新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題訓(xùn)練專題12 運(yùn)用空間向量研究立體幾何問題（1）（原卷版）

專題12運(yùn)用空間向量研究立體幾何問題（1）1、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（理））在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為1．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0距離為2，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．2、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，當(dāng)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0．3、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)F滿足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．4、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)(理)（文））如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，SKIPIF1<0，點(diǎn)F在AC上，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)證明：平面SKIPIF1<0平面BEF；(3)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.5、【2022年全國甲卷】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．6、【2022年全國乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．7、【2022年新高考1卷】如圖，直三棱柱ABC?A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A8、【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C?AE?B的正弦值．題組一、線面角1-1、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值.1-2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在正三棱柱SKIPIF1<0中，D為棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為AC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若直線FG與平面BCD所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求AD的長．1-3、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，E是CD的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，G是SKIPIF1<0的重心．(1)求證：SKIPIF1<0平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，求直線AG與平面PBD所成角的正弦值．題組二、面面角2-1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.2-2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值.2-3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體ABCDEF中，A，B，C，D四點(diǎn)共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AF⊥平面ABCD，SKIPIF1<0．(1)求證：CD⊥平面ADF；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值．題組三、線面角與面面角的綜合3-1、（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）如圖所示，在直四棱柱ABCD-SKIPIF1<0中，底面ABCD為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；3-2、（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，D為AC的中點(diǎn)，AB=BC=2，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且滿足：三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為60°，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.1、（2022·山東青島·高三期末）如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，SKIPIF1<0底面ABCD，M為BC中點(diǎn)，且SKIPIF1<0.（1）求證：面SKIPIF1<0面PDB；（2）若兩條異面直線AB與PC所成的角為45°，求面PAM與面PBC夾角的余弦值.2、（2022·山東德州·高三期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若直線AC與平面SKIPIF1<0所成角的大小為30°，求銳二面角SKIPIF1<0的大小.3、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形ABCD是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求a的值；(3)在（2）的條件下求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．4、（2023·湖北·校聯(lián)考三模）已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）SKIPIF1<0的各條棱長均為2，且有SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．5、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0內(nèi)接于圓柱，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0為圓柱底面的直徑；(2)若M為SKIPIF1<0中點(diǎn)，N為SKIPIF1<0中點(diǎn)，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值．6、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在SKIPIF1<0