高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第06練平面向量的正交分解及坐標表示(原卷版+解析)

第6練平面向量的正交分解及坐標表示eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標相同；②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標；③一個坐標對應(yīng)于唯一的一個向量；④平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應(yīng)．其中正確說法的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．42．平面直角坐標系中，的坐標A．與點的坐標相同 B．與點的坐標不相同 C．當與原點重合時，與點的坐標相同 D．當與原點重合時，與點的坐標相同3．分別以正方形的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量有A．4個 B．6個 C．8個 D．12個4．若、，則向量的坐標是A． B． C． D．5．設(shè)若向量，且點坐標為，則點坐標為A． B． C． D．6．已知，，則（）A．2 B． C．4 D．7．已知點(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（）A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)8．設(shè)點、，將向量按向量平移后得到為A． B． C． D．9．設(shè)向量，，則與一定不是A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量10．已知平行四邊形的三個頂點，，的坐標分別是，，，，則向量的坐標是A． B． C． D．11．已知，若，則實數(shù)對，為A． B． C． D．無數(shù)對12．如圖所示，若向量、是一組單位正交向量，則向量在平面直角坐標系中的坐標為A． B． C．或 D．或13．已知是方向分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為原點，設(shè)（其中，則對應(yīng)點位于A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限14．定義兩個互相垂直的單位向量為“一對單位正交向量”，設(shè)平面向量，2，3，滿足條件：，2，3，且，2，，則A． B．或 C．，2，3，中任意兩個都是一對單位正交向量 D．，是一對單位正交向量15．，，，，，，，是兩個向量集合，則等于A． B． C． D．二．填空題16．在平面直角坐標系內(nèi)，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示．17．在平面直角坐標系內(nèi)，已知、兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示．18．已知點，，則的坐標為．19．若、兩點的坐標分別為和，則．20．已知點，且，則點的坐標為．（判斷對錯）21．已知向量，點的坐標是，則點的坐標是．22．已知，點的坐標為，是的相等向量，則點的坐標為．23．設(shè)，，則向量坐標為，向量的坐標為，向量的坐標為，，．24．已知兩點，，則與同向的單位向量是．25．在平面直角坐標系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、4，則的單位向量是．26．已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標為．27．已知是坐標原點，點在第二象限，，，求向量的坐標為．28．已知，且向量的方向相對軸正向的轉(zhuǎn)角為，則向量的坐標為．29．已知向量的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標為．30．直角坐標系中，、分別是與、軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，若，，則的可能值個數(shù)是．31．把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形是．32．點按向量平移后的對應(yīng)點的坐標是，則．33．將函數(shù)的圖象按平移向量平移后得到函數(shù)的圖象，則該平移向量．34．設(shè)點、，將向量按向量平移后得到向量為．35．已知，，則．36．已知，別是方向與軸正方向、軸正方向相同的單位向量，為坐標原點，設(shè)，則點位于第象限．37．在中，，，，點是內(nèi)心，且，則．三．解答題38.如圖，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標．39．在直角坐標系中，向量，的方向如圖所示，且，，分別求出它們的坐標．40．已知表示向量的有向線段始點的坐標，求它的終點的坐標．（1），；（2），；（3），．41．已知中，，，，，是，的中點，是的中點，與交于點，求．42．設(shè)已知點，，及．求：為何值時，在軸上？在軸上？在第二象限？43．已知直角梯形中，，，過點作，垂足為點，為的中點，用向量的方法證明：（1）；（2），，三點共線．44.如圖，已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求和的坐標.45．已知菱形ABCD的三個頂點，，，求：（1）第四個頂點D的坐標；（2）菱形ABCD的面積．46.若，，當取最小值時，以O(shè)、P、Q、A四點構(gòu)成平行四邊形．（1）求；（2）求所有符合題意的點A所構(gòu)成的平面圖形的面積．47．設(shè)為平面直角坐標系中的四點，且，，．（1）若，求點的坐標及；（2）設(shè)向量，，若與平行，求實數(shù)的值．48．已知點，．（1）若C是線段AB的中點，求C點坐標；（2）若直線AB上的點D滿足，求D點坐標．49．已知點，向量繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)后等于，求點B的坐標．50．已知點，，將向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，求點C的坐標．51．以原點O及點A(2，-2)為頂點作一個等邊△OAB，求點B的坐標及向量的坐標.第6練平面向量的正交分解及坐標表示eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標相同；②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標；③一個坐標對應(yīng)于唯一的一個向量；④平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應(yīng)．其中正確說法的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【解析】向量平移坐標不變，故③錯，①②④均對．故選：．2．平面直角坐標系中，的坐標A．與點的坐標相同 B．與點的坐標不相同 C．當與原點重合時，與點的坐標相同 D．當與原點重合時，與點的坐標相同【解析】平面直角坐標系中，的坐標等于點的坐標減去點的坐標，故當與原點重合時，的坐標與點的坐標相同，故選：．3．分別以正方形的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量有A．4個 B．6個 C．8個 D．12個【解析】如圖，以正方形的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量為：，共8個．故選：．4．若、，則向量的坐標是A． B． C． D．【解析】、，，，，，，故選：．5．設(shè)若向量，且點坐標為，則點坐標為A． B． C． D．【解析】設(shè)點的坐標為，向量，且點坐標為，，，，，，、，解得、，故點坐標為，故選：．6．已知，，則（）A．2 B． C．4 D．【解析】由題得=（0,4）所以．故選C7．已知點(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（）A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故選：A8．設(shè)點、，將向量按向量平移后得到為A． B． C． D．【解析】、，將向量向左平移1個單位，再向下平移1個單位得到，知與的方向相同，大小也相等，只是位置不同罷了，于是故選：．9．設(shè)向量，，則與一定不是A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量【解析】由向量，，假設(shè)，則，無解，．故選：．10．已知平行四邊形的三個頂點，，的坐標分別是，，，，則向量的坐標是A． B． C． D．【解析】平行四邊形的三個頂點，，的坐標分別是，，，，，，，，，，，．，，，．故選：．11．已知，若，則實數(shù)對，為A． B． C． D．無數(shù)對【解析】，，，，解得．實數(shù)對，，．故選：．12．如圖所示，若向量、是一組單位正交向量，則向量在平面直角坐標系中的坐標為A． B． C．或 D．或【解析】以向量、公共的起點為坐標原點，建立如圖坐標系，，得，，，，，即在平面直角坐標系中的坐標為故選：．13．已知是方向分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為原點，設(shè)（其中，則對應(yīng)點位于A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】因為，且，，所以對應(yīng)點的橫坐標大于0，縱坐標小于0，所以點位于第四象限．故選：．14．定義兩個互相垂直的單位向量為“一對單位正交向量”，設(shè)平面向量，2，3，滿足條件：，2，3，且，2，，則A． B．或 C．，2，3，中任意兩個都是一對單位正交向量 D．，是一對單位正交向量【解析】，2，，或．或．可取，，，或．，，，或．取同樣可得．即可排除，，．因此正確．故選：．15．，，，，，，，是兩個向量集合，則等于A． B． C． D．【解析】根據(jù)所給的兩個集合的元素，表示出兩個集合的交集，在集合中，，在集合中，．要求兩個向量的交集，即找出兩個向量集合中的相同元素，元素是向量，要使得向量相等，只有橫標和縱標分別相等，二元一次方程組的解只有一組，此時，，．故選：．二．填空題16．在平面直角坐標系內(nèi)，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示．【解析】在平面直角坐標系內(nèi)，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示．故答案為：．17．在平面直角坐標系內(nèi)，已知、兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示．【解析】由于，是兩個互相垂直的單位向量，且，所以向量用坐標表示為．故答案為：．18．已知點，，則的坐標為．【解析】，，，，故答案為：19．若、兩點的坐標分別為和，則．【解析】由題意可得：、兩點的坐標分別為和，所以．故答案為．20．已知點，且，則點的坐標為．（判斷對錯）【解析】，，，，因此正確．故答案為：正確．21．已知向量，點的坐標是，則點的坐標是．【解析】設(shè)點坐標為點的坐標是，即，解得：，故點的坐標故答案為：22．已知，點的坐標為，是的相等向量，則點的坐標為．【解析】，，，．故答案為：．23．設(shè)，，則向量坐標為，向量的坐標為，向量的坐標為，，．【解析】，，向量，向量，向量，，．故答案為：，，，，．24．已知兩點，，則與同向的單位向量是．【解析】，，，與同向的單位向量是，，．故答案為：，．25．在平面直角坐標系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、4，則的單位向量是．【解析】在軸、軸正方向上的投影分別是、4，，．則的單位向量．故答案為：．26．已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標為．【解析】向量的方向與軸的正向所成的角為，且，如圖所示，向量的終點為或，由三角函數(shù)的定義，可得，；所以的坐標為或．故答案為：或．27．已知是坐標原點，點在第二象限，，，求向量的坐標為．【解析】是坐標原點，點在第二象限，，，，，即，．故答案為：．28．已知，且向量的方向相對軸正向的轉(zhuǎn)角為，則向量的坐標為．【解析】：以為原點，軸的正方向與向量的方向的轉(zhuǎn)角為，，該點的縱坐標為，橫坐標為，向量的坐標為，或，．故答案為：，或，．29．已知向量的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標為．【解析】向量的方向與軸的正向所成的角為，且，如圖，向量的終點坐標為或，由三角函數(shù)的定義，可得，，．故答案為：，或．30．直角坐標系中，、分別是與、軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，若，，則的可能值個數(shù)是．【解析】，因為為直角三角形，（1）時，；（2）時，；（3）時，綜上所述，或故答案為：，．31．把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形是．【解析】平行于某一直線的一切向量都是共線向量，由共線向量的概念可知，把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形是直線．故答案為：直線．32．點按向量平移后的對應(yīng)點的坐標是，則．【解析】點按向量平移后的對應(yīng)點的坐標是，是一個以為起點，為終點的向量，，，故答案為：33．將函數(shù)的圖象按平移向量平移后得到函數(shù)的圖象，則該平移向量．【解析】函數(shù)，將函數(shù)的圖象按平移向量平移后得到函數(shù)的圖象，即得到，可以看出圖象向右平移一個單位，向下平移一個單位，平移的向量是故答案為：34．設(shè)點、，將向量按向量平移后得到向量為．【解析】、，，向量平移后向量的坐標不變，，故答案為：35．已知，，則．【解析】，，則．故答案為：．36．已知，別是方向與軸正方向、軸正方向相同的單位向量，為坐標原點，設(shè)，則點位于第象限．【解析】由題意可得，，故，，，，點位于第四象限．故答案為：四．37．在中，，，，點是內(nèi)心，且，則．【解析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由題意得：，，，．．故答案為：．三．解答題38.如圖，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標．【解析】由圖可知，，所以．同理，，，．39．在直角坐標系中，向量，的方向如圖所示，且，，分別求出它們的坐標．【解析】設(shè)點，∵，且，∴，．又，∴，．故，．40．已知表示向量的有向線段始點的坐標，求它的終點的坐標．（1），；（2），；（3），．【解析】設(shè)，，（1），，，，，終點的坐標為，（2），，，，，解得，，終點的坐標為，（3），，，，，解得，，終點的坐標為，41．已知中，，，，，是，的中點，是的中點，與交于點，求．【解析】，，，，．，是，的中點，是的中點，與交于點，是的中點，．42．設(shè)已知點，，及．求：為何值時，在軸上？在軸上？在第二象限？【解析】點，，及．，，，當在軸上時，它的坐標要滿足縱標為0，，，當在軸上，它的坐標要滿足橫標為0，，當在第二象限時，，，43．已知直角梯形中，，，過點作，垂足為點，為的中點，用向量的方法證明：（1）；（2），，三點共線．【解析】（1）證明：如圖，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則因為，，，，易知四邊形為正方形．所以可求得各點坐標分別為，，，，，因為，，所以，所以，又與無公共點，所以．（2）證明：連接，．因為為的中點，所以，所以兇，，所以，所以．又與有公共點，所以，，三點共線．44.如圖，已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求和的坐標.【解析】（由題知，分別是，角的終邊與單位圓的交點．設(shè)，．由三角函數(shù)的定義，得，，∴．，，∴．∴，．∴，45．已知菱形ABCD的三個頂點，，，求：（1）第四個頂點D的坐標；（2）菱形ABCD的面積．【解析】（（1）設(shè)，由，得，解得，，所以點的坐標為.（2）∵，，，，∴，∴菱形的面積.46.若，，當取最小值時，以O(shè)、P、Q、A四點構(gòu)成平行四邊形．（1）