多選題測試試題及答案

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.若實數(shù)。22,則下列不等式中一定成立的是()

0+2fl+l

A.(a+l)>(a+2)B.logu(tz+l)>log(,+1(tz+2)

,/,、a+1.._tz+2

C.log?(a+l)<----D.log(a+2)<----

au+1a+1

【答案】ABD

【分析】

對于選項A：原式等價于.(，+1)〉.("+2),對于選項0

。+1Q+2

[/,八。+1ln(〃+l)Q+1ln(6f+l)Ina7工、+岳、

k>g”(a+l)<----<=>—^-----f<----<=>—^-----J<——，對于選項D：變形為

aInaaa+1a

IM；；)/*：；),構(gòu)造函數(shù)4x)=(,通過求導(dǎo)判斷其在xe(e,”)上的單調(diào)

性即可判斷；

ln(a+l)In(67+2)

對于選項B：利用換底公式：log“(a+l)>log"|(a+2)o———->—7~~標，

Inaln(a+l)

等價于ln2(a+l)>lna」n(a+2),利用基本不等式，再結(jié)合放縮法即可

判斷；

【詳解】

令/(x)=(，則r(x)=L詈<0在xe(3,卡動上恒成立，所以函數(shù)/(力=(

在xe(e,+0。)上單調(diào)遞減，

對于選項A：因為a22,所以

(a+l)n+2>(a+2嚴o(a+2)ln(a+l)>(a+l)ln(a+2),

即原不等式等價于蛆,+I)>皿”2),因為。+1<。+2,所以

。+1Q+2

ln("+l)>ln(a+2),從而可得(。+1)"+2>(。+2)"|,故選項A正確；

a+1a+2

.丁田田一1/八。+1ln(a+l)a+lln(tz+l)\na

對于選項C：log”(a+l)<——————0=————，

aInaa。+1a

由于函數(shù)/(尤)=等在(％”)上單調(diào)遞減，所以/(4)</(3),即竽<與，

ERln421n2In2,ln2In3仃八Inftz+l)Ino工…

因為一=-----=——，所以一<—,取。=2,則」———,故選項c錯

44223a+la

誤;

“~r、*hi/c、。+2In(a+2)a+2In(a+2)ln(a+l)

對于選項<=>--；----工<---。---------<--------,與選

D：loguu+l(a+2)<----7

a+1ln(a+l)a+la+2a+1

項A相同，故選項D正確.

ln(a+l)ln(a+2)

對于選項B：log“(a+l)>log“+|(a+2)——->—；~言,因為a22,

InaIn(a+l)

_|2

所以等價于ln2(a+l)>lna/n(a+2),因為lna-ln(a+2)<++,

Ina+In(a+2)ln(tr+2a)

因為

2―2

所以不等式log〃(a+l)>log〃+i(a+2)成立，故選項B正確;

故選：ABD

【點睛】

本題考查利用對數(shù)的換底公式、構(gòu)造函數(shù)法、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、結(jié)合基本不等

式和放縮法比較大??；考查邏輯推理能力、知識的綜合運用能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和運算

求解能力；屬于綜合型強、難度大型試題.

ln(x+l),x>0

2.已知函數(shù)/(幻=<2c,八，其中實數(shù)Q￡R，則下列關(guān)于X的方程產(chǎn)(X)-(1+

x-2ax+1,x<0

a)-/(x)+a=0的實數(shù)根的情況，說法正確的有()

A.。取任意實數(shù)時，方程最多有5個根

B.當一1一后<a<匕好時,方程有2個根

22

C.當。=土立

時，方程有3個根

2

D.當a4-4時，方程有4個根

【答案】CD

【分析】

先化簡方程為/。)=1或/(x)=a,再對。進行分類討論，結(jié)合圖象來確定/。)=1或

/(x)=a分別有幾個根，根據(jù)結(jié)果逐一判斷選項正誤即可.

【詳解】

解:關(guān)于x的方程產(chǎn)(x)-(l+a"(x)+a=0,即[/(%)-=0,故/(x)=l或

f(x)=a.

ln(x+l),x>0/、

函數(shù)/(x)="工22ax+[x<0中，xN°J(x)=1n(x+l)單調(diào)遞增，

x<0,/(x)=x2—2ax+l=(x—a)'+\—cT,對稱軸為x=a,判別式

△=4(a+l)(q_l).

由圖象可知，方程/(x)=l有1個根，a>l時方程/(x)=a有2個根，OWaWin寸，方程

/(x)=a有1個根，故a>l時已知方程有3個根，0<。<1時，已知方程有2個根，

a=1時已知方程有1個根；

(2)a=—1時，函數(shù)f(x)圖象如下：

由兩個圖象可知，時，方程/(x)=l有2個根，方程/(x)=a沒有根，故己

知方程有2個根；

(3)a<-l時，函數(shù)/3圖象如下：方程八>)=1有兩個根.

故當。＜上且時，1—4＜。，直線y=a如圖①，方程/(幻=。有2個根，故已知

2

方程有4個根；

當4=二1二@時，1一"=4,直線y=a如圖②，方程有/(x)=a有1個根，故已知

2

方程有3個根；

當士好＜。＜一1時，1一片＞.,直線＞=。如圖③，方程/(x)=a沒有根，故已知

2

方程有2個根.

綜上可知，。取任意實數(shù)時，方程最多有4個根，選項A錯誤；土且＜。＜1時方程有

2

2個根，。=1時已知方程有1個根，4＞1時方程有3個根，故選項B錯誤；當

a-1.石時,方程有3個根，C正確；當〈土且時，方程有4個根，故D

22

正確.

故選：CD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：

本題的解題關(guān)鍵在于分類討論確定二次函數(shù)的圖象，以及其最低點處1-/與。的關(guān)系，

以確定方程/(%)=。的根的情況，才能突破難點.

3.已知函數(shù)/(x)=＜，若關(guān)于X的方程/。)="有四個不等實根占，

2U+2),X＜-1

*2，￡，尤/不＜當＜F＜工4)，則下列結(jié)論正確的是()

A.\<m<2B.sinXj-cos%,>0

c.4X3+X4>-lD.x；+E+]og,“0的最小值為io

【答案】ACD

【分析】

畫出了(x)的圖象，結(jié)合圖象求得〃2,%,々，與，匕的取值范圍，利用特殊值確定B選項錯

誤，利用基本不等式確定CD選項正確.

【詳解】

畫出/(X)的圖象如下圖所示，

由于關(guān)于X的方程f(x)=,"有四個不等實根X1,々，》3，/(百<%4)，

由圖可知1<帆42,故A選項正確.

由圖可知和當關(guān)于直線x=—2對稱，故"殳=—2,百+々=T，

由2(x+2『=2(x(—1)解得x=—3或x=—l,

所以—3<X<-2,-2<x2<—\,

一個時，sinx,=cosx=-^-,sinXj-cosx=0?所以B選

-3<——<—2,當玉22

項錯誤.

令2（'+2）=77Z（X<-1），log?,2（v+:）=log?,/77=b（x+2）2log,,,2=1,

2

2（x+2）log/wV2=l,%,工2是此方程的解，

所以log,"逝=1,或log,”0=]

2（x,+2）22（%+2）2'

故％2+log,〃亞=x；+（—4-xJ+1

2（%+2）2

=2(-人產(chǎn)沖32)2.

——^?+8=10,

2（%+2）一

15

當且僅當2a+2)2(x+2)?’玉=一/時等號成立'故D選項正確.

由圖象可知log,（x3+1）=-log2（x4+l）,

?og（A3+l）+log（X+l）=0,（毛+1〉（七+1）=1，X4+l=--7^4=--j-1，

224人RIL人RIL

由|log2（x+l）|=l（x>T）,解得x=l或尤=-g,

由|log2（x+l）|=2（x>-l）,解得x=3或工=一（,

31

所以一工<尤3V—5，1<“443,

4項+%4=4毛+土-1=4（芻+1）+2

-5

人'II人RIX

1

令4（x+l），（X+1）2=—,x=—或％=一二，

x+1422

所以①的等號不成立，即4七+七＞-1，故C選項正確.

故選：ACD

【點睛】

求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點問題，可考慮結(jié)合圖象來求解.求解不等式、最值有關(guān)的問

題，可考慮利用基本不等式來求解.

4.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(-x)+/(x)=0,當X＜0時，

3

f(x)=x2+2ax+-a(a&R),則下列說法正確的是()

2

A.若方程/(x)=ac+￡有兩個不同的實數(shù)根，則。＜0或4＜。＜8

B.若方程/(幻=依+彳有兩個不同的實數(shù)根，則4<a<8

C.若方程/(x)=or+］有4個不同的實數(shù)根，則。>8

D.若方程/(%)=依+￡有4個不同的實數(shù)根，則。>4

【答案】AC

【分析】

由題知/(幻是R上的奇函數(shù)，則由x<0時的解析式可求出/(x)在R上的解析式.先討論

特殊情況x=0為方程的根，則可求出。=0,此時方程化為/(x)=0,而函數(shù)f(x)為R

上的減函數(shù)，則方程僅有一個根.當x/0時.，由分段函數(shù)分類討論得出x<0時，

14

a=—(x+l)+=~-+2,x>0時，a=x-2+——+4.利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出圖

一(x+1)x-2

象，則可得知方程/(幻="+*|不同的實數(shù)根個數(shù)分別為2個和4時，參數(shù)a的取值范

圍.

【詳解】

因為/(-x)+/(X)=。所以/(-x)=-/(x),

所以/(X)是R上的奇函數(shù)，/(0)=0,

當%>0時，一％<0,f(-x)=x2-2ax+-a,

3

所以f(x)=—f(—x)——廠+2cix——aj

1c3

綜上/(x)=<0,x=0,

2c3八

—x+2ax——x>0

若x=0是方程/(x)=6+］的一個根，

則a=0,此時/(%)="+|',即/(x)=0,

x2,x<0

而/(x)=1o,x=O，在R上單調(diào)遞減，

—x~,x>0

當。=0時，原方程有一個實根.

)3a

當x<0時，x-+2axH—ci—axH—，

22

所以產(chǎn)+辦+4=。,當工=一1時不滿足,

21

所以［=----%----=一。+1）+-----------+2,

x+1-（X+1）

13Q

當%>0時，一廠+2ax—。=axH—,

22

所以公一口+2。=0,當x=2時不滿足,

x~4

所以。=----=X-2H---------F4,如圖:

x—2x—2

若方程/0）=公+］有兩個不同的實數(shù)根，

則avO或4<。<8；

若方程/（為=依+￡有4個不同的實數(shù)根，則a>8.

故選：AC

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將方程/（X）=sc+］進行參數(shù)分離，再借助數(shù)形結(jié)合法，求

出對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.

—x—2x,xK0

5.己知函數(shù)?,若X1<X2<X3<X4,且/（X1）=/（X2）=/（X3）=/（X4）,則下列

|log2x|,x>0

結(jié)論正確的是（）

A.Xl+X2=-1B.X3*4=l

C.1<X4<2D.<J<X1X2X3X4<I

【答案】BCD

【分析】

由解析式得到函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)各分段的性質(zhì)有益+々=-2,x3x4=1,

^<X,<1<X4<2,即可知正確選項.

【詳解】

由/(X)函數(shù)解析式可得圖象如下:

即X=L或2,

.,?由圖知：玉+/=-2,-2<xt<-l,而當y=l時，有|log2x|=l,

2

^<X3<1<X4<2,而/(x3)=f(x4)知|log2x3Hlog2x4|：log,x3+log2玉=0,

2

/.XjX4=1,x}x2x3x4=x\x2=—(%)+1)+1e(0,1).

故選：BCD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：利用分段函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象，由二次函數(shù)、對數(shù)運算性質(zhì)確定

玉,々,尤3，%的范圍及關(guān)系.

6.1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.Dirichlet,1805-1859)第一個引入了現(xiàn)代函數(shù)概念：

"如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么y是x的函數(shù)".由此引

發(fā)了數(shù)學(xué)家們對函數(shù)性質(zhì)的研究.下面是以他的名字命名的"狄利克雷函數(shù)"：

l,xe2

O(x)=〈c、八(Q表示有理數(shù)集合)，關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的是()

0,X&ORQ

A.D(x)是偶函數(shù)

B.Vxe/?,￡>(D(%))=1

C.對于任意的有理數(shù)f,都有。(x+r)=D(x)

D.存在三個點人(內(nèi),。(占)),6(工2，。(工2))，。(不，。(工3))，使?ABC為正三角形

【答案】ABCD

【分析】

利用定義判斷函數(shù)奇偶性，可確定A的正誤，根據(jù)"狄利克雷函數(shù)"及有理數(shù)、無理數(shù)的性

質(zhì)，判斷其它三個選項的正誤.

【詳解】

A：由。(x)定義知：定義域關(guān)于原點對稱，當xw。則-xwQ,當則—xe"。，

即有。(一x)=O(x),故。(x)是偶函數(shù)，正確；

B：由解析式知：\/》右夫,￡>(尤)=1或。。)=0,即￡>(￡>(x))=l,正確；

C：任意的有理數(shù)r,當xeQ時，*+/€。即。（％+。=。。），當XG6RQ時，

%+/€?。即￡>0+。=。0）,正確；

D：若存在JA6C為正三角形，則其高為1,邊長為2叵，所以當

3

A（—],O）,B（（M）,C（￥，O）時成立，正確;

故選：ABCD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用函數(shù)的奇偶性判斷，結(jié)合新定義函數(shù)及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)判斷各選

項的正誤.

7.設(shè)國表示不超過X的最大整數(shù)，如：[1.2]=1,[—1.2]=-2,y=[x]又稱為取整函

數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費，出租車收費等均按"取整函數(shù)"進行計

費，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）

A.Vxe/?,[2x]=2[x]

B.Vx,ye/?,若[x]=[y],則

C.VXG/?,[X]+X+~=[2x]

D.不等式2[xf—[可―3NO的解集為{x[x<?；騲?2}

【答案】BCD

【分析】

通過反例可得A錯誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式2產(chǎn)-，-320的

解后可得不等式2[x『一[司—320的解集，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

對于A,x=-1.5,則[2x]=[—3]=-3,2[x]=2x（—2）=T,故[2月。2國，故A不成

立.

對于B,[x]=[y]=m,則+y<加+1,

故一加一1v—yK—相，所以x—y>—1,故B成立.

對于C,設(shè)％=加+尸，其中m￡Z/￡[0,l）,

則[元]+x+~=2m+r+；,[2x]=2m+[2r],

若0W"g,則〃+g=0,[2r]=0,故[x]+x+；=[2x]；

若;<r<l,則r+|=1,[2r]=l,故[x]+x+；=[2x],故C成立.

對于D,由不等式2[xf—卜]一320可得國W-l或[X]N|,

故x<0或xN2,故D正確.

故選：BCD

【點睛】

本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部

分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.

8.已知函數(shù)“X)滿足：當-3Wx<0時，/(x)=e*(x+l),下列命題正確的是

()

A.若/(力是偶函數(shù)，則當0<x<3時，/(x)=ev(x+l)

/2

B.若〃-3-x)=)(x-3),則g(x)=/(x)+『在xe(-6,0)上有3個零點

C.若“X)是奇函數(shù)，則%,x,e[-3,3],|/(^)-/(%2)|<2

D.若〃X+3)=〃X),方程[/⑺了一步(x)=0在xe[-3,3]上有6個不同的根,則

Z的范圍為—-<k<--—

【答案】BC

【分析】

A選項，利用函數(shù)的奇偶性求出解析式即可判斷；B選項，函數(shù)/(X)關(guān)于直線X=-3對

稱，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性作出函數(shù)圖像，由函數(shù)圖像可知當xe(-6,o)時，函數(shù)

/(X)與直線>=-5有3個交點可判斷；C選項，由函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱求出函數(shù)的

值域進行判斷；D選項，函數(shù)周期為3,作出函數(shù)圖像知方程/(力=0在%?—3,3]上有

兩個不同的根，則一F<Z4-不時方程/(X)=左在X目一3,3]上有4個不同的根.

ee

【詳解】

A選項，若0<x<3,則—3<—x<0,/(一司="'(一%+1),因為函數(shù)〃x)是偶函

數(shù)，所以/(x)=〃f)=ef(r+1),A錯誤;

B選項，若/(—3-%)=/(%-3),則函數(shù)“X)關(guān)于直線x=—3對稱，當-3Wx<0

時，r(x)=e，a+2),當xe(—3,—2)時，r(x)<0,函數(shù)外力單調(diào)遞減,當

2

xe(—2,—0)時，r(x)>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，且3)=—/,

/(-2)=-1<0,/(-1)=0,

9

作出函數(shù)大致圖像如圖所示，則當xw(-6,0)時，函數(shù)/(x)與直線y=-7有3個交

2

點，即函數(shù)g(x)=/(x)+F在x?-6,0)上有3個零點，B正確；

e

C選項，由B知當xe[-3,0)時，e-2,]),若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，則當

3,3]時(-1,1),所以％,X2G[-3,3],|/(%,)-/(%2)|<2,C正確;

D選項,若〃x+3)="x),則函數(shù)/(x)的周期為3,作出函數(shù)在Xi[-3,3]上的圖像

如圖所示，若方程[/(x)]2一(x)=0即/⑺"(x)一燈=0在xe[-3,3]上有6個不

同的根，

因為方程〃x)=0在xe[—3,3]上有兩個不同的根，所以/(力=人在％目一3,3]上有4

211?

個不同的根，又3)=-=，/(-2)=--<0,所以一二〈女W-f，D錯誤.

eeee

故選：BC

【點睛】

本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性，函數(shù)的零點

與方程的根，綜合性較強，屬于較難題.

71

9.設(shè)函數(shù)g(x)=5力3X(3>0)向左平移一個單位長度得到函數(shù)/(x),已知/(x)在[0,2用上有

5G

且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是()

A./（x）的圖象關(guān)于直線x=］對稱

B./（x）在（0,2兀）上有且只有3個極大值點，/（X）在（0,2兀）上有且只有2個極小值點

7T

c.f（x）在（0,正）上單調(diào)遞增

1229

D.3的取值范圍是［二,正）

【答案】CD

【分析】

利用正弦函數(shù)的對稱軸可知，A不正確：由圖可知/（x）在（0,27）上還可能有3個極小值

3兀

點，8不正確；由442萬解得的結(jié)果可知，。正確；根據(jù)/（幻在（0，k）上遞

10。

TT34

增，且一＜——，可知C正確.

1010。

【詳解】

依題意得/'（X）=g（x+二）=sin［G（x+二）］=sin（ox+工），T=—,如圖：

5口5co5co

直線了=豆+生（kwZ）對稱,

故A不正確;

（01069

對于3,根據(jù)圖象可知，xA＜2;r＜xBf/（%）在（0,2萬）有3個極大值點，/（%）在（0,2萬）

有2個或3個極小值點，故8不正確，

4十臺工開5T萬52〃244

對于。，因為----+—7=---+-x—=---,

5a）25。2/5。

兀y)「2萬29乃24乃29%1229

xR=----+37=----+3x——=-,--所-以<271<解得—co<—，

569569co5co、35。510

所以。正確;

Jr1n127r37r37r

對于C,因為一乙+上T=一土+由圖可知/（x）在（0,工）上遞增，

4569469106910①

因為。＜竺＜3,所以包=工（1一3）＜0,所以/（X）在（0,Z）上單調(diào)遞增，故

101010刃10co10

C正確；

故選：CD.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性和周期性，考查了極

值點的概念，考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

.\[x2+2x+l,x>0

10.已知函數(shù).，則下列判斷正確的是()

,')-X2+2X+U<0

A./(X)為奇函數(shù)

B.對任意西，％2GR,則有(%-%2)"(%)-/(%2)]<0

C.對任意xwR,則有/(x)+/(-x)=2

D.若函數(shù)y=/(x)|—mx有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是(―8,0)(4,-8)

【答案】CD

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性判斷AB選項；對X進行分類討論，判斷C選項；對選項D,

構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，即可得出實數(shù)m的取值范圍.

【詳解】

對于A選項，當尤>0時，一x<0,則

/(-x)=-(一幻2+2(-x)+l=-任+2X-1)H-/(x)

所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故A錯誤；

對于B選項，y=%2+2%+l的對稱軸為x=-l,y=-f+2尤+1的對稱軸為x=l

所以函數(shù)》=9+2%+1在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)丁=一》2+2》+1在區(qū)間(_8,0)

上單調(diào)遞增，并且02+2X0+1=-()2+2X0+1

所以/(x)在R上單調(diào)遞增

即對任意％<々，(%，％2eR)，都有/(玉)</(.)

則百一3<0,/(xl)-/(x2)^0=>(%1故B錯誤；

對于C選項，當x>0時，一無<0，則/(-%)=-(-x)2+2(-x)+1=-X2-2x4-1

貝ij/(%)+/(-%)-x2+2x+l-x2-2x+l=2

當尤=0時，/(4)=/(0)=1,則/(-o)+/(o)=2

當尤<0時，-x>0,則/(―x)=(―x)?+2(—x)+1=f—2,x+1

貝!]f(x)+f(-x)=-x2+2x+1+%2-2x+l=2

即對任意xeR,則有/(X)+/(T)=2,故C正確；

對于D選項，當x=0時，y=|/(0)|=1^0,則x=0不是該函數(shù)的零點

當xH0時,(x)卜“a=0=""=m

令函數(shù)g(x)=l^必,

函數(shù)丁=根

X

由題意可知函數(shù)丁=機與函數(shù)g(x)=昆必的圖象有兩個不同的交點

X

因為/(%)20時，xe[l-血,+8),/(x)<。時，xe(-oo,l-血)

1c，、

X4---F2,X>0

X

所以g(以=<-XH---F2,1-yf2KX<0

X

x----2,x<1—>/2

X

1(x,-x2)(xlx2-1)

當無>0時，設(shè)0<X1V1，g(%)—g(x2)=Z+一-x?—

X]X2XlX2

因為百一元2<°，石工2一1<0，所以g(%)-g(9)>0，即g(玉)>g(w)

設(shè)1<玉<々，g(xj—g(%)=("X2)(X|X2"<0即g(xj<g(%)

%元2

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,48)上單調(diào)遞增

同理可證，函數(shù)g(x)在區(qū)間［i-J5,o)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-8,1-J5)上單調(diào)遞增

g⑴=1+：+2=4

由圖可知，要使得函數(shù)y=機與函數(shù)g(x)=因切的圖象有兩個不同的交點

X

則實數(shù)m的取值范圍是(—8,0)_(4,+8),故D正確；

故選：CD

【點睛】

本題主要考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的范

圍，屬于較難題.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

cow2x

11.設(shè)函數(shù)/(x)=-一，貝U()

2+sinxcosx

A./(x)=/(x+%)B.?。┑淖畲笾禐?

C./（X）在-0單調(diào)遞增D.在0,（單調(diào)遞減

【答案】AD

【分析】

先證明/（x）為周期函數(shù)，周期為萬，從而A正確，再利用輔助角公式可判斷B的正誤,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號可判斷CD的正誤.

【詳解】

rne9r

/(x)的定義域為H，且〃x)=------------,

2+sinxcosx

cos(2x+2乃)cos2x

/(%+〃)==/(%),故A正確.

2+sin(x+^)cos(%+^)2+sinxcosx

2cos2x2cos2x.2cos2x

又于(x)=----:----，令y=----；----,

4+2sinxcosx4+sin2x4+sin2x

則4y=2cos2x-ysin2x=54+y2cos(2x+*),

2y

其中cose=k^,sine=k^

，4+Vj4+y2

c日n2『42Ji?//2V15

故<18Py<一，故——--<y<——，

.1515,15

當y=2W時'有COSQ=0=；,此時COS(2X+Q)=1即x=左乃一言,

二名叵，故B錯誤.

故ymax

15

2[(一2sin2x)(4+sin2x)-2cos22x]—4(1+4sin2x)

r(?=

(4+sin2x)2(4+sin2x)"

當XW0,71?時,r（x）＜0,故〃x）在0,（為減函數(shù)，故D正確.

4

當x￡(一?,0J時，一1<sin2尤<0,故一3<1+4sin2x<1,

因為f=2x為增函數(shù)且2XG(—1,0),而y=l+4sinf在\],0)為增函數(shù)，

所以〃(x)=l+4sin2x在上為增函數(shù)，

故l+4sin2x=0在(一有唯一解與,

故當x?Xo,O)時，〃(x)>0即/'(x)<0,故f(x)在(%,0)為減函數(shù)，故C不正確.

故選：AD

【點睛】

方法點睛：與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而單調(diào)性

的研究需看函數(shù)解析式的形式，比如正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)可利用整體法來研究，而分

式形式則可利用導(dǎo)數(shù)來研究，注意輔助角公式在求最值中的應(yīng)用.

12.阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對高中教材中的拋物線做過

系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線

圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線C：y=_?上兩個不同點AB橫坐標

分別為罰，％，以AB為切點的切線交于尸點.則關(guān)于阿基米德三角形RW的說法正確的

有()

A.若A8過拋物線的焦點，則P點一定在拋物線的準線上

B.若阿基米德三角形Q46為正三角形，則其面積為速

4

C.若阿基米德三角形RW為直角三角形，則其面積有最小值L

4

D.一般情況下，阿基米德三角形446的面積s=?玉一"21

4

【答案】ABC

【分析】

設(shè)出直線AB的斜截式方程、點A,3的坐標，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線PAPB的方

程，進而求出點P的坐標，將直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及

該方程兩根的和、積的關(guān)系.

A：把拋物線焦點的坐標代入直線AB的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準線方程進行判斷即

可；

B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進行判斷即可；

C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進行判斷即可；

D：根據(jù)點到直線距離公式、兩點間距離公式進行求解判斷即可..

【詳解】

由題意可知：直線A8一定存在斜率，

所以設(shè)直線48的方程為：y=kx+m,

由題意可知:點A（X],X；）,8（X2，X；）,不妨設(shè)玉<。<X2，

由y=f?y2x,所以直線切線PA的方程分別為：

y_X；=2x,（x-Xj）,y-—2x7（x-x2）,

y-x,—2x.（x-x）

兩方程聯(lián)立得：'1?,

y-x2-2X2（X—X2）

_%+九2

解得：/=2,所以尸點坐標為：（土產(chǎn)，不馬），

』=玉工2

直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得：

y=kx+m）

〈=>x-kx-m=0=>xl+x2=k,xlxo

，=廠

A：拋物線C：）；=/的焦點坐標為（0,_1）,準線方程為y=-L,

44

因為AB過拋物線的焦點，所以m=’,而%X.=-/〃=

44

顯然P點一定在拋物線的準線上，故本選項說法正確；

B：因為阿基米德三角形RW為正三角形，所以有IPARPBI,

即J（A；&—九I）2+_X；）2=J（A；/々）2+（中2―￥）2，

因為玉彳々，所以化簡得：%=一々，

此時A（X[,X；）,3（-X|,X；）,P點坐標為：（0,-X；）,

因為阿基米德三角形為正三角形，所以有|PA|=|AB],

所以J（0-X]）2+（—X；-無：）2=-2%1=>X[=-，

因此正三角形PAB的邊長為V3，

所以正三角形RLB的面積為Lx&x6.sin60°='xGxGx^=￡L

2224

故本選項說法正確；

C：阿基米德三角形RW為直角三角形，當時，

X1+x2Xj+x2

所以kpA-kPR=-\=>—2-------

---------=-1nX]X2=—

XiX2-XjXjX2-x24

直線AB的方程為：y=kx+-

4

k1

所以P點坐標為：點P到直線AB的距離為:

k./1、/｛、1

-)x(-1)+-

244

卜+(_1)2戶

IAfi|=｛（%]-工2）2+（%；-考I=J。一工2）2口+（尤1+《2）2】

22

—5/[(%!+x2)—4X(X2][1+(X)+x2)]'

因為X]+Z=Z,X]%2=一^，所以A3=J（%2+1）（1+52）=1+公，

因此直角B鉆的面積為：-X1-VA：2+1-（A：2+1）=-#2+1）3>-,

2244

當且僅當攵=0時，取等號，顯然其面積有最小值,，故本說法正確；

D：因為XI+X2=k,xtx2=-m,所以

222

IAB|=-々y+(x；-=^(x(-x2)[l+(xt+x2)]=|X|-x2|\Jk+\，

點P到直線AB的距離為：

x.+x..

2“1.；2.(%!+X2)+(-1)?Xj-x2—(x]x2)

2--?+(-!)-X|-x2+m

1(-XI-x2)-

也2+(7)2也2+(-1)25

所以阿基米德三角形245的面積S=1?、?V^+i---與一七'=卜'一百，

故本選項說法不正確.

故選：ABC

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵就是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的整體代換應(yīng)用，本題重點考

查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的應(yīng)用.

13.關(guān)于函數(shù)/（x）=e'+sinx,xG（—?,+8）,下列結(jié)論正確的有（）

A.在（0,+8）上是增函數(shù)

B./（幻存在唯一極小值點與

C./（x）在（一?,+°。）上有一個零點

D./（%）在（一萬,+℃）上有兩個零點

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)函數(shù)/(x)求得/'(X)與尸(X),再根據(jù)/(%)>。在(一乃,+8)恒成立，確定/(X)在

(一萬，+<功上單調(diào)遞增，及xe(0,+8)/'(x)>0,且存在唯一實數(shù)(—與,—1)，使

/'(公)=0,從而判斷A,B選項正確；再據(jù)此判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，從而判斷零點個數(shù).

【詳解】

x

由已知/(x)=e+sinx,x&(一4,+00)得f'(x)=e*+cosx，/"(*)=e*-sinx,

XG(-?,+8),/"(x)>0恒成立，

/(x)在(一肛+oo)上單調(diào)遞增，

3n咕匹n—

又/'(一彳)=64/，(一,)=e2>0,/"(0)=2〉0

xe(0,4w)時/'(x)>/'(())〉。，且存在唯一實數(shù)(-3,一、)，使/'(玉))=0,即

e*=-cosx0,

所以/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，且存在唯一極小值點看,故A,B選項正確.

且“X)在(一萬,/)單調(diào)遞減，(4,+8)單調(diào)遞增，

又/(一萬)=""+0>0,f(x0)=e"+sinx0=sinx0-cosx0=V2sin(x0-?)<(),

/(0)=l>0,所以/(x)在(一4,+8)上有兩個零點，故D選項正確，C選項錯誤.

故選：ABD.

【點睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識

點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析

幾何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參

數(shù).⑶利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

14.定義在R上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)g(x)=?x+人(a,b為常數(shù))，使得

/(X)>g(X)對一切實數(shù)x都成立，則稱g(X)為函數(shù)/(x)的一個承托函數(shù)，下列命題中

正確的是()

fInx,x>0

A.函數(shù)g(x)=-2是函數(shù)/(x)=〈的一個承托函數(shù)

J,月,0

B.函數(shù)g(x)=x-l是函數(shù)/(x)=x+sinx的一個承托函數(shù)

C.若函數(shù)g(x)=ax是函數(shù)/(x)=，的一個承托函數(shù)，則a的取值范圍是[0,e]

D.值域是R的函數(shù)不存在承托函數(shù)

【答案】BC

【分析】

由承托函數(shù)的定義依次判斷即可.

【詳解】

解：對A,，.,當x>0時，/(x)=In%G(-co,+co),

.1?/(x)Ng(x)=-2對一切實數(shù)x不一定都成立，故A錯誤；

對B,=f(x)-g(x),則f(x)=x+sinx-(x-l)=sinx+120恒成立，

函數(shù)g(x)=x-l是函數(shù)/(x)=x+sinx的一個承托函數(shù)，故B正確；

對C,令h{x}-ex—ax,則fr(x)-ex-a,

若a=0,由題意知，結(jié)論成立，

若a>0,令〃(x)=(),得x=lna,

函數(shù)〃(x)在(一℃,In。)上為減函數(shù)，在(lna,+o。)上為增函數(shù)，

.,.當x=lna時，函數(shù)〃(x)取得極小值，也是最小值，為a-alna,

g(x)=ax是函數(shù)/(x)=e"的一個承托函數(shù)，

a-alna>0,

即InaS1,

Q<a<e,

若a<0,當x-?-oo時，/?(x)-—8,故不成立，

綜上，當OMze時