廣東省番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023學(xué)年第二學(xué)期高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題高一數(shù)學(xué)本試卷共5頁，19小題，全卷滿分150分，考試時間為120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級、姓名和座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)所對點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷作答.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C2.設(shè)集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.3.圓臺一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為，則圓臺較小底面的半徑為（）A.8 B.7 C.5 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)側(cè)面積公式求解即可.【詳解】依題意，設(shè)圓臺較大底面的半徑為，較小底面的半徑為，則，故.故選：B4.某中學(xué)為了解在校高中學(xué)生的身高情況，在高中三個年級各隨機(jī)抽取了的學(xué)生，并分別計(jì)算了三個年級抽取學(xué)生的平均身高，數(shù)據(jù)如下表：年級高一高二高三抽樣人數(shù)363430平均身高則該校高中學(xué)生的平均身高可估計(jì)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式求解.【詳解】由題意可知：抽取的總?cè)藬?shù)為，各年級的頻率依次為，所以該校高中學(xué)生的平均身高可估計(jì)為.故選：C.5.已知函數(shù)，方程有3個實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出的圖象，方程有3個實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為與的圖象有3個不同的交點(diǎn)，然后根據(jù)圖象求解即可.【詳解】的圖象如圖所示，因?yàn)榉匠逃?個實(shí)數(shù)解，所以與的圖象有3個不同的交點(diǎn)，由圖可知.故選：A6.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，設(shè)“甲中靶”，“乙中靶”，則（）A.A與B，A與，與B，與都相互獨(dú)立B.與是對立事件C.D.【答案】A【解析】【分析】由獨(dú)立事件的定義以及乘法公式判斷AC，由對立事件的定義、互斥事件的概率公式判斷D.【詳解】對于A：由于兩人射擊的結(jié)果沒有相互影響，則A與B，A與，與B，與都相互獨(dú)立，故A正確；對于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即與不是對立事件，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D錯誤；故選：A7.已知是邊長為的正△邊上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得，再由即可求范圍.【詳解】由在邊上運(yùn)動，且△為邊長為2的正三角形，所以，則，由.故選：D8.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BC，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上任意一點(diǎn)，若直線BP與平面EFG無公共點(diǎn)，則下列命題中，①平面EFG②平面平面③所有點(diǎn)P在直線上④BP與所成的角為，則的最小值是正確命題的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】對于①，根據(jù)直線BP與平面EFG無公共點(diǎn)進(jìn)行判斷，對于②，根據(jù)面面平行的判定定理結(jié)合正方體的性質(zhì)分析判斷，對于③，結(jié)合①②分析判斷，對于④，【詳解】對于①，因?yàn)橹本€BP與平面EFG無公共點(diǎn)，所以平面EFG，所以①正確，對于②，連接，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BC，，的中點(diǎn)，所以∥，∥，因?yàn)椤?，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，∥平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，所以②正確，對于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫c(diǎn)P為底面上任意一點(diǎn)，所以所有點(diǎn)P在上，所以③錯誤，對于④，因?yàn)椤?，所以為BP與所成的角，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，由③可知點(diǎn)P在上，所以當(dāng)為的中點(diǎn)時，最小為，所以的最小值為，即的最小值是，所以④正確.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列不等式，正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，所以A錯誤，對于B，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，所以B正確，對于C，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，因?yàn)?，所以，所以C正確，對于D，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，所以，因?yàn)樵谏线f增，，所以，所以，所以，所以，所以D正確.故選：BCD10.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（

）A.圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)B.圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)C.圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)D.圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)【答案】ACD【解析】【詳解】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)概念結(jié)合圖形分析判斷.【分析】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯誤，C正確；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選：ACD.11.塹堵、陽馬、鱉臑這些名詞出自中國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》．如圖1，把一塊長方體分成相同的兩塊，得到兩個直三棱柱（塹堵）．如圖2，再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，其中四棱錐稱為陽馬，三棱錐稱為鱉臑．則（）A.陽馬的四個側(cè)面中僅有兩個是直角三角形B.鱉臑的四個面均為直角三角形C.陽馬的體積是鱉臑的體積的兩倍D.塹堵、陽馬與鱉臑的外接球的半徑都相等【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)陽馬的定義結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)分析判斷，對于B，根據(jù)鱉臑的定義結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)分析判斷，對于C，根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合已知條件分析判斷，對于D，根據(jù)塹堵、陽馬與鱉臑的定義分析判斷.【詳解】對于A，如圖，由題意可知平面，平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以陽馬的四個側(cè)面都是直角三角形，所以A錯誤，對于B，如圖由題意可知平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以鱉臑的四個面均為直角三角形，所以B正確，對于C，設(shè)長方體的長，寬，高分別為，則，所以陽馬的體積，鱉臑的體積，所以陽馬的體積是鱉臑的體積的兩倍，所以C正確，對于D，由題意可知塹堵、陽馬與鱉臑都是由同一個長方體分割而成，且塹堵、陽馬與鱉臑的頂點(diǎn)都是原長方體的頂點(diǎn)，所以塹堵、陽馬與鱉臑均可以補(bǔ)成原長方體，所以它們的外接球的半徑都等于原長方體外接球的半徑，所以D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.對于一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6，6，8，8，則第50百分位數(shù)是________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為第4個數(shù)和第5個數(shù)的平均數(shù).故答案為：513.已知是方程的一個根，則________【答案】14【解析】【分析】利用實(shí)系數(shù)的一元二次方程的虛根成對原理即可求出．【詳解】是關(guān)于方程的一個根，也是關(guān)于方程的一個根，，，解得，，故答案為14【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的虛根成對原理、韋達(dá)定理，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對任意的恒成立，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，再由對任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而可出的取值范圍.【詳解】的對稱軸為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪ⅲ詫θ我獾暮愠闪?，令（），因?yàn)楹驮谏线f增，所以在上遞增，所以，所以，得，綜上，，即a的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，．（1）若點(diǎn)A，B，C共線，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若△ABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】首先求出，，的坐標(biāo)；（1）依題意可得，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；（2）對直角分三種情況討論，若為直角，則，所以，即可求出參數(shù)的值，其余類似；【詳解】解：（1）因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，所以，解得（2）①若為直角，則，所以，解得②若為直角，則，所以，解得③若為直角，則，所以，即，因?yàn)?，所以方程無解；綜上可得，當(dāng)或時為直角三角形16.某工廠生產(chǎn)某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定：評分在10分及以上的為一等品，低于10分的為二等品．下面是檢驗(yàn)員從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽樣的6件產(chǎn)品的評分：10.19.810.09.710.09.8經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第i件產(chǎn)品的評分，．（1）求這組樣本平均數(shù)和方差；（2）從以上隨機(jī)抽取的6件產(chǎn)品中任意抽取2件，求這兩件均為一等品的概率；（3）若廠家改進(jìn)生產(chǎn)線，使得生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評分均提高0.2．再從改進(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6件產(chǎn)品，估計(jì)這6件產(chǎn)品的平均等級是否為一等品？說明理由．【答案】（1）平均數(shù)9.9，方差0.02（2）（3）新樣本平均等級不一定是一等品，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差計(jì)算公式求解即可；（2）由列舉法結(jié)合概率公式求解；（3）根據(jù)平均數(shù)公式得出改進(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品評分的平均數(shù)，再由平均數(shù)的定義作出判斷.【小問1詳解】，樣本方差為，【小問2詳解】用，，表示抽取的6件產(chǎn)品中的三個一等品，用，，表示抽取的6件產(chǎn)品中的三個二等品，則該試驗(yàn)的樣本空間可表示為共有15個樣本點(diǎn)．設(shè)事件A為兩次都抽到一等品，它包含了3種等可能的結(jié)果，即．所以．即兩件均為一等品的概率為．【小問3詳解】因?yàn)楦倪M(jìn)后隨機(jī)抽取的6件產(chǎn)品是改進(jìn)前抽取的6件產(chǎn)品每個提高0.2分，所以估計(jì)改進(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品評分的平均數(shù)，所以可以認(rèn)為這6件產(chǎn)品平均等級為一等品.因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)具有隨機(jī)性這6件產(chǎn)品不一定是一等品，所以新樣本平均值不一定達(dá)到10分以上，所以新樣本平均等級不一定是一等品．17.金剛石也被稱作鉆石，是天然存在的最硬的物質(zhì)，可以用來切割玻璃，也用作鉆探機(jī)的鉆頭．河南某實(shí)業(yè)集團(tuán)股份有限公司是國內(nèi)人造金剛石的排頭兵，人造金剛石年生產(chǎn)能力達(dá)15億克拉，是國內(nèi)同行業(yè)第一，世界第三金剛石生產(chǎn)基地．金剛石呈現(xiàn)如圖所示的“正八面體”外形．正八面體由八個全等的等邊三角形圍成，且對角面（如ABCD）都是正方形．（1）證明：平面CDF；（2）證明：四棱錐是正四棱錐；（3）試判斷平面ABE與平面BCE是否垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）不垂直，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可知對角面AFCE是正方形，則，然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）連接AC與BD，設(shè)，連接EO，根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)可證得，，則由線面垂直的判定定理可得平面ABCD，從而可證得結(jié)論；（3）取BE中點(diǎn)G，連接AG，GC，AC，則，，是二面角的平面角，設(shè)該正八面體棱長為，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判斷即可小問1詳解】由題意可知，對角面AFCE是正方形，所以，又因?yàn)槠矫鍯DF，平面CDF，所以平面CDF．【小問2詳解】如圖1，連接AC與BD，設(shè)，連接EO，圖1圖2則因?yàn)?，所以，，又因?yàn)槠矫鍭BCD，又因?yàn)槠矫鍭BCD，且所以平面ABCD．所以四棱錐是正四棱錐．【小問3詳解】如圖2所示，取BE中點(diǎn)G，連接AG，GC，AC，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可知，，所以是二面角的平面角，設(shè)該正八面體棱長為，則，，則在中，，所以，所以平面ABE與平面BCE不垂直．18.已知a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C所對的三邊，且．（1）求A的大??；（2）若，的面積為，求a，b；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2），（3）．【解析】【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得答案；（2）由求出，再由余弦定理可得答案；（3）利用兩角和的正弦展開式可得，設(shè)，由的范圍求出的范圍，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案.【小問1詳解】由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，故，所以，因?yàn)?，所以，故，解得；【小?詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，即，所以；【小?詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，因?yàn)?，所以，由?）知，由余弦定理，得，，，，當(dāng)時，取最小值；時，取最大值．所以的取值范圍是．19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，．?）若，求A與；（2）證明：函數(shù)是偶函數(shù)；（3）證明函數(shù)是周期函數(shù)；（4）若的周期為T，在上是減函數(shù)，