2)

Ay=ycosGy———

F>=e*—2xycos(iy2)，dx-/一2到8s(不嚴)

d,

z=arctan(^y),n=產(chǎn)，y=d,求空.

11：設(shè)出

答案

dz=y.%-1____工一.a產(chǎn)=2/_i_3#=5—

dxl+xfy1+d1+x51+廣

dz8g

12:設(shè)7+/=e"_yz,求*，面.

答案

令FCr,y,z)=x2+一6+丁工,則

Fx=2xfF,=2y—之一+2yz?兄=-y產(chǎn)

更=_星=2工生=一4=2第一寸+2”

2

dxFty——，'dyF*ye^—y

x=*y='十工,z=產(chǎn)(券，2?1)

13：求曲線31+=￡￡在點12,處的切線方程及法平面方程。

答案

因為工：=(1一告)'=舟蘇,〃=(1+")'=_/，*=2f,又由點

信，2,1)解出￡=1,得"=%乂=-1,*=2.所以該點切向量為T=什，一】，2卜或

取為“=(1,-4,8},于是所求切線方程為

1

工2=y-2=z-1

=-4~3~

法平面方程為(工一?1")+<-4)<y—2)+8(z—1)=。，即2H-8y+16%=1.

14:求橢球面/+2^+4"=7上點(1,1,1)處的切平面和法線方程。

答案

令F(H,yt名)=砂+2；/+4/一7?則F,—2x,F,=2y,F,=8?在點

(1?1?1)處，F(xiàn)*=2,F,=4,F,-=8,從而得法向量為n={2,4,8)或取為nt=(1,2.

4).于是所求切平面方程為(z-D+2(y-D+4(z-D=0.即工+2+2y+42=7.

X-1"V一1Z—1

法線方程為-=2=-V

15：求函數(shù)八處必=制(1-工一皿的極值。

答案

f(工，y〉=◎-x2夕-xy2

：(工

解x-方q程.組[f/=y“i—2-二y)八=0

得駐點(0,0),(0,1),(1,0),佶，y)-因/」'=-2?,/，=一2’,九尸一2工,故

在點(0,0)：A=0,B=1,C?=0,AC-B,<0,CO,0)不是極值點?

在點(0,1)：A——2,B=-1,C=0,AC—B2<0,(0,1)不是極值點?

在點(1,0)：A=0,B=-l,C=-2,AC-B1<0,(1,0)不是極值點.

在點件i■卜從口一小B=T，C-y,ACT>0,且AVO,信，是極大值點.

從而得極大值/信，y)=^.

16：設(shè)fG，y)=/+0+/+工一,+1,求其極值。

答案

f；=2z+y+1?fy=x+2y—l.

解方程組=:，得駐點工^=-1,7=1.因“=2,1,a=2.故

I5=0>

AB~Bt>0,且A>。，得極小值/(-1,1)=0；

17:在半徑為a的半球內(nèi)，求一個體積為最大的內(nèi)接長方體。

答案

設(shè)半球面的方程為并設(shè)長方體的長，寬，高分別為2H，2y.z.則體積

V=21?2,?n=4到z(0<x<a?0VyV。90Vz〈a)

現(xiàn)求V在條件J+/+/=/下的極值.作函數(shù)F=ixyz十+V+/,解方程組

凡=4yz+2Az=0

凡=4x2：+2Ay=0

B=4到+2AZ=0

,x?+y2+x2—a2=0

得惟一駐點工=,=N=/，由題意知，此時V最大.所以長方體的長、寬分別為將，商為

時,體積最大.

v3

第八章考試題

一.單項選擇題

1:函數(shù)￡忌(十"的定義域是

(A)H+，>。

(B)X>0,y>0

(Ox>0,i+y>o

(p)z+y>0

答案

C

2：函數(shù)z=&=

(A)24dx+2ydy

(B)2xy2dx+2^ydy

(C)2^+2^ydy

(D);/dx+"dy

答案

B

(A)制？―//一工

(B)x2—y2—1

(D)孑一，T

答案

D

4：函數(shù)z="_2y3_2工+1的駐點是

(A)(1,-2)

(B)(2,3)

(C)(bO)

(D)(1,-6)

答案

C

5：設(shè)*=加(1+')+",則z￡=

-J-+>

(A)n+y

1

(B)(工+?

_____1___

(C)入+獷

]

(D)(±+?

答案

C

二.填空題

L更=

1：設(shè)2=77一二，則ar-______o

答案

略

2:函數(shù)N=，5—/-4的最大值是

答案

根號五

答案

略

4：設(shè)汽必力=.（矽）7成）+4/則1）=.

答案

略

dy

5：設(shè)y=代工）由方程3y*-2"=4所確定，則此

答案

略

三.計算題

1：設(shè)2=1皿（卬汽,求dz。

答案

2:設(shè)之=+cos(x+y),求n=1,y=0,Ax=0,ltAy=0.2時加的值。

答案

0.2—0?3sinl,

3：設(shè)工=仃，求4。

答案

4(l+31n2)j

4:設(shè)N=/(“，口而"=丁’'""工’其中八“?◎》有一階偏導(dǎo)數(shù)，求說'后.

答案

2矽f；—W『：，+二

X工

5:解下列各題：

Ay

⑴設(shè)到+lny+lnx=0,求業(yè)；

(2)設(shè)1,求W,z。

dz?dz

⑶設(shè)2sin(Z+2y—3i)=x+2y-3x求法十行,

答案

一2

⑴”t

牛二z也=二

⑵也x+z,dyy(x+z)

⑶L

6:求函數(shù)*=3(工+必_/_/的極值。

答案

極大值f(l,1)=4>極小值于(一h-1)=-4.

7:某養(yǎng)殖場飼#兩種魚，若放養(yǎng)力萬尾)甲種魚，雙萬尾)乙種魚，則甲、乙兩種魚的收獲

量依次為(3一皿一電)工，(4一亞一22方，(o>0,p>0)問放入兩種魚各多少尾,可使產(chǎn)

魚量最大？

答案

應(yīng)放養(yǎng)甲種魚翁軍萬尾，乙種魚臺三舞萬尾?

第九章測試題

一.計算題

1:計算下列二重積分：

⑴』（工+y+Dda其中D為。石工（1，。<=2,

⑵^^”也心其中口為04工《1,一1《、&0,

ITdxdy

⑶4（工一切;其中D為34y44,

（4）『勾血3）宜［其中0為0.&會。.<2.

答案

⑴原式=fdr((％+y+l)dy=[傍/+G+D可產(chǎn)=

(4.+2x)dz=+=5

⑵原式=1dzic產(chǎn)產(chǎn)dy==￡(1-e-x)dr=[_x+e-x]J=e-l

(不原式=—57dx=「一加

Vo；JAJl(X-y)J3H-W】

（島-力加=［ln］總卜2］成一山3

ycos(xy2)dy=-yj^dzjzcos(oy2)d(xy2)=

原式口

（4）

--J^xsin4xdx處一?os4工+營m4工［=一金

2:利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域的對稱性,確定下列積分的值:

口（工+工廳）立

（1）p,其中D是半圓―+944,y》（h

⑵卜其中D是矩形

答案

(1)由于被積函數(shù)關(guān)于工是奇函數(shù).積分區(qū)域關(guān)于y軸對稱，所以原式=0.

(2)由于被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱，所以原式=o.

3:改變下列各積分的次序：

M/GX,y)dxi

,

far</fcxc-x

⑵L呵,仆，外如

/(xy)dy+f(1,y)d?

⑶J。Jot

答案

(1)積分區(qū)域D：，如圖9-L所示?改寫9：/4，=工，0《工&1.得

原式式可；f(19yydy

圖9-1

⑵積分區(qū)域。/W32az-&h&a,如圖9-2所示，得

原式=J：M，RfQ,y)dz

圖9-2

(3)積分區(qū)域為D=D1十5?如圖9-3所示,01：0&》《"，0《工41,

Dlt0<y<-j-(3-z),1工工43,改寫。：右《工《3-2,，0&y<1,得

原式=(dyj)(孫>)dx

4:選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺讼涤嬎阆铝卸胤e分:

cos(x+y)dxdyD：H=0,y==z

⑴可t所圍成的區(qū)域;

IT0dzd?D$%=2,y=為初

1

⑵相所圍成的區(qū)域;

2

IlycLzd^fD：x+丁4

⑶學(xué),所包圍的在第一象限中的區(qū)域;

『一W'irdy.D：x2+/=1

(4)電所圍成的區(qū)域。

答案

⑴積分區(qū)域D：O&y&x,04工=“如圖9-4所示，選擇直角坐標系項

原式=Jody/。cos(z+y)dx=J。(sin2y-sinjrJdjr=[一^cos2y4-cosy]=—2

⑵積分區(qū)域D：1&h&2,。&yE工，如圖9-5所示，選擇直角坐標系，則

原式=fdxji=Ji("一力dx=信4一片］：=23

困9-5

小選擇極坐標系，D：O&8《字，0&『42,得

原式=J^d^rsinfrdr=(fsin6d5)(jjdr)=[―8刈)信一]=/

(4)選擇極坐標系，D；0&e《2n,0<r<l.

原式=dS^e'rdr=2”?(—/e")'=-n(e-1—1)="(1—

5:利用二重積分求下列曲面所圍成的立體的區(qū)域：

(1)拋物柱面z=4一"，三個坐標面和平面2工+、=4所在第一卦限的部分;

Q9—+義+-=1?z=0.

(2)拋物柱面2y=工，平面422

答案

(1)立體在Qy面上得投影D由1=0,y=0,2a+jr=4圍成，如圖9-6所

示，0&y44—2H

V=0(4—x^cLcd,=f也(4一d間)=

支十中工=當(dāng)

(2)立體在4面上的投影為D：-2<y<l,2y<x<4-2/如圖9-7所示.

V=0(2一,一幸版的=LM；(2_y_f)dx

D

[4y-2?->5+|y+9L=1

圖9-7

第九章考試題

單項選擇題

2=

，其中D為*+丁41.

(A)3n

(B)2?

(02”

(D)〃

答案

D

2：二重積分,其中。為了"+城44.

16

(A)Tx

(B)4a

32

(0TK

(D)8“

答案

A

1=(X，y)dff,

_lk。：°a工41，O/y&H，且2</(工，y)<4((x,y)eD)

3：設(shè)°?-，則

(A)04IW2

(B)1<7<2

(C)14I44

(D)24I&4

答案

B

工，-H/Cx,y)由

4：二重積分可在極坐標系的表達式為0

(A)電/(rsin^,rcosWda

⑻/x可rcosfi)rdff

/(rsin^,rcosff)rdrdff

(0p

|/(rsin5,rcostf)drcW

(D)電

答案

C

5：二次積分工吐0視y交換次序后為。

(B)工可/(與M

(CJ：M"，，)&

(D)WK'M

答案

A

二.填空題

1：設(shè)。是工=0，，=。，/+3=1圍成的三角形區(qū)域，則下列兩個二重積分的關(guān)系是

卜工+Wda+

答案

大于

2:設(shè)D是則二重積分M在直角坐標系的二次積分為―

________O

答案

略

?ITye^^dff=

3:設(shè)D是關(guān)于工軸對稱的平面區(qū)域,則二重積分電o

答案

0

,.y）do

4:設(shè)D是圓形區(qū)域"十*42,則二重積分電在極坐標系的二次積分為

答案

略

5:設(shè)平面薄片所占有的閉區(qū)域D是工+，=2,，工工和工軸所圍成，它的面密度是"+爐

則該薄片重量的二次積分表達式為o

答案

略

三.計算題

1:求0（工+"什其中D是頂點分別為（°如如，0）和說‘冷的三角形區(qū)域。

答案

3

F

2:求卜其中D由，=工*，）=2所圍成。

答案

14

?rfCr，.

3:化二重積分出為直角坐標系下兩種不同次序的二次積分，其中D是由==°，

工+y=2,y=*圍成的。

答案

J#dx|/(x,y)dyt(間；/《xfy)dx+/(x,7)dx5

4:求曲面zu/十寸與平面N=4所圍成的立體體積。

答案

8n.

第十章測試題

一.計算題

1:計算下列對弧長的曲線積分:

⑴￡2%，L為圓周/+丁=8,

⑵上一3aL為以0(0,0),A(l,0)和以0,D為頂點的三角形的整個邊界;

=2(cosr+Esin。0=2(sint一比os±),0&E421r.

⑶為曲線”

答案

小由題設(shè)知，積分曲線的弧長S=8；t,故2dS=2S=16倡

由題設(shè)知,積分曲線弧長S=2+72,3ds=-3S=-6—3技

⑵

(3)工；=2(-sini+sint+icosO=2tcc4

yt=2(cost-cost+rsint)=2zsinfdS=Q+，'=2fdz

故jj"+/)dS=(4(1+?)?Ztdt=?+戶)山=

8［寰+%］；=161(1+21r*)

2:計算下列對坐標的曲線積分：

⑴/,一"成山是拋物線y"上從點(°，°)到J，D的一段孤；

(2)￡/^+/)&+(/-2專0的山為以4(1,1),B(3,1),C(3,5),D(l,5)為頂點的正向

矩形邊界；

(3J/ir—zd，+Hdx,r為曲線JC=r2,y=?,r=t上從，=0到，=2的一段

答案

⑴J尸"7dx=[*7巧；T

(2)積分路徑分為四個直線段：

AB：y=1(l<x<3)>BC：x=3

CD??=5(工由3變化到l)jDA：N=由5變化到1)

則原式=jj*'+Ddx+J^Cy2—6y)dy+JgCr2+25)dz+(y2-2y)dy=

jj"+l)dx+￡(y-6y)dy+((/+25)dx+Jjj—2y)dy=

一f24dx—4[)/=((注:四個積分兩國可梯消一部分)

一48—48=-96

⑶dx―2￡曲，dy—36dhdz=dz,故

原式=f⑵，-3"+產(chǎn)池=[#一+，+家工=34

3:利用格林公式計并下列曲線積分：

⑴￡-2x+/^dy?L為正向圓周一+V=4,

/、j(3工+3—4)dz+(5H—y—9)dy,L為正向橢圓周界3/+4丁=1;

(2)JL-

(3)￡(2布—3.—3y)dx+(x2—4xy3+z〉dy,L為正向圓周(工一】尸+=2.

答案

2

、因P=xy9Q=4"一23+，,12一票2—/=-2,

⑴3oxBy

。—2dzdy=-2X

原式=4K=8TT

因P=3i+y+4,Q=5工一y—9,平=券=5—1=4.故

⑵ox3y

原式=j[4dxdy=4%停^=y底t

<1

(3)因P=2y—y4—Q=x2—4叼3+2x

翳一招=3-。+2）一儂一姨—3）=5

原式=J5dLrdy=5X2K=10度

故d+Jv

4:證明下列積分與路徑無關(guān):

/J(x+2xy+2y-3)dr+(2土+爐+y+l)dw

⑴幾

工(3丁)+9初2)業(yè)++Z^y+12y^)dyi

⑵

j(2xcosy+ycosx)dr+(2ysinx-siny)dy.

⑶

答案

因為P=x+2xy+2y—39。=2了+/+y+1,雪=21+2=乎，所

(1)oy3%

給積分與路徑無關(guān).

3

/9\因為P=3%與+8到，Q=x+87y+l2y-工=3/+16xy=盥，所給

\L)dvax

積分與路徑無關(guān).

/c\因為P=2xcosy-Fy2cosxiQ=2ysinx—xzsiny,—2xsinj+2ycosx

⑶oy

患，所給積分與路徑無關(guān).

第十章考試題

單項選擇題

1：設(shè)L為工—°一&9，則（4ds=

(A)4x0

(B)6

(C)6工。

(D)4

答案

B

2：設(shè)L為曲線,=/上從AQ,D到B(0,0)的一段弧，則(產(chǎn)打=。

/J2x2dx

(A)Jo

(B)N

(cj>&

⑻工.

答案

C

3：設(shè)曲線L取順時針方向的圓周一+，2=a”為L所圍成的區(qū)域，則如反一出=_

_______0

(A)2+

⑻-2+

(0一仝

(D)癡

答案

A

4：設(shè)L是曲線y=與直線,=工所圍成區(qū)域的整個邊界曲線，八工，外是連續(xù)函數(shù)，則

<pf(工,y)ds=

JLo

3

/A.f/(X,x)dx+[f(工,x)dx

(A)J0Jo

(B)L/(“，山辦十工人如山的

ff(工，二)，1+9N4dx+ff(H,x)V2dx

(C)J。Jo

,.［/(x,H”，］+9H'+f(.x,x)V2］ir

(D)JT

答案

D

jx=R(t-sim)「

5：設(shè)L是擺線］=R(l-cos力從0(0,0)到B(2TTR,0)的_拱，則JJ2R-，)dx+Hdy=

__o

(A)-2KRZ

(B)2XR2

(c)一“a

(D)HR?

答案

A

二.填空題

(x=acos^.r

1：若L上半橢圓［=6sin取順時針方向，貝(JIN一曲的值為。

答案

略

2：設(shè)L為直線y="上從點A(0，”)到點B(3,”)的有向線段，則J/d,=。

答案

0

f(1.2)

...f(工+y)dx+/(x+y)dy=

3:設(shè)義工)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則幾曲_______。

答案

略

4：設(shè)L是圓域(工-1尸+3—4>49按順時針方向的邊界曲線，

貝岐J，-2x)<Lr+(3x+y)dy=

答案

略

5：設(shè)平面曲線)=/(°a工42)上每一點的密度等于該點到原點的距離，則該曲線的質(zhì)

量表達式O

答案

略

三.計算題

1:計算[*的一反處，其中積分路徑為

金4y一1

(1)在橢圓靛〃=上，從點AS，。)依順時針方向到點83,-6)；

b.

(2)在直線'一『一"上,從點AS，0)到點B(0，-磯

答案

(2)一曲

2:利用格林公式計算下列曲線積分：

(])￡g+'>dx+("+y)dwL.0MH/i,d《，《H的正向邊界曲線；

..6(x+3y4-^-)dr+(e*++2x)dy?L，廣，皿有足1+g=L

⑵工3,''為正向橢圓周：,皆

答案

⑴磊

(2)~nob

3：證明曲線積分：卜H+4一出+《6"必一5‘，曲與路徑無關(guān)，并求

f(H'+4xy')dz+一5y')d?

」if的值。

答案

62.

4：已知螺旋線工=acos￡,y=asint，z=&上每一點的密度等于該點到原點的距離平方，試

求曲線在部分的質(zhì)量。

答案

5：設(shè)力「=6一/"+S+sin2y)j,證明此變力作功與路徑無關(guān)，并求質(zhì)點從點A(0,0),

移動到點BQ，D力F所作的功。

答案

7sin2

T

第十一章測試題

計算題

1：寫出下列級數(shù)的前五項：

(1)§(2n-l)(2n+D，

⑵芻V薩nl’

V(一1尸

⑶+

答案

V------------=工H----1------1---=---1---i—+

⑴W(2〃-1)1(2〃+1)3T3X515X7^7X99X11

總為1+患+和系+升,

、乙)

.HE=上__++?..

(3)￡\/"n+Da5/FXT同CAXT

2:寫出下列級數(shù)的一般項：

14.11_U1

(1)1+彳+上聲+豆+…；

23,45,6

⑵12十34+5’

a2a3,a4a5,

(3)3579r'

答案

⑴%=聲'

(2)%=(一］尸中,

…=(一1產(chǎn)5

⑶2?+1

3:判斷下列級數(shù)的收斂性:

0.001+，0.001+:0.001d---F溝■而I+…;

(1)

442,4344,,“14”上

(2)亍―/+3_0+(_］)

14.3,5,7,

⑶彳+了+5百+…；

⑷佶++)+(*+余)+(送+卷)+

答案

八、因limu.=limO.OOl：==1#0,故此級數(shù)發(fā)散.

(［，L9?-*<?W*8

4

因此級數(shù)是公比lgI-=4<1的幾何級數(shù),故此級數(shù)收斂.

0

⑶因呵"吧.=】工。，故此級數(shù)發(fā)歸

⑷因春+■+壺+**是q=看V1的幾何級數(shù),收斂;

++吉+上+…與衣是gVI的幾何級數(shù)他收斂，故原級數(shù)=￡仔+a)收斂?

4:判斷下列級數(shù)的斂散性:

V1

(1)占31

y—1—

⑵幺3n2+1

⑶2卜

2"

(2n-l)3"

(4)■-1

2n+7

3"'

(5)

(6)52”

（2”+D!’

（2小

2”

（8）Xn（n+l）,

答案

⑴”?"方三,2'而￡7發(fā)散，放所給級數(shù)發(fā)散?

⑵看,而￡去收斂，故原級數(shù)收斂.

⑶“”=（舟）”=信一v（打，而￡（打收斂，

故原級數(shù)收斂.

⑷“?二京4&（打，而工信）"收斂，故原級數(shù)收斂，

⑸場皆=陽黠需=巴懸撮=/V1，故此級數(shù)收斂?

（6）%置~=蚓2荔卷字器=蚓g彳/砧幻=。VI，故此級數(shù)收斂?

2

⑺場黃心等照端以心”W

故此級數(shù)發(fā)散.

lim竽=2與差注譽產(chǎn)）=lim鼻=2>1，故此級數(shù)發(fā)散?

（8）l8uttL82+］）—8n+Z

5:判定下列級數(shù)哪些是絕對收斂，哪些是條件收斂：

G（一1尸

⑴與（2n+D”

W牛

⑵*】n*

8.

sin2n

S—,

答案

⑴因1-口西/<芬而￡與收斂,故￡f1收斂,

所以原級數(shù)絕對收斂.

(一1尸4'P=/V1'故它(jz-發(fā)散.

⑵a'"°?-1n

但所給級數(shù)為交錯級數(shù)?"小=丁+',<4=擊，

且lim“.=0,由萊布尼茲審斂法知，原級數(shù)收斂，從面知原級數(shù)是條件收斂的.

L8

⑶因|竽卜去,而宮去收斂，故原級數(shù)絕對收斂.

6:求下列幕級數(shù)的收斂區(qū)間:

&獲TT門

⑴

⑵

產(chǎn)

⑶2⑵%

答案

P3,+411時喝錯收斂，

R也向=17

(1)

工一】時，￡削=￡露發(fā)散，所以收斂區(qū)間為《一】,口?

②u“（z）=傳由幾何級數(shù)的收斂性知怪IVI時，級數(shù)收斂，仔|2】時，級

數(shù)發(fā)散，故所求收斂區(qū)間為（一1,3）.

=㈣IM=^^+3)(2n+2)=8

故收斂區(qū)間為（-8,+8〉.

7:將下列函數(shù)展開成工的塞級數(shù):

⑴ej

⑵工3d

1

⑶1+工”

1

⑷3r.

答案

..因e*=￡xE(―°°?+0o)

⑴仁?!

所以e"=￡*7"=S守B》￡(-8,+8)

8

因￡±r*xW(-8.+oo)

(2)

所以工3/￡今

10°

因----=1+工+x2+…+丁+…=￡]-d工G(-1,1)

⑶一3"0

所以2(一丁尸=X(一工￡(一1，1)

工十“2。n->0''

因^^=\工X6<-1?1)

(4)X/?-0

所以￡7一卷7=含傳)、.捻?