2020浙江中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)練測(cè)課時(shí)高分作業(yè)（第六單元）

第六單元圓

第24課時(shí)圓的有關(guān)性質(zhì)［學(xué)生用書(shū)A361

區(qū)基礎(chǔ)保分練

一、選擇題（每題5分，共30分）

1.已知。。的半徑是5,點(diǎn)A到圓心。的距離是7,則點(diǎn)A與。。的位置關(guān)系是（C）

A.點(diǎn)A在。。上B.點(diǎn)A在。O內(nèi)

C.點(diǎn)A在。。外D.無(wú)法判斷

【解析】:。。的半徑是5,點(diǎn)A到圓心O的距離是7,即點(diǎn)A到圓心。的距離大于圓的

半徑，點(diǎn)A在。。外.

2.［2019?宜昌］如圖24—1,點(diǎn)A,8,C均在。。上，當(dāng)NOBC=40。時(shí)，乙4的度數(shù)是（A）

C

圖24—1

A.50°B.55°

C.60°D.65°

【解析】"：OB=OC,：.ZOCB=ZOBC=40°,ZBOC=180°-40°-40°=100°,AZA

=|ZBOC=50°.

3.[2019?聊城]如圖24—2,8c是半圓。的直徑，D,E是次:上兩點(diǎn)，連結(jié)8￡>,CE并延長(zhǎng)

交于點(diǎn)A,連結(jié)0￡）,OE.如果/A=70。，那么NOOE的度數(shù)為（C）

A.35°B.38°

C.40°D.42°

BC

024-2

I)

B0C

第3題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)CD：BC是半圓。的直徑，

：./BDC=9。。,：.ZADC=90°,，NACO=90。一乙4=20。，AZDOE=2ZACD=40°.

4.[2019?天水]如圖24—3,四邊形48CD是菱形，。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,D,與BC相交于點(diǎn)

E,連結(jié)AC,AE若N￡>=80。，則NE4C的度數(shù)為(C)

A.20°B.25°C.30°D.35°

【解析】?.?四邊形ABC。是菱形，ZD=80°,

ZACB=|ZDCB=1(180°-Z￡>)=500,

四邊形AECO是圓內(nèi)接四邊形，

NAEB=ND=80。,

ZEAC=NAEB-ZACE=30°.

二

BE(：

圖24-3

01

圖24-4

5.[2019?黃岡]如圖24—4,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(B),點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓

心，A8=40m,點(diǎn)C是介的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，且C￡)=10m,則這段彎路所在圓

的半徑為(A)

A.25mB.24mC.30mD.60m

【解析】'：OC±AB,：.AD=DB=20m,在Rt/^4。。中，。42=0。2+4。2,設(shè)半徑為匕

得/=（r-10）2+202,解得r=25m,.?.這段彎路的半徑為25m.

圖24-5

6.[2019?襄陽(yáng)]如圖24—5,AO是。。的直徑，8C是弦，四邊形08C。是平行四邊形，AC

與08相交于點(diǎn)P,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（A）

A.AP=2OP

B.CD=2OP

C.OB±AC

D.AC平分OB

【解析】為直徑，.?.NACC=90。，?..四邊形O8CQ為平行四邊形，：.CD//OB,CD

CD1

=OB,在RtZ\AC。中，sinA=7K=m，，NA=30。，在RtZ\AOP中，AP=y[3OP,所以A

選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；：OP〃C￡>,CDLAC,：.OPLAC,所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；；.AP=CP,

；.OP為△AC￡>的中位線，；.CD=2OP,所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；.?.O8=2OP,；.AC平分

OB,所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確.故選A.

二、填空題（每題5分，共30分）

7.[2019?常州]如圖24—6,AB是。。的直徑，C,7是。。上的兩點(diǎn),NAOC=120。,則

ZCDB=30°.

圖24-6

8.[2019?鹽城]如圖24—7,點(diǎn)A,B,C,。，E在。0上，且余為50。，則/E+/C=155°.

E

S24-7

第8題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)EA,「蠢為50。，.?.NB￡A=25。，?..四邊形。CAE為。。的內(nèi)接

四邊形，/.ZDEA+ZC=180°,.?.NOE8+/C=180°-25°=155°.

9.[2019?宜賓]如圖24—8,。。的兩條相交弦分別為AC,BD,ZACB=ZD=60°,AC=

2小，則。。的面積是4兀.

圖24—8

【解析】VZA^ZD,而/ACB=/￡)=60。，；.NA=NACB=60。，.?.△AC8為等邊三角

形，：AC=2小，.?.圓的半徑為2,二。。的面積是47t.

10.如圖24—9,已知在△ABC中，AB=AC.以AB為直徑作半圓。，交BC于點(diǎn)。.若N8AC

=40。，則松的度數(shù)是140度.

?24-9

A.

DC

第10題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)A。，OD,

；AB為直徑，AZADB=90°,AD±BC,

'：AB=AC,

：.NBAD=ZCAD=|ZBAC=2O°,

BD=DC,：.ZABD=70°,

AZAOD=140°,即松的度數(shù)為140°.

11.[2019?廣西]《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，與古希

臘的《幾何原本》并稱(chēng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋

在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意,

畫(huà)出圓材截面圖如圖24—10所示，已知1：鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則

該圓材的直徑為26寸.

圖24-10

【解析】設(shè)。。的半徑為r.在RtZSAOO中，AD=5,。。=7一1,OA=r,則有，=5?+。

一1）2,解得r=13,，。0的直徑為26寸.

12.[2019?泰州]如圖24—11,的半徑為5,點(diǎn)P在。。上，點(diǎn)A在。。內(nèi)，且AP=3,

過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交。。于點(diǎn)B,C.設(shè)PB—x,PC—y,則y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=§一.

圖24-11

第12題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)P0并延長(zhǎng)交。。于D,連結(jié)BD,則NC=NO,ZPBD=9Q°,

PApQ

VB4±BC,AZB4C=90o,：.ZPAC=ZPBD,：./\PAC^/\PBD,???研=訴，:。。的

rtirU

半徑為5,AP=3,PB=x,PC=y,?'?(=亡，

三、解答題（共8分）

13.（8分）如圖24—12,己知四邊形ABCZ）內(nèi)接于。0,連結(jié)BD,105°,NDBC

=75°.

（1）求證：BD—CD；

（2）若。。的半徑為3,求詫的長(zhǎng).

解：（1）證明：?.?四邊形ABC。內(nèi)接于。。,

ZDCB+ZBAD=180°,YN8AO=105。,

/OC8=180°—105°=75°,=NDBC=75°,

：?NDCB=/DBC,/.BD=CD；

(2)VNDCB=NDBC=75°,：./8￡>C=30°,

由圓周角定理，得8c的度數(shù)為60°,

mtR60兀X3

故病=

180-180—71.

時(shí)技能提升練

14.（10分）［2018?金華］如圖24—13①是小明制作的一幅弓箭，點(diǎn)A,。分別是弓臂BAC與

弓弦8c的中點(diǎn)，弓弦BC=60cm,沿AO方向拉動(dòng)弓弦的過(guò)程中，假設(shè)弓臂8AC始終保持

圓弧形，弓弦不伸長(zhǎng).如圖②，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)Q時(shí)，有AD|=30cm,

N3iDC=120°.

(1)圖②中，弓臂兩端S，。的距離為30A5cm：

(2)如圖③，將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)力，使弓臂B2AC2為半圓，則QQ，的長(zhǎng)為1帖一10.cm.

圖24-13

【解析】(1)如答圖①中，連結(jié)5cl交。A于”.

?.?。|4=。囚=30,二。|是8方Ci的圓心.

VADilBiG,:.BiH=CiH=154,

；.80=3即，

.??弓臂兩端S,G的距離為3即；

第14題答圖

(2)如答圖②中，連結(jié)8c交￡＞口于”，連結(jié)B2c2交。6于G.

120兀義30

設(shè)半圓的半徑為廣,則nr—-180-.」=20,

：.AG=GB2=20,GDI=30-20=10,

在RtAGB2￡>2中，GDi=/產(chǎn)而=1075,

.".DID2=1（）V5-10.

15.(10分)[2019?綿陽(yáng)]如圖24—14,AB是。。的直徑，點(diǎn)C為由)的中點(diǎn)，CF為。。的弦,

jaCFLAB,垂足為E,連結(jié)BD交CF于點(diǎn)G,連結(jié)CZ),AD,BF.

(1)求證：△BFG94CDG；

(2)若AO=BE=2,求BF的長(zhǎng).

圖24-14

第15題答圖

解：（1）證明：：C是應(yīng)）的中點(diǎn),A8是。。的直徑，且CF_LA8,

：.CD=BC,BC=BF,：.E=前,:.CD=BF,

(ZF^ZCDG,

在△BFG和△COG中，，NFGB=ZDGC,

(BF=CD,

：./\BFG^/\CDG(AAS)；

(2)如答圖，連結(jié)。凡設(shè)。。的半徑為r,

RtZMOB中，BD2^AB2~AD2,

即BD2=(2r)2-22,

RtAOEF中，。/=0序+EF2,即EF2=7一(r-2)2,

,：CD=BC=BF,：.B1^CF,

:.BD=CF,

：.BD1=CF2-(2EF)2=4E尸2,

即(2/f—22=4[戶(hù)一(r-2)2],

解得r=l(舍)或3,

：.BF2=EF2+BE2=32~(3~2)2+i2=12,

：.BF=2y[3.

M拓展沖刺練

16.(12分)[2019?福建]如圖24—15,四邊形ABCQ內(nèi)接于。。，AB=AC,AC±BD,垂足

為E,點(diǎn)尸在8D的延長(zhǎng)線上，且。尸=￡)C,連結(jié)4凡CF.

(1)求證：ZBAC=2ZCAD；

(2)若AF=10,BC=4鄧,求tan/BA。的值.

第16題答圖

解：(1)證明：,：AB=AC,：.AB=AC,ZABC=ZACB,

：.NABC=NADB,ZABC=1(180°-ZBAC)=90o-|zBAC,

"：BD±AC,ZADB=90°-ZCAD,

：.^ZBAC^ZCAD,：.ZBAC=2ZCAD；

(2Y：DF=DC,?.NDFC=NDCF,

ZBDC=2ZDFC,

：.ZZBDC=^ZBAC=NFBC,

：.CB=CF,又8C_LAC,

；.AC是線段BF的中垂線，4B=AF=10,AC=10.

又8c=4小，設(shè)AE=x,CE=10—x,

由AB2-A/=BC2-CE2,得100—x2=80—(10—x)2,

解得x=6,：.AE=6,BE=8,CE=4,

易證△￡>￡(7也ZiAEB,：.DE=3,

：.BO=BE+OE=3+8=11,

如答圖，作。H_LAB,垂足為H,

?c口BDAE11X633

,?DH—A8_]0-亍

.*.BH=yJBD2-D/72=y,

446

：.AH=AB~BH=10-y=^

?DH3311

??tanBAD—人口一正一個(gè).

第25課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系[學(xué)生用書(shū)B(niǎo)36]

區(qū)基礎(chǔ)保分練

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.[2019?廣州]平面內(nèi)，。。的半徑為1,點(diǎn)P到。的距離為2,過(guò)點(diǎn)P可作。。的切線條

數(shù)為（C）

A.0條B.1條

C.2條D.無(wú)數(shù)條

【解析】的半徑為1,點(diǎn)P到圓心。的距離為2,

...點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系：P在。。外，

...過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的2條切線.

2.[2019?福建]如圖25—1,PA,PB是。。切線，A,8為切點(diǎn)，點(diǎn)C在。。上，且NACB

=55。，則NAPB等于（B）

A.55°B.70°

第2題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)OA,OB,

,：PA,PB是。。的切線，

：.PAJ_OA,PBLOB,

VZACB=55°,，/AOB=110。，

AAPB=360°-90°-90°-110°=70°.

3.[2019?賀州]如圖25—2,在△ABC中，。是AB邊上的點(diǎn)，以O(shè)為圓心，。8為半徑的。O

與4c相切于點(diǎn)。，8。平分/ABC,AD=yj3OD,48=12,則CD的長(zhǎng)是（A）

圖25—2

A.2小B.2

C.3小D.4小

【解析】：。。與AC相切于點(diǎn)。，...AC，。。，

?.ZADO=90°,；AO=小。。，..必=珠=坐，

i\L/3

：.ZA=30°,平分/ABC,：.NOBD=NCBD,

"：OB=OD,：.NOBD=NODB,:.NODB=NCBD,

J.OD//BC,：.ZC=ZADO=90°,

：.ZABC=60°,BC=^AB=6,AC=\^BC=6小,

.?.CQ=%C=^X6=2小.

：.ZCBD=30°,

4.[2019?益陽(yáng)]如圖25—3,PA,PB為。。的切線，切點(diǎn)分別為A,B,P。交AB于點(diǎn)C,

PO的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)。，下列結(jié)論不一定成立的是（D）

圖25—3

A.PA=PBB.NBPD=NAPD

C.AB±PDD.A8平分PC

【解析】,：PA,尸8是。O的切線，，物=PB,所以A成立；NBPD=NAPD,所以B成

立；：.ABLPD,所以C成立；,：PA,PB是。。的切線，.?.AB_LPC,且AC=BC,只有當(dāng)

AD//PB,2?！ǔ鰰r(shí)，A8平分尸。，所以D不一定成立.

5.[2019?瀘州]如圖25—4,等腰三角形ABC的內(nèi)切圓。。與AB,BC,。分別相切于點(diǎn)Q,

E,F,且AB=AC=5,BC=6,則OE的長(zhǎng)是（D）

述WTo

A-10B-5

J55

A

第5題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)OA,OE,OD,0B,08交。E于〃，：等腰三角形ABC的內(nèi)切圓

00與AB,BC,C4分別相切于點(diǎn)。，E,F,；.0A平分NBAC,OEYBC,0D1AB,BE

=8。，：AB=AC,...AOLBC,.,.點(diǎn)A,O,E共線,即AE_L5C,，BE=CE=3,在RtzMBE

中，AE=^/52-32=4,；BD=BE=3,：.AD=2,設(shè)。。的半徑為r,則OC=OE=r,AO

=4-r,在RtzM。。中，r+22=(4-r)2,解得r=|,在RSOE中，

^■J；BE=BD,OE=OD,：.0B垂直平分Of,，O”=E7/,0B1.DE,；*fEOB=^OEBE,

3X3

?urOEBE_23小:.DE=2EH=里.

??但-^--正-5，

2

二、填空題（每題5分，共25分）

6.[2018?長(zhǎng)沙]如圖25—5,點(diǎn)A,B,。在。。上，NA=20。，8c是。。的切線，B為切點(diǎn),

OD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)C,則NOCB=50

【解析】VZA=20°,；,ZBOC=40°,

：BC是。。的切線，B為切點(diǎn)，AZOBC=90°,

.".ZOCB=90°-40°=50°.

圖25—5

B

圖25-6

7.［2019?河池］如圖25—6,PA,尸8是。。的切線，A,2為切點(diǎn)，NO43=38。，則NP=

76°,

【解析】：孫，PB是。。的切線，，%=PB,RALOA,：.ZPAB=ZPBA,NOAP=90。，

NPBA=/用B=90°-NOA8=90°-38°=52°,；./P=180°—52°—52°=76°.

8.［2019?常州］如圖25—7,半徑為小的。。與邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC的兩邊AB,BC

都相切，連結(jié)OC,則tan/OCB=_W_.

第8題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)08,作OOLBC于。，：。。與等邊三角形ABC的兩邊AB,BC

都相切，AZOBC=ZOBA=\ZABC=30°,：.tanZOBC=^:,

zHuicinjuA/3

:?CD=BC—BD=8-3=5,

..絲—近

??tanNOC8—c。一5.

9.|2019?眉山］如圖25—8,在RtZ\A08中，。4=。8=4，1。0的半徑為2,點(diǎn)尸是AB邊

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。O的一條切線尸。（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則線段PQ長(zhǎng)的最小值為，?

圖25—8

第9題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)OQ.；PQ是。。的切線，???OQU。.根據(jù)勾股定理知尸。2=。尸—

。。2,.?.當(dāng)PO_LA8時(shí)，線段PQ最短，.在Rt/LAOB中，OA=OB=4?：.AB=y/2OA

=8,.?.0尸=”廣=4,:.PQ=7OP?-OQ?=2小.

10.如圖25—9,己知/AOB=30。，在射線。力上取點(diǎn)Oi，以O(shè)i為圓心的圓與OB相切；

在射線。瓜上取點(diǎn)。2,以。2為圓心，。2。1為半徑的圓與OB相切；在射線02A上取點(diǎn)。3,

以。3為圓心，。3。2為半徑的圓與OB相切；…在射線09A上取點(diǎn)Oio,以。10為圓心，。10。9

為半徑的圓與OB相切.若。Oi的半徑為1,則。。。的半徑長(zhǎng)是29.

第10題答圖

【解析】如答圖，作OC,O2D,O3E分別垂直于08,

,,,乙4。8=30。，

AOO\=2CO\,。。2=2￡＞。2,OOi=2EOi,

?.?。|。2=。。2,。2。3=￡。3,

圓的半徑呈2倍遞增，

.??。0“的半徑為2"-1<2。1,：。01的半徑為1,

的半徑長(zhǎng)為22

三、解答題（共28分）

11.（8分）［2019?天津］已知B4,尸8分別與。。相切于點(diǎn)A,B,ZAPB=S0°,C為。。上一

點(diǎn).

（1）如圖25—10①，求NACB的大小;

（2）如圖②，AE為。。的直徑，AE與BC相交于點(diǎn)D若AB=AD,求NEAC的大小.

圖25-10

解：（1）如答圖①，連結(jié)OA,OB,

VB4,PB是。O的切線，

/O4P=NOBP=90°,：.ZAOB=360°-90°-90°-80°=100°,

第11題答圖

⑵如答圖②，連結(jié)CE,

為。。的直徑，/.ZACE=90°,VZACB=50°,

：.NBCE=90°-50°=40°,NBAE=NBCE=40。,

'：AB=AD,：.NABD=NADB=70。,

：./EAC=ZADB-ZACB=20°.

12.（10分）［2019?荷澤］如圖25—11,BC是。。的直徑，CE是。。的弦，過(guò)點(diǎn)E作。。的

切線，交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作BF1GE于點(diǎn)F,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)4

(1)求證：NABG=2NC；

(2)若GF=3/，GB=6,求。。的半徑.

第12題答圖

解：(1)證明：如答圖，連結(jié)0E,

是。。的切線，

'：BF±GE,：.OE//AB,；.NA=NOEC,

VOE=OC,：.NOEC=NC,：.ZA=ZC,

VZABG^ZA+ZC,.?.NA8G=2NC；

(2)VBF±GE,.,.N8FG=90。，；GF=3小,GB=6,

：.BF=\jBG2~GF2=3,

RFRG

'：BF//OE,.?.△BGFS^OGE,??O?L示=C/行Cr，

,3_6

；.OE=6,，。。的半徑為6.

"OE~6+OE,

13.(10分)[2019?天水]如圖25—12,AB,AC分別是。。的直徑和弦，OCAC于點(diǎn)。.過(guò)

點(diǎn)A作。。的切線與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，PC,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)若/A8C=60。，AB=10,求線段CF的長(zhǎng).

圖25-12

第13題答圖

解：(1)證明：如答圖，連結(jié)0C,

VODA.AC,。。經(jīng)過(guò)圓心0,

：.AD=CD,：.PA^PC,

0A=0C,

在△0AP和△OCP中，VIPA=PC,

OP=OP,

：.AOAP妥△OCP(SSS),：.NOCP=ZOAP,

?.,必是。。的切線，AZ0AP=W°.

：.ZOCP=90°,

即。C_LPC,是。。的切線；

(2)；0B=0C,ZOBC=60°,

.?.△08C是等邊三角形，：.ZCOB=60°,

'：AB=\O,；.OC=5,由(1)知NOCF=90。，

：.CF=OC-tanZCOB=5小.

區(qū)技能提升練

14.(10分)[2019?成都]如圖25—13,A8為。。的直徑，C,。為圓上的兩點(diǎn)，OCHBD,弦

AD,8c相交于點(diǎn)E.

⑴求證：AC=CD；

(2)若CE=1,EB=3,求。。的半徑；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作尸Q〃CB交。O

于品。兩點(diǎn)(點(diǎn)F在線段PQ上)，求PQ的長(zhǎng).

圖25-13

解：(1)證明：-：OC=OB,

：.NOBC=NOCB.

,/OC//BD,：.NOCB=ZCBD,

：.ZOBC=ZCBD,：.AC=CD；

(2)如答圖①，連結(jié)AC,

CE=1,EB=3,.*.8C=4,

"：AC=CD,

：.ZCAD=ZABC,且NACB=N4CB,

Ar'r^o

A△ACfi^ABCA,.,C.A7S^=/TICF，

：.AC2^CBCE=4X\,，AC=2,

；AB是直徑，AZACB=90°,

：.AB=y]AC2+B(^=2yf5,

/.00的半徑為??；

①

V

②

第14題答圖

(3)如答圖②，過(guò)點(diǎn)。作OaJ_FQ于點(diǎn)“，連結(jié)O。,

是。。切線，：.ZPCO=90°,

且NACB=90°,AZPCA=ZBCO=ZCBO,

且/CPB=/CB4,:.△APCs^CPB,

.B4=fC=AC=2=l

：.PC=2PA,PC=PA-PB,

???4%2=%X（%+2?。?

,:PQ〃BC,:?/CBA=NBPQ,

且NPHO=/ACB=90。,:ZHOsgCA,

?ACBCAB

,?麗―麗一沔，

???HQ=y/OQ2-OH2=^,

M拓展沖剌練

15.(12分)[2019?金華]如圖25—14,在口OABC中，以。為圓心，。4為半徑的圓與BC相

切于點(diǎn)B,與OC相交于點(diǎn)D

(1)求命的度數(shù)；

(2)如圖，點(diǎn)E在。。上，連結(jié)CE與。O交于點(diǎn)F.若EF=A8,求NOCE的度數(shù).

圖25-14

第15題答圖

解：(1)如答圖，連結(jié)OB,；BC是。。的切線,

C.OBA.BC.

?.?四邊形0ABe是平行四邊形，

：.OA//BC,：.OB±OA.

，ZiAOB是等腰直角三角形.

ZABO=45°.

,/OC//AB,：.NBOC=ZABO=45°,

，冊(cè)的度數(shù)為45°；

(2)如答圖，連結(jié)OE,過(guò)點(diǎn)。作OHLEC于點(diǎn)H,設(shè)EH=t,

VOHLEC,:.EF=2HE=2t.

?.?四邊形0ABe是平行四邊形，

：.AB=CO=EF=2t.

?；是等腰直角三角形，

二。。的半徑OA=@t.

在Rt/^EHO中，0H=7。/—EH?=,25一Z2=￡

在RtZXOC"中，'：0C=20H,：.ZOCE=30°.

微專(zhuān)題十二與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明I學(xué)生用書(shū)A38I

類(lèi)型之一與切線的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算或證明

【經(jīng)典母題】

如圖Z12—1,。。的切線PC交直徑A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,C為切點(diǎn)，若NP=30。，。。的

半徑為1,則PB的長(zhǎng)為1.

【解析】如答圖，連結(jié)0C

為。。的切線，：.ZPCO=9Q°,

在RlZXOCP中，：OC=1,/尸=30°,

：.OP=2OC=2,

.?.PB=OP-OB=2-1=1.

【思想方法】（1）已知圓的切線，可得切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；（2）已知圓的切線，常作

過(guò)切點(diǎn)的半徑，得到切線與半徑垂直.

【中考變形】

[2019?賀州]如圖Z12—2,8。是。。的直徑，弦8c與0A相交于點(diǎn)E,AF與。0相切于點(diǎn)

A,交力8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡ZF=30°,N8AC=120。，8c=8.

（1）求/4。8的度數(shù)：

（2）求AC的長(zhǎng)度.

圖Z12-2

解：（1）；AF與。。相切于點(diǎn)A,

：.AF1OA,：.ZOAF=90°,

又N尸=30°,AZFOA=60°,

ZADB=|ZFOA=30°;

(2)；B。是。。的直徑，AZBAD=90°,

；NBAC=120°,.,.NZMC=30°,

ZDBC=ZDAC=30°,

VZF=30°,AZF=ZDBC,：.AF//BC,

：.OA±BC,：.BE=CE=^BC=4,AB=AC,

ZC—30°,.,.AC—^-^EC=^^-.

【中考預(yù)測(cè)】

[2018?黃岡]如圖Z12-3,AD是。。的直徑，AB為。。的弦，OPJ_4O,OP與AB的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)P,過(guò)8點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C.

(1)求證：ZCBP=ZD；

(2)若。4=2,AB=1,求線段BP的長(zhǎng).

P

P

中考預(yù)測(cè)答圖

解：（1）證明：如答圖，連結(jié)OB,

是。。的直徑，AZABD=90°,

,ZA+ZD=90°,

為切線，J.OBLBC,

：.ZOBC=90°,：.ZOBA+ZCBP^90°,

而OA=OB,：.ZA=ZOBA,

：.ZCBP^ZD；

(2)：0P_LA。，.../POA=90°,

.,.ZP+ZA=90°,VZD+ZA=90°,

:.NP=ND,

?AP_AO

：.XAOPsMABD,??75=而，

?\+BP2

即a]=Y,:?BP=1.

類(lèi)型之二與切線的判定有關(guān)的計(jì)算或證明

【經(jīng)典母題】

己知：如圖Z12-4,A是。。外一點(diǎn)，4。的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)8在圓上，且AB

=BC,NA=30。.求證：直線AB是OO的切線.

證明：如答圖，連結(jié)08,

'：0B=0C,AB=BC,ZA=30°,

N0BC=ZC=ZA=30°,

：.ZA0B=ZC+ZOBC=60°.

：/ABO=180°—(NA0B+N4)=180°一(60°+30°)=90°,

：.AB±OB,又YOB為。。半徑，

：.AB是。O的切線.

【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法”作半徑，證垂直”或者“作垂直，證半徑

【中考變形】

1.[2019?鹽城妝口圖Z12-5,在Rtz^ABC中，ZACB=90°,CD是斜邊A8上的中線，以

CZ)為直徑的OO分別交AC,BC于點(diǎn)、M,N,過(guò)點(diǎn)N作垂足為E.

(1)若。。的半徑為|,AC=6,求BN的長(zhǎng)；

(2)求證：NE與。。相切.

B

中考變形1答圖

解：（1）如答圖，連結(jié)DMON.

的半徑為I，；.C￡>=5.

：/ACB=90。，C￡)是斜邊AB上的中線，

：.BD=CD=AD=5,.?.AB=10,

:.BC=\]AB2-AC2=S.

：CD為直徑，：.ZCND=90°,且BD=CD,

；.BN=NC=4；

(2)證明：,:BN=NC,OC=OD,：.ON//BD,

YNEIAB,：.ONLNE,；.凡￡為。。的切線.

2.[2018?南充]如圖Z12—6,C是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑AB的延長(zhǎng)線上，。。的半徑為

3,PB=2,PC=4.

(1)求證：PC是。O的切線;

(2)求tan/CAB的值.

中考變形2答圖

解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OC,BC,

;。。的半徑為3,PB=2,

.,.OC=O8=3,0P=0B+PB=5,

VPC=4,：.OC2+PC2=OP1,

...△OCP是直角三角形，：.OCLPC,

...PC是。。的切線；

(2)；4?是直徑，AZACfi=90°,

ZACO+ZOCB=90°,

,：OCVPC,，NBCP+/OCB=90。，

：.ZBCP^ZACO,

'：OA=OC,：.ZA=ZACO,ZA=ZBCP,

在△PBC和△PC4中，

ZBCP=ZA,NP=NP,.*.△PBCs△尸C4,

.BCPB2I.…c8C1

?,^C=PC=4=2'>,tanZCAB=AC=2-

【中考預(yù)測(cè)】

[2018?郴州]如圖Z12—7,已知BC是。。的直徑，點(diǎn)。是8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB=AD,AE

是。。的弦，ZAEC=30°.

(1)求證：直線是。。的切線；

(2)若AE_LBC,垂足為M,。。的半徑為4,求AE的長(zhǎng).

圖Z12-7

中考預(yù)測(cè)答圖

解：(1)證明：如答圖，連結(jié)A。，

；NAEC=30°,AZABC=30°,

"：AB=AD,NABC=30°,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得/BA￡>=120。，

'：OA=OB,：.ZOAB^ZABC=30°,

：.ZOAD=ZBAD-ZOAB=90°,

：.OA±AD,

?.?點(diǎn)4在。。上，，直線AO是。。的切線；

(2)V/AEC=30°,ZAOC=60°,

：8CJ_AE于M,J.AE^IAM,NOMA=90°,

在RtZ\AOM中，A例=O4sinNAOM=4Xsin60°=2小,

：.AE=2AM=4y[3.

第26課時(shí)弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積[學(xué)生用書(shū)B(niǎo)38]

區(qū)基礎(chǔ)保分練

一、選擇題（每題4分，共24分）

1.[2019?巴中]如圖26—1,圓錐的底面半徑r=6,高〃=8,則圓錐的側(cè)面積是（D）

A.15兀B.3On

C.45nD.60TI

【解析】圓錐的母線/=折釬=d西*=10,

圓錐的側(cè)面積=兀，10。6=60兀.

圖26—2

2.[2019?棗莊]如圖26—2,在邊長(zhǎng)為4的正方形A8CO中，以點(diǎn)8為圓心，A8為半徑畫(huà)弧,

交對(duì)角線3。于點(diǎn)R則圖中陰影部分的面積是（C）

A.8一兀B.16-27C

C.8—2TCD.8一5

A145兀4

【解析】S陰=5&180—S扇形ABE=ZX4X4—360=8—2兀.

3.[2019?宿遷妝口圖26—3,正六邊形的邊長(zhǎng)為2,分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半

圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和（陰影部分的面積）是（A）

A.6小一兀B.6小—2兀

C.6小+兀D.6小+2兀

【解析】6個(gè)月牙形的面積之和=3兀一（22兀-6xgx2X巾）=6小一兀.

圖26-4

4.［2019?廣安］如圖26-4,在RtZ\A3C中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,以3c為直

徑的半圓。交斜邊AB于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為(A)

-46門(mén)2近

A.^H—\3B.2TI-2

C.；兀一乎^3

【解析】???在RtZVIBC中，ZACB=90°,ZA=30°,AZ5=60°,AZCOD=120°,VBC

=4,8c為半圓。的直徑，AZC￡)fi=90°,：.OC=OD=2,；.CD=^BC=25,圖中陰

影部分的面積=S扇形COD—SMOD=12^2—^X2小X1=與一小.

5.[2019?臨沂]如圖26—5,。。中，AB=AC,ZACB=15°,BC=2,則陰影部分的面積是

(A)

2

A.2+針B.2+>\/§+鏟

24

C.4+g兀D.2+］兀

圖26—5

第5題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)。4,OB,OC,'：AB=AC,：.AB=AC,'：ZACB=15°,：.ZABC

=NAC8=75。，N8AC=30。，；.NBOC=60。，；OB=OC,...△BOC是等邊三角形，.,.OA

U

=OB=OC=BC=2,作A￡>_L5C,：AB=AC9:.BD=CD,經(jīng)過(guò)圓心O,：.OD=\

OB=小，；.AD=2+小，：.SAABC*CAD=2+小,S^oc=^COD=y[3,：.Sw=S^ABC

22

r60XnX2

+S宿形BO。-S/iB0c=2+y3+巾=2+鏟.

6.運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問(wèn)題：如圖26—6,AB是。。的直徑，CD,EF是。。的

弦，宣AB//CD//EF,AB=10,CD=6,EF=S,則圖中陰影部分的面積是（A）

C.24+47c

SI26-6

第6題答圖

【解析】如答圖，連結(jié)OC,OD,OE,OF,過(guò)。作0MLEF于M,反向延長(zhǎng)線交CQ于

N.

'：AB//CD//EF,易證陰影部分面積即為扇形COD與扇形EOF的和，

由AB=10,CD=6,EF=S,MOLEF,ONVCD,易知OO=OF=5,FM=0N=4,OM

=DN=3,

:./\OFM出ADON,：.ZFOM+ZDON=90°,

，/EO尸+NCOD=180°,

i75

故陰影部分面積等于半圓面積為1*71><52=號(hào)兀

二、填空題(每題5分，共30分)

7.(1)[2019?哈爾濱]一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是11兀cm,半徑是18cm,則此扇形的圓心角是110

度；

(2)[2019?天門(mén)]75。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5兀cm,則此弧所在圓的半徑是6cm.

8.如圖26—7是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼(不計(jì)厚度)，己知其母線長(zhǎng)為12cm,底面圓半徑為

3cm,則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積等于113cn?.(結(jié)果精確到個(gè)位)

【解析】這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積=；X27tX3X12=367tF13(cm2).

圖26-8

9.[2019?海南]如圖26—8,。。與正五邊形ABCDE的邊AB,OE分別相切于點(diǎn)D,則

劣弧崩所對(duì)的圓心角NB。。的大小為144度.

(5—2)x180°

【解析】?.?五邊形A8C0E是正五邊形，/.ZE=ZA-———------=108。/.工8,DE

與。。相切，：.NOBA=ZODE=90°,ZBOD=(5-2)X180°—90°—108°—108°—90°=

144°.

10.如圖26—9,扇形紙扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條42,AC的夾角為120。，AB的長(zhǎng)為30

cm,則BC的長(zhǎng)為207tcm.(結(jié)果保留n)

-120XnX30

【解析】BC=---面一=20兀(cm).

BC

A

圖26-9

11.[2019?泰州]如圖26—10,分別以正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，三段

弧圍成的圖形稱(chēng)為萊洛三角形.若正三角形邊長(zhǎng)為6cm,則該萊洛三角形的周長(zhǎng)為

6萬(wàn)cm.

【解析】該萊洛三角形的周長(zhǎng)=3X與^^=6忒cm）.

12.我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了