新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)02 一元二次不等式恒成立、能成立問題【六大題型】（舉一反三）（原卷版）

重難點(diǎn)02一元二次不等式恒成立、能成立問題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1

一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題】 2【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】 3【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題】 3【題型4一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解問題】 4【題型5一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】 5【題型6一元二次不等式恒成立、有解問題的綜合應(yīng)用】 6一元二次不等式是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.其中，“含參不等式恒成立與能成立問題”是?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)備受高考命題者的青睞.另一方面，在解決這類數(shù)學(xué)問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維能力都起到很好的作用.一元二次不等式應(yīng)用廣泛，考察靈活，高考復(fù)習(xí)過程要注重知識與方法的靈活運(yùn)用.【知識點(diǎn)1一元二次不等式恒成立、能成立問題】1．一元二次不等式恒成立、能成立問題不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．一元二次不等式恒成立問題的求解方法(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).①若ax2+bx+c>0恒成立，則有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，則有a<0，且△<0.②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).3．給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題的解題策略解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.4．常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理策略不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：(1)對任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立SKIPIF1<0a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解SKIPIF1<0a>f(x)min；若對任意x∈[m,n]，a>f(x)無解SKIPIF1<0a≤f(x)min.(2)對任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立SKIPIF1<0a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解SKIPIF1<0a<f(x)max；若對任意x∈[m,n]，a<f(x)無解SKIPIF1<0a≥f(x)max.【題型1

\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題"一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題】【例1】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（

）A．?∞,?2 B．?∞,?4【變式1-1】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）“b∈?2,2”是“?x∈R，x2?bx+1≥0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）己知函數(shù)f(x)=?x(1)當(dāng)a=5時，解不等式f(x)<0;(2)若不等式f(x)≤0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式1-3】（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx(1)若對?x∈R，都有fx>?1成立，求實(shí)數(shù)(2)解關(guān)于x的不等式fx【題型2\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題"一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】【例2】（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎?dāng)x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?【變式2-1】（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知?x∈1,2，?y∈2,3，y2?xy?mxA．4,+∞ B．0,+∞ C．6,+【變式2-2】（2023上·福建莆田·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)fx=x(1)若t=1，且對任意的x∈a,a+2，都有fx≤5(2)若對任意的x1,x2∈【變式2-3】（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)f(x)=mx(1)若對于x∈[?1,1],f(x)<?m+5恒成立，求m的取值范圍；(2)若對于m∈[?2,2],f(x)<?m+5恒成立，求x的取值范圍．【題型3給定參數(shù)范圍的\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題"一元二次不等式恒成立問題】【例3】（2022下·河南濮陽·高一濮陽一高?？计谥校┮阎?dāng)?1≤a≤1時，x2+a?4x+4?2a>0恒成立，則實(shí)數(shù)A．?∞,3C．?∞,1【變式3-1】（2023上·山東淄博·高一?？茧A段練習(xí)）若命題“??1≤a≤3，ax2?2a?1x+3?a<0A．x?1≤x≤4 B．C．x?1≤x≤0或【變式3-2】（2023上·浙江寧波·高一校考階段練習(xí)）（1）解關(guān)于x不等式ax（2）若對于?2≤m≤2，不等式mx2?mx?1<?m+5【變式3-3】（2023上·山東濰坊·高一校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x?1>m(x(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式對任意x∈R恒成立，并說明理由；(2)若不等式對于m∈?2,2恒成立，求實(shí)數(shù)x(3)若不等式對x∈[2,+∞)有解，求【題型4\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題"一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解問題】【例4】（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┤裘}“?x∈R，x2?2mx+m+2<0”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．m<?1或m>2 B．m≤?1或m≥2C．?1≤m≤2 D．?1<m<2【變式4-1】（2023上·高一課時練習(xí)）若存在x∈R，使得4x+mx2A．mm≤0 B．C．mm≥?2 D．【變式4-2】（2022上·湖南·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)fx(1)若不等式fx<0的解集為1,2，求實(shí)數(shù)a，(2)若f?1=5，且存在x∈R，使fx【變式4-3】（2022上·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）已知fx=x(1)若fx<0的解集是x?3<x<6，求a(2)若不等式fx<0有解，且解區(qū)間的長度不超過5個單位長度，求實(shí)數(shù)【題型5\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題"一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】【例5】（2023·河南·長葛市統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4【變式5-1】（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）若至少存在一個x<0，使得關(guān)于x的不等式3?3x?a>x2+2xA．?374,3 B．?3,13【變式5-2】（2023上·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)解關(guān)于x的不等式fx(2)若不等式fx<0在x∈?2,0【變式5-3】（2023上·山東淄博·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)fx(1)若命題：?x∈R,fx(2)若存在x∈?4,0,fx【題型6一元二次不等式恒成立、有解問題的綜合應(yīng)用】【例6】（2023上·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2x2(1)當(dāng)a=1時，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若?x1∈0,1，?x【變式6-1】（2022上·重慶渝中·高一?？茧A段練習(xí)）若命題p：存在1≤x≤2,x2?x+3?a<0，命題q：二次函數(shù)y=x2(1)若命題p,q中至少有一個真命題，求a的取值范圍？(2)對任意的?1≤a≤1，存在0≤b≤2，使得不等式x2?2ax+a≥|b?1|+|b?2|成立，求【變式6-2】（2023下·浙江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)二次函數(shù)f(x)=x(1)若c=b，且f(x)在[0,2]上的最大值為c+2，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若對任意的實(shí)數(shù)b，都存在實(shí)數(shù)x0∈[1,2]，使得不等式|f(x【變式6-3】（2023上·天津北辰·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y1=x+m和（1）若c=2?a，關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是x?1<x<3.求實(shí)數(shù)（2）若c=2?a，b=2，a≥0，解關(guān)于x的不等式ax（3）若a=1，b=?m，c=m22+2m?3，對?x1∈x0≤x≤1，總?x2∈x1≤x≤2，使得y11．（2005·遼寧·高考真題）定義在R上的運(yùn)算：x?y=x(1?y).若不等式(x?a)?(x+a)<1對任意實(shí)數(shù)x都成立，則（

）A．?32<a<12 B．2．（2008·寧夏·高考真題）已知a1>a2>aA．0,1a1 B．0,23．（2014·江蘇·高考真題）已知函數(shù)f(x