高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.2空間幾何體外接球、內(nèi)切球8大模型(精練)(原卷版+解析)

7.2空間幾何體外接球、內(nèi)切球8大模型【題型解讀】【題型一長方體、正方體模型】1.(2023·陜西安康·高三期末）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2.(2023·海原縣高三模擬）在直三棱柱中，若，則該直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3.(2023·陜西高三模擬）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是___________.4.(2023·廣西·貴港市高級中學(xué)三模）《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，，，，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的體積與陽馬的體積比為（

）A． B．C． D．【題型二直棱柱模型】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2.(2023·河南·高三階段練習(xí)）已知三棱錐中，底面BCD是邊長為的正三角形，底面BCD，且，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3.2022·全國高三模擬）已知三棱錐中，底面BCD是邊長為的正三角形，底面BCD，且，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)．若四棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．【題型三正棱錐與側(cè)棱相等模型】1.(2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，，若，則此正三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）．在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（

）A．16π B． C．8π D．【題型四對棱相等模型】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2.(2023·吉林·洮南市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【題型五共斜邊拼接模型】1.(2023.江西高三模擬）在矩形中，，沿對角線進(jìn)行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，沿將四邊形折起，使，若折起后點(diǎn)，，，，，都在球的表面上，則球的表面積為3.(2023·安徽合肥市高三期末）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【題型六垂面模型】1.(2023·江西高三期末）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．2.在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.3.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）A． B． C． D．【題型七二面角模型】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形中，，將其沿對角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【題型八內(nèi)切球模型】1.(2023·江西·高三階段練習(xí)）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球?yàn)槿忮F的內(nèi)切球），則球的表面積為（

）A． B． C． D．2.(2023·湖北·模擬預(yù)測）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為2，則該四棱錐的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，是正方形的中心，底面，，，則四棱錐內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．7.2空間幾何體外接球、內(nèi)切球8大模型【題型解讀】【題型一長方體、正方體模型】1.(2023·陜西安康·高三期末）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑，∴該球的體積為.故選：B2.(2023·海原縣高三模擬）在直三棱柱中，若，則該直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可得三棱柱的上下底面為直角三角形，取直角三角形斜邊的中點(diǎn)，直三棱柱的外接球的球心O為上下底面的外接圓圓心的連線的中點(diǎn)，連接AO，,設(shè)外接球的半徑為R，下底面外接圓的半徑為r，r=，則，該直三棱柱外接球的表面積為,故選：C3.(2023·陜西高三模擬）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是___________.答案：【解析】因?yàn)?，，則，，同理可證，，所以，、、兩兩垂直，將三棱錐補(bǔ)成正方體，如下圖所示：正方體的體對角線即為三棱錐的外接球直徑，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，所以，，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.4.(2023·廣西·貴港市高級中學(xué)三模）《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，，，，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的體積與陽馬的體積比為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由題知：剩余的幾何體為三棱錐，平面，．將三棱錐放入長方體，長方體的外接球?yàn)槿忮F的外接球，如圖所示：外接球半徑，所以外接球體積，陽馬—的體積為．．故選：B．【題型二直棱柱模型】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖，為棱的中點(diǎn)，為正△的中心，為外接球的球心根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長為6，則∴外接球的表面積故選：C．2.(2023·河南·高三階段練習(xí)）已知三棱錐中，底面BCD是邊長為的正三角形，底面BCD，且，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，將三棱錐補(bǔ)成如圖所示正三棱柱，取上下底面的外心，易得球心即為中點(diǎn)，連接，易得，，設(shè)外接球半徑為，則，則.故選：C．3.2022·全國高三模擬）已知三棱錐中，底面BCD是邊長為的正三角形，底面BCD，且，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，將三棱錐補(bǔ)成如圖所示正三棱柱，取上下底面的外心，易得球心即為中點(diǎn)，連接，易得，，設(shè)外接球半徑為，則，則.故選：C．4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)．若四棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．答案：【解析】由題意知：四邊形的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得：，又為中點(diǎn)，平面，；，兩兩互相垂直，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球表面積.故答案為：.【題型三正棱錐與側(cè)棱相等模型】1.(2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.答案：【解析】因?yàn)?，所以正三棱錐外接球半徑，正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為，過向底面作垂線垂足為，因?yàn)槭钦忮F，所以是的中心，所以，,又因?yàn)?，所以，所以，令，解得所以在遞增，在遞減，故當(dāng)時，取最大值，.故答案為：.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，，若，則此正三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)樵谥校謩e是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以（對棱垂直），又因?yàn)槊妫?，所以面，因?yàn)槊?，所以，在中，，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以是等腰三角形，是等邊三角形，所以，,所以，即，所以兩兩垂直，將此三棱錐放入正方體中，此正方體的面對角線長等于長，為,則該正方體棱長為，外接球半徑，正方體外接球體積,此正三棱錐的外接球體積和正方體外接球體積相同，為.故選：D3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）．在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)G為的外心，則平面，由，∴，則三棱錐的外接球的球心O在直線上．設(shè)其外接球的半徑為R，由正弦定理得，在中，，由勾股定理得，即，解得．正三棱錐外接球的表面積是，故選：C．4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（

）A．16π B． C．8π D．答案：B【解析】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連，如圖，則有平面，為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點(diǎn)O與重合，所以球O的體積是.故選：B【題型四對棱相等模型】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】三棱錐中，，，，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A2.(2023·吉林·洮南市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．故答案為．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．答案：C【解析】解：由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，，，解得，，．所以三棱錐外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：C【題型五共斜邊拼接模型】1.(2023.江西高三模擬）在矩形中，，沿對角線進(jìn)行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)樵诜圻^程中，始終不變，所以的中點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離始終相等，三棱錐外接球的直徑為，所以外接球的表面積為，故選：D2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，沿將四邊形折起，使，若折起后點(diǎn)，，，，，都在球的表面上，則球的表面積為答案：【解析】因?yàn)榫匦沃?，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以四邊形和四邊形是正方形，又沿將四邊形折起，使，所以幾何體是正三棱柱，，設(shè)球的球心在底面的射影為，因此，顯然是等邊三角形的中心，，在直角三角形中，，所以球的表面積為，3.(2023·安徽合肥市高三期末）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．答案：A【解析】取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：由題意，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，所以，為四面體的外接球的球心，且球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：A.【題型六垂面模型】1.(2023·江西高三期末）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示：其中D為AB的中點(diǎn)，O為外接圓的圓心，，∴O在CD上，且，．，D為AB的中點(diǎn)，，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB．又DA，DB，平面PAB，，，．在中，，D為AB的中點(diǎn)，．．∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積．故選：B2.在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.答案：【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，O為外接圓的圓心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D為AB的中點(diǎn)，∴，∴，∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積.故答案為：.3.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）A． B． C． D．答案：B【解析】四面體ABCD中，取AB的中點(diǎn)E，連CE，DE，如圖：因，則，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心為O2，正△ABC中心為O1，在平面CDE內(nèi)分別過O1，O2作直線CE，DE的垂線，兩線交于點(diǎn)O，則有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圓性質(zhì)知，四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上，即點(diǎn)O是球心，連OA，O1A，OA即為球O的半徑，因平面平面，則，而，即有四邊形OO1EO2是正方形，則，中，，則，所求外接球的表面積.故選：B【題型七二面角模型】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點(diǎn).在中，，D為AC的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，則.因?yàn)槎娼鞘?50°，所以，所以，.因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，且D為AC的中點(diǎn)，所以.設(shè)為外接圓的圓心，則.設(shè)三棱錐外接球的球心為O，因?yàn)?，所以O(shè)在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖1，過作垂足為，取的中點(diǎn)，連接過作∥,且=，連接，則∵△為等邊三角形，則∴，，根據(jù)題意可得∵，則由題意可得，則，則如圖2，∵，則頂點(diǎn)在平面的投影為△的外接圓圓心，則三棱錐的外接球的球心在直線上，連接，則∴△的外接圓半徑，則設(shè)棱錐的外接球的半徑為，則即，解得三棱錐的外接球的表面積為故選：D．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形中，，將其沿對角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在菱形中，，則為等邊三角形，設(shè)線段的中點(diǎn)