新高考數(shù)學(xué)二輪考點(diǎn)培優(yōu)專題（精講+精練）19 等差數(shù)列中Sn的最值問題（含解析）

素養(yǎng)拓展19等差數(shù)列中Sn的最值問題（精講+精練）一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式1.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，那么它的通項公式是SKIPIF1<0．2.等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．注：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列?SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）．二、等差數(shù)列的前n項和的最值1.公差SKIPIF1<0為遞增等差數(shù)列，SKIPIF1<0有最小值；公差SKIPIF1<0為遞減等差數(shù)列，SKIPIF1<0有最大值；公差SKIPIF1<0為常數(shù)列．2.在等差數(shù)列SKIPIF1<0中（1）若SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的項數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的項數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．即若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有最大值（所有正項或非負(fù)項之和）；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有最小值（所有負(fù)項或非正項之和）．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．已知SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）依題意可得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，作差即可得到SKIPIF1<0，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的通項公式與前SKIPIF1<0項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0.則當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【整體點(diǎn)評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出SKIPIF1<0的最小值，適用于可以求出SKIPIF1<0的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．【題型訓(xùn)練-刷模擬】一、單選題1．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知求得公差SKIPIF1<0，得等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，結(jié)合二次函數(shù)知識得最小值．【詳解】設(shè)公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0取得最大值時n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由等差數(shù)列的通項公式、前SKIPIF1<0項和公式列方程組求得SKIPIF1<0和公差SKIPIF1<0，寫出前SKIPIF1<0項和，由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值．故選：B．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知無窮等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則不正確的（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0沒有最小值C．?dāng)?shù)列{SKIPIF1<0}單調(diào)遞減 D．?dāng)?shù)列{SKIPIF1<0}有最大值【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差SKIPIF1<0即可判斷AB,根據(jù)SKIPIF1<0的函數(shù)特征即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解CD.【詳解】由于公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故A正確，由于SKIPIF1<0為無窮的遞減等差數(shù)列，所以B正確，由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為開口向下關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，且對稱軸為SKIPIF1<0，由于對稱軸SKIPIF1<0與1的關(guān)系不明確，所以無法確定單調(diào)性，但是由于開口向下，故有最大值，故C錯誤，D正確，故選：C4．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取最大值時SKIPIF1<0的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出SKIPIF1<0即可求解.【詳解】SKIPIF1<0等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0.故選：A.5．（2023·河南·開封高中校考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前SKIPIF1<0項和公式，可推得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而得解．【詳解】因為等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為等差數(shù)列，得SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值．故選：D.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0是其前n項和，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可判斷B；由SKIPIF1<0，分析可判斷A；由SKIPIF1<0可判斷C；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，依次分析選項：SKIPIF1<0是等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故B正確；又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，故A正確；而C選項，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，顯然C選項是錯誤的.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值，故D正確；故選：C7．（2023·四川成都·成都外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且公差SKIPIF1<0，則其前SKIPIF1<0項和取得最大值時SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意判斷出SKIPIF1<0，即可得到答案.【詳解】由等差數(shù)列的公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和取得最大值時SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.故選：B8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】C【分析】通過分析得數(shù)列SKIPIF1<0為遞減的等差數(shù)列，根據(jù)SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0有最大值，為SKIPIF1<0.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0為遞減的等差數(shù)列，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0有最大值，最大值為SKIPIF1<0.故選：C.9．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，公差為d，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列四個命題正確個數(shù)為（

）①SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最小值

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而確定SKIPIF1<0，即可逐項判斷得答案.【詳解】等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故②正確；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故③正確；于是可得等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其為遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最小值，故①正確，④不正確；則四個命題正確個數(shù)為SKIPIF1<0.故選：C.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0是遞增的整數(shù)數(shù)列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．25 B．22 C．24 D．23【答案】D【分析】數(shù)列SKIPIF1<0是遞增的整數(shù)數(shù)列，SKIPIF1<0要取最大值，則遞增幅度要盡可能為小的整數(shù)，所以，可得SKIPIF1<0是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式即可求解.【詳解】數(shù)列SKIPIF1<0是遞增的整數(shù)數(shù)列，SKIPIF1<0要取最大值，則遞增幅度要盡可能為小的整數(shù).假設(shè)遞增的幅度為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不滿足題意.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足，所以SKIPIF1<0的最大值為23.故選：D.11．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式可知數(shù)列SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出，SKIPIF1<0有最小值，且最小值為SKIPIF1<0.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0有最小值，且最小值為SKIPIF1<0.故選：A.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中最大的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0，從而判斷結(jié)果．【詳解】∵等差數(shù)列前n項和SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0且單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最大．故選：B．13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知各項為正的等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，前n項的積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項的和為SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時，n等于（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】設(shè)SKIPIF1<0首項為SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，后由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得答案.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0首項為SKIPIF1<0，因等比數(shù)列SKIPIF1<0各項為正，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.SKIPIF1<0，又由題可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0為遞減等差數(shù)列.則數(shù)列SKIPIF1<0前7項為正數(shù)，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時，n等于7.故選：B14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為正數(shù)，其前n項和為SKIPIF1<0.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（

）A．若SKIPIF1<0有最大值，則數(shù)列SKIPIF1<0的公差小于0B．若SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0的最大的n為18C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中的最小項是第9項【答案】B【分析】由SKIPIF1<0有最大值可判斷A；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可判斷BC；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可判斷D.【詳解】對于選項A，∵SKIPIF1<0有最大值，∴等差數(shù)列SKIPIF1<0一定有負(fù)數(shù)項，∴等差數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大，故選項C正確；對于選項D，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于數(shù)列SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的“優(yōu)值”．現(xiàn)已知數(shù)列SKIPIF1<0的“優(yōu)值”SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則下列說法錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】B【分析】A選項，根據(jù)條件得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0；利用等差數(shù)列求和公式及分組求和得到SKIPIF1<0；先得到SKIPIF1<0，解不等式，得到SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；并利用等差數(shù)列求和公式求出最小值.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①-②得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時也成立，SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，B錯誤；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0或9時，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0取最小值，最小值為SKIPIF1<0，CD正確．故選：B16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，則SKIPIF1<0的值為（

）A．12或13 B．11或12C．10或11 D．9或10【答案】B【分析】根據(jù)SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由此可設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，利用其導(dǎo)數(shù)推得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而推得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】由等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，令函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增,故SKIPIF1<0,從而有SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0,當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立;同理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故等差數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是等差數(shù)列的前n項和最大值問題，思路是不難，大，即確定數(shù)列是遞減數(shù)列，判斷前多少項為非負(fù)項即可，但關(guān)鍵點(diǎn)在于如何求得正負(fù)項分界的項，即求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這里的關(guān)鍵是利用SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合最值解決這一問題.二、多選題17．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最大值 D．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值【答案】ACD【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，即可得到SKIPIF1<0，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式及單調(diào)性判斷即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A正確、B錯誤；當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0單調(diào)遞減，此時SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0，故C正確；當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0單調(diào)遞增，此時SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0，故D正確；故選：ACD18．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值 D．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值【答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，即可結(jié)合選項判斷.【詳解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值.故BC正確，AD錯誤.故選：BC19．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0為定值 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時SKIPIF1<0最大C．若SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為負(fù)值的n值有3個 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】AD【分析】根據(jù)題意利用等差數(shù)列前n項和公式，可判斷A；利用SKIPIF1<0結(jié)合SKIPIF1<0，解得公差，判斷數(shù)列的單調(diào)性，可判斷B；求得等差數(shù)列前n項和公式，解不等式可判斷C；求出數(shù)列公差和首項，即可求得SKIPIF1<0，判斷D.【詳解】由數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差數(shù)列性質(zhì)得SKIPIF1<0為定值，選項A正確．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，選項B錯誤．當(dāng)SKIPIF1<0時，由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為負(fù)值的SKIPIF1<0值有2個，選項C錯誤．當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)SKIPIF1<0公差為d，即SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，選項D正確．故選：AD20．（2023春·安徽亳州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列 B．SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即可判斷AB；結(jié)合等差數(shù)列前n項求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】A：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，故A正確；B：由選項A的分析可知，SKIPIF1<0，故B正確；C：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故C正確；D：SKIPIF1<0，故D錯誤；故選：ABC.21．（2023秋·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】先由數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0再由等差數(shù)列通項公式和求和公式對選項逐一分析即可.【詳解】對于A,SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為遞減的等差數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故A正確，對于B,SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為遞減的等差數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故B錯，對于C,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，故C正確，對于D,SKIPIF1<0故D正確.故選：ACD22．（2023·江蘇鹽城·?？寄M預(yù)測）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得SKIPIF1<0，再分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小，此時SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；故ACD滿足題意.故選：ACD23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列選項中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值C．存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 D．存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】設(shè)數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0判斷公差正負(fù)，求出SKIPIF1<0和d關(guān)系，逐項驗證即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0公差為d，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴d＜0，故數(shù)列SKIPIF1<0為減數(shù)列，故A正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最大值，故B錯誤；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD.三、填空題24．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0最小值時，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】求出SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的范圍即可得答案.【詳解】令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0最小值時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.25．（2023春·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時，SKIPIF1<0的值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可判斷.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<026．（2023·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，寫出一個符合條件的數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，an=.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，找一個符合題意的等差數(shù)列即可得到正確答案.【詳解】由題意，我們可以取一個等差數(shù)列：SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值.所以SKIPIF1<0符合題意.故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一）27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，現(xiàn)有下列4個命題：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大；④若SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值為11．其中所有真命題的序號是．【答案】②③④【分析】①由題意可以推出SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，判斷①錯誤；②由題意可得SKIPIF1<0，判斷出②正確；③由題意可得SKIPIF1<0，判斷出③正確；④由題意可得SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0，判斷出④正確．【詳解】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，即不能推出SKIPIF1<0，故①錯誤；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故②正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大，故③正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為首項為正數(shù)，則公差小于0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值為11，故④正確．故答案為：②③④．28．（2023春·江西宜春·高三校考開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0的值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意，用首項SKIPIF1<0表示公差SKIPIF1<0，代入前SKIPIF1<0項和公式，化簡得到SKIPIF1<0為關(guān)于SKIPIF1<0開口向下的二次函數(shù)，進(jìn)而求出其最大值時對應(yīng)的SKIPIF1<0的值.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡后可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值．故答案為：SKIPIF1<0.29．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項和，若僅當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取到最小值，且SKIPIF1<0，則滿足S