2024-2025學(xué)年廣東省五校協(xié)作體高三畢業(yè)班聯(lián)考(一)數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2024-2025學(xué)年廣東省五校協(xié)作體高三畢業(yè)班聯(lián)考(一)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),點(diǎn),,,,設(shè)對(duì)一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.2.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)在上最大值是13.已知集合,集合,則A. B.或C. D.4.某個(gè)小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1405.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說(shuō)法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點(diǎn),已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于()A. B.1 C. D.7.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.8.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),其中點(diǎn)在第一象限,若弦的長(zhǎng)為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或9.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的概率為()A. B. C. D.10.若為純虛數(shù),則z=()A. B.6i C. D.2011.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖(例如:年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、),根據(jù)該圖,以下結(jié)論一定正確的是()A.年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C.三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩D.口罩的產(chǎn)量逐年增加12.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為.14.在的展開(kāi)式中的系數(shù)為,則_______.15.已知向量,,,則_________.16.為了了解一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測(cè),如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,離心率為,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn),為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.19.(12分)將棱長(zhǎng)為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線上的定點(diǎn)在曲線外且其到上的點(diǎn)的最短距離為,試求點(diǎn)的坐標(biāo).21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點(diǎn),將沿折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,連接,,為的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問(wèn)題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.2.A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式;利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無(wú)法取得,錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),此時(shí)沒(méi)有最大值,錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng):本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式,通過(guò)正弦函數(shù)的圖象來(lái)判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).3.C【解析】

由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.4.C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過(guò)15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過(guò)15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C5.C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于,若,則可能為平行或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對(duì)于,若,只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有,錯(cuò)誤.故選:.本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.6.D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線,代入點(diǎn),可得∴焦點(diǎn)為,即焦點(diǎn)為中點(diǎn),設(shè)焦點(diǎn)為,,,∴.故選:D本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).7.C【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.8.C【解析】

先根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當(dāng)直線的方程為.,綜上,或.選C.本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)問(wèn)題一般是利用弦長(zhǎng)公式來(lái)處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí),一般考慮拋物線的定義.9.D【解析】

利用列舉法,從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.記這5部專(zhuān)著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的概率為.故選D.本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.10.C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念,可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù),∴且得,此時(shí)故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.11.C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤,根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知,所以,從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法比較,故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤;由堆積圖可知,從年至年,該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的,則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩,C選項(xiàng)正確.故選:C.本題考查堆積圖的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.4【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.據(jù)此可知:的最小值為4.條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.14.2【解析】

首先求出的展開(kāi)項(xiàng)中的系數(shù),然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知,當(dāng)時(shí)有,解得.故答案為:.本題主要考查了二項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)的系數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.15.2【解析】

由得,算出,再代入算出即可.【詳解】,,,,解得:,,則.故答案為:2本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,向量垂直的性質(zhì),向量的模的計(jì)算.16.100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長(zhǎng)度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛:頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為,因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【解析】

(1)的面積最大時(shí),是短軸端點(diǎn),由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應(yīng)用韋達(dá)定理得,注意,一是計(jì)算,二是計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離,兩者比較可得結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)樵跈E圓上,當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí),到軸距離最大,此時(shí)面積最大,所以,由,解得,所以橢圓方程為.(2)在時(shí),設(shè)直線方程為,原點(diǎn)到此直線的距離為,即,由,得,,,所以,,,所以當(dāng)時(shí),,,為常數(shù).若,則,,,,,綜上所述,當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力.解題方法是“設(shè)而不求”法.在直線與圓錐曲線相交時(shí)常用此法通過(guò)韋達(dá)定理聯(lián)系已知式與待求式.18.(1);(2).【解析】

(1)通過(guò)討論的范圍,分為,,三種情形,分別求出不等式的解集即可;(2)通過(guò)分離參數(shù)思想問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出最值即可得到的范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于,解得,所以,當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于,解得,所以此時(shí)不等式無(wú)解,當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于,解得,所以綜上所述,不等式解集為.(2)由,得,當(dāng)時(shí),恒成立,所以;當(dāng)時(shí),.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即或時(shí),等號(hào)成立,所以;綜上的取值范圍是.本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19.(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接、,連接,證明出四邊形為平行四邊形,可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得二面角的余弦值,進(jìn)而可求得其正弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接、、,且,四邊形為平行四邊形,且,、分別為、中點(diǎn),且,則四邊形為平行四邊形,且,且,且,所以,四邊形為平行四邊形,且,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,,,因此,二面角的正弦值為.本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20.(1)的普通方程為.的直角坐標(biāo)方程為(2)(-1,0)或(2,3)【解析】

(1)對(duì)直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程,對(duì)整理并兩邊乘以,結(jié)合,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程。(2)由(1)得:曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,由題可得:,利用兩點(diǎn)距離公式列方程即可求解?!驹斀狻拷猓海?)由消去參數(shù),得.即直線的普通方程為.因?yàn)橛?,∴曲線的直角坐標(biāo)方程為(2)由知,曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)P到上的點(diǎn)的最短距離為|PQ|即,整理得,解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0)或(2,3)本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方

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