高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.1直線方程(精練)(原卷版+解析)

8.1直線方程【題型解讀】【題型一直線的傾斜角與斜率】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)））直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．2.(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）））設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．3.(2023·青島高三月考）直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的變化范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))4.(2023·濟(jì)南高三期末）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，______.【題型二求直線的方程】1.(2023·青島高三模擬）過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（）A． B．C． D．2.(2023·山東日照高三模擬））經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量為的直線方程是（）A． B．C． D．3.(2023·浙江高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變化時(shí)，所得直線都通過的定點(diǎn)是（）A． B． C． D．4.(2023·全國高三模擬）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，則△ABC的邊BC上的高所在的直線方程為()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝05.(2023·浙江高三模擬）過點(diǎn)(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為______________．【題型三直線的位置關(guān)系】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）直線，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.(2023·廣東深圳市·高三二模）若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5.(2023·杭州模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝eq\f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6.(2023·荊門模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為()A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0【題型四兩直線的交點(diǎn)與距離問題】1.(2023·浙江高三專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為______．3.已知，滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．0 B．1 C． D．4.(2023·山東青島·二模）已知點(diǎn)P與點(diǎn)的距離不大于1，則點(diǎn)P到直線的距離最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．75.兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為()A．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)C．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)【題型五對(duì)稱問題】1.(2023·南京市大廠高級(jí)中學(xué)高三月考）已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為A． B．C． D．2.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3.(2023·山東青島·二模）若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線一定過定點(diǎn)（）A． B． C． D．4.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖所示)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP的長度為()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)5.已知三角形的一個(gè)頂點(diǎn)A(4，－1)，它的兩條角平分線所在的直線方程分別為l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，則BC邊所在直線的方程為________．8.1直線方程【題型解讀】【題型一直線的傾斜角與斜率】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)））直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．答案：D【解析】由可得，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故選：D.2.(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）））設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：C【解析】當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，其傾斜角為，當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，由上知，傾斜角的范圍是．故選：C．3.(2023·青島高三月考）直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的變化范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))答案：B【解析】直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).4.(2023·濟(jì)南高三期末）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，______.答案：eq\f(1,3)－3【解析】如圖，在正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形的性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OC的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.【題型二求直線的方程】1.(2023·青島高三模擬）過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D2.(2023·山東日照高三模擬））經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量為的直線方程是（）A． B．C． D．答案：A【解析】直線的方向向量為，直線的斜率，直線的方程為，即.故選：A.3.(2023·浙江高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變化時(shí)，所得直線都通過的定點(diǎn)是（）A． B． C． D．答案：C【解析】由變形得：，由，解得，直線恒過定點(diǎn).故選：C.4.(2023·全國高三模擬）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，則△ABC的邊BC上的高所在的直線方程為()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0答案：B【解析】因?yàn)锽(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝eq\f(3－1,1－3)＝－1，故BC邊上的高所在直線的斜率k＝1，又高線經(jīng)過點(diǎn)A(－1,1)，所以其所在的直線方程為x－y＋2＝0.2．5.(2023·浙江高三模擬）過點(diǎn)(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為______________．答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0【解析】由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3或a＝4，b＝2.故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.【題型三直線的位置關(guān)系】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）直線，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】當(dāng)時(shí)，直線，，，所以，故充分；當(dāng)時(shí)，，解得或，故不必要；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A2.(2023·廣東深圳市·高三二模）若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C． D．答案：B【解析】由已知條件可得，解得.故選：B.3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】由題知，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，斜率，直線的方程為，斜率．因?yàn)?，所以兩直線垂直，故充分性成立；若直線與垂直，則有，解得或，故必要性不成立.故選：A．4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】若，則直線和直線互相垂直，是充分條件；若直線與直線互相垂直，則，因?yàn)閙取任意實(shí)數(shù)都成立，故不是必要條件；故選：A．5.(2023·杭州模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝eq\f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】當(dāng)l1∥l2時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＋2＝0，,2a－1≠0，))解得a＝－1或a＝2.而由ea＝eq\f(1,e)，解得a＝－1，所以“ea＝eq\f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．6.(2023·荊門模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為()A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0答案：D【解析】由題設(shè)，可得kAB＝eq\f(2－0,1－2)＝－2，且AB的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))，∴AB垂直平分線的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝eq\f(1,2)，故AB的垂直平分線方程為y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋1＝eq\f(x,2)＋eq\f(1,4)，∵AC＝BC，則△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分線上，∴△ABC的歐拉線的方程為2x－4y＋1＝0.【題型四兩直線的交點(diǎn)與距離問題】1.(2023·浙江高三專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)距離公式可得：點(diǎn)到直線的距離，故選：B.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為______．答案：【解析】∵直線與平行，∴，解得，∴直線：，直線：，∴直線與之間的距離．故答案為：3.已知，滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．0 B．1 C． D．答案：C【解析】將代入直線方程，得，所以直線必過定點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選:C4.(2023·山東青島·二模）已知點(diǎn)P與點(diǎn)的距離不大于1，則點(diǎn)P到直線的距離最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B【解析】設(shè)點(diǎn)，則，圓心到的距離為則點(diǎn)P到直線的距離最小值為故選：B5.兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為()A．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)C．a(chǎn)＝6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a(chǎn)＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)答案：B【解析】由題知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化為2x－y＋eq\f(4,3)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq\f(\r(5),3).【題型五對(duì)稱問題】1.(2023·南京市大廠高級(jí)中學(xué)高三月考）已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為A． B．C． D．答案：A【解析】在上任取一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，解得，代入，得：，所以直線的方程為.故選：A2.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案：A【解析】直線即，故，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．則解得．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．3.(2023·山東青島·二模）若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線一定過定點(diǎn)（）A． B． C． D．答案：C【解析】∵＝k（x﹣1）+1，∴l(xiāng)1：y＝kx﹣k+1過定點(diǎn)（1，1），設(shè)定點(diǎn)（1，1）關(guān)于點(diǎn)（3，3）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則，得，即直線l2恒過定點(diǎn)故選：C4.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖所示)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP的長度為()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)答案：D【解析】以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0.設(shè)P(t，0)(0<t<4)，可得點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(4,4－t)，點(diǎn)