高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.5二項(xiàng)式定理5大題型(精講)(原卷版+解析)

9.5二項(xiàng)式定理5大題型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).1項(xiàng)數(shù)為n＋1.2各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.3字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)[常用結(jié)論]若二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見(jiàn)結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)．(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)．(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng)．【題型精講】【題型一求特定項(xiàng)的系數(shù)】方法技巧三項(xiàng)式的展開(kāi)式：若令，便得到三項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式，其中叫三項(xiàng)式系數(shù)．例1(2023·華師大二附中高三練習(xí)）若，則．例2在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是．例3(2023·江西模擬）在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．10 B．12 C．15 D．20【題型精練】1.(2023·河南高三月考）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A． B． C． D．2．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為_(kāi)__________，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.3．(2023·棗莊模擬）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-480 B．480 C．-240 D．2404.(2023·汕頭模擬）的展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)項(xiàng)的共有_______項(xiàng).【題型二已知項(xiàng)的系數(shù)求參】例4(2023·四川模擬）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為40，則（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4例5(2023·武昌模擬）的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為-10，則實(shí)數(shù).【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為40，則（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．42.(2023·臨沂二模）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-3，則該展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．-120 B．-40 C．40 D．120【題型三二項(xiàng)式定理的性質(zhì)】例6(2023·唐山二模）（多選）已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A．n=9 B．C．常數(shù)項(xiàng)是672 D．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是-1例7設(shè)為正整數(shù)，的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）若的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A．11 B．10 C．9 D．2.(2023·廣東高三模擬）若n展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)______．3.(2023·浙江高三模擬）在的展開(kāi)式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【題型四二項(xiàng)式系數(shù)和及系數(shù)和問(wèn)題】方法技巧系數(shù)和問(wèn)題，令得系數(shù)和：=1\*GB3①；令得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．例8(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）在的展開(kāi)式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；（5）的奇次項(xiàng)系數(shù)和與的偶次項(xiàng)系數(shù)和.【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）若，則的值為．2.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考）設(shè).若，則實(shí)數(shù)，．3.(2023·上虞模擬）已知，則，.【題型五二項(xiàng)式定理的應(yīng)用】例9(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測(cè)評(píng)）（多選）若能被13整除，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A．0 B．11 C．12 D．25例10的計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【題型精練】1.(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.342.若，則被8整除的余數(shù)為_(kāi)__________.9.5二項(xiàng)式定理5大題型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).1項(xiàng)數(shù)為n＋1.2各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.3字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)[常用結(jié)論]若二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見(jiàn)結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)．(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)．(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng)．【題型精講】【題型一求特定項(xiàng)的系數(shù)】方法技巧三項(xiàng)式的展開(kāi)式：若令，便得到三項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式，其中叫三項(xiàng)式系數(shù)．例1(2023·華師大二附中高三練習(xí)）若，則．答案：-56【解析】由題意可知，，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由，得出求的項(xiàng)是.令，解得，所以.故答案為：-56.例2在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是．答案：-189【解析】由二項(xiàng)式定理知的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，解得，所以的系數(shù)是，故答案為：-189.例3(2023·江西模擬）在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．10 B．12 C．15 D．20答案：A【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式為，的展開(kāi)式為和的和，；，所以在中令，即可得到的項(xiàng)的系數(shù)，是，故答案為：A.【題型精練】1.(2023·河南高三月考）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A． B． C． D．答案：C【解析】展開(kāi)式中，通項(xiàng)．令，得，故展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.2．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為_(kāi)__________，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.答案：64【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和；又由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：，.3．(2023·棗莊模擬）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-480 B．480 C．-240 D．240答案：A【解析】看成是6個(gè)相乘，要得到.分以下情況：6個(gè)因式中，2個(gè)因式取，1個(gè)因式取，3個(gè)因式取，此時(shí)的系數(shù)，所以的系數(shù)為-480.故答案為：A4.(2023·汕頭模擬）的展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)項(xiàng)的共有_______項(xiàng).答案：17【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，即r既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，則是的倍數(shù)，r=0，6，12，.......，96，共17項(xiàng).故答案為：.【題型二已知項(xiàng)的系數(shù)求參】例4(2023·四川模擬）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為40，則（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4答案：C【解析】由，令，解得，所以項(xiàng)的系數(shù)為，解得．故答案為：C例5(2023·武昌模擬）的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為-10，則實(shí)數(shù).答案：2【解析】，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，由題意可得，解得.故答案為：2.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為40，則（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4答案：C【解析】由，令，解得，所以項(xiàng)的系數(shù)為，解得．故選：C2.(2023·臨沂二模）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-3，則該展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．-120 B．-40 C．40 D．120答案：A【解析】在二項(xiàng)式中，令，可得，解得，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，因?yàn)椋?，令，可得，在中，令，可得，因此，展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：A.【題型三二項(xiàng)式定理的性質(zhì)】例6(2023·唐山二模）（多選）已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A．n=9 B．C．常數(shù)項(xiàng)是672 D．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是-1答案：A,D【解析】由，可得n=9，則A判斷正確；B判斷錯(cuò)誤；的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為令，則，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是.C判斷錯(cuò)誤；展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是.判斷正確.故答案為：AD例7設(shè)為正整數(shù)，的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8答案：C【解析】的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，故，的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為或，兩者相等，不妨令，則有，解得：.故選：C【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）若的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A．11 B．10 C．9 D．答案：C【解析】因?yàn)榈?項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，由題意知，所以，即，所以，故選：C.2.(2023·廣東高三模擬）若n展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)______．答案：5376【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由題意可得，，解得，設(shè)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得，又∵，∴，故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：5376.3.(2023·浙江高三模擬）在的展開(kāi)式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意，第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，一共是9項(xiàng)，所以n=8，二項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為：，，∴的系數(shù)為故選：C.【題型四二項(xiàng)式系數(shù)和及系數(shù)和問(wèn)題】方法技巧系數(shù)和問(wèn)題，令得系數(shù)和：=1\*GB3①；令得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．例8(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）在的展開(kāi)式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；（5）的奇次項(xiàng)系數(shù)和與的偶次項(xiàng)系數(shù)和.答案：（1）；（2）1；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為；奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；（5）的奇次項(xiàng)系數(shù)和為，的偶次項(xiàng)系數(shù)和為【解析】設(shè)，各項(xiàng)系數(shù)和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，的奇次項(xiàng)系數(shù)和為，的偶次項(xiàng)系數(shù)和為（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和為；（2）令，，則，所以各項(xiàng)系數(shù)和為1；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為；（4）由（2）知，①，取，，則②，所以奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；（5）由（4）知，的奇次項(xiàng)系數(shù)和為，的偶次項(xiàng)系數(shù)和為.【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）若，則的值為．答案：-32【解析】令，可得。故答案為：-32。2.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考）設(shè).若，則實(shí)數(shù)，．答案：；6【解析】令x=1，則(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得：m=.(x+1)5的第r+1項(xiàng)系數(shù)為T(mén)r+1=.所以(x+1)5展開(kāi)式中的x3的系數(shù)為=10，(x-1)4的第r+1項(xiàng)系數(shù)為T(mén)r+1=·x4-r.(-1)r所以(x-1)4展開(kāi)式中的x3的系數(shù)為-=-4；a3=10-4=6故答案為：；6.3.(2023·上虞模擬）已知，則，.答案：-3240；-1【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，可得；令得：；令得：，.故答案為：-3240；-1.【題型五二項(xiàng)式定理的應(yīng)用】例9(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測(cè)評(píng)）（多選）若能被13整除，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A．0 B．11 C．12 D．25答案：CD【解析】∵，又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，∴，，結(jié)合選項(xiàng)可