福建永安市2024屆中考五模數(shù)學試題含解析

福建永安市2024屆中考五模數(shù)學試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.下列分式中，最簡分式是（）

產(chǎn)—222

1X+1x-2xy+ynx-36

A.LI.

X2+1x2-lX一砂2x+12

2.花園甜瓜是樂陵的特色時令水果.甜瓜一上市，水果店的小李就用3000元購進了一批甜瓜，前兩天以高于進價40%

的價格共賣出150kg,第三天她發(fā)現(xiàn)市場上甜瓜數(shù)量陡增，而自己的甜瓜賣相已不大好，于是果斷地將剩余甜瓜以低

于進價20%的價格全部售出，前后一共獲利750元，則小李所進甜瓜的質(zhì)量為（）kg.

A.180B.200C.240D.300

3.如圖，點E在△DBC的邊DB上，點A在ADBC內(nèi)部，ZDAE=ZBAC=90°,AD=AE,AB=AC.給出下列結(jié)論:

①BD=CE；②NABD+NECB=45。；③BD_LCE；④BE』（AD'+AB1）-CD1.其中正確的是（）

A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④

4.如圖①是半徑為2的半圓，點C是弧AB的中點，現(xiàn)將半圓如圖②方式翻折，使得點C與圓心O重合，則圖中陰

影部分的面積是（）

圖①圖②

A.學B.?-6C.2V3+YD.273-

5.-0.2的相反數(shù)是（）

A.0.2B.±0.2C.-0.2D.2

6.等式組2［x5+x<6>x0+8的解集在下列數(shù)軸上表示正確的是（）.

-......6-------------------------------------->u._1_________A____

-4-3-?-101234-43-2-3。1°4^

7.若a+|a|=O,則｛("2)2+必等于()

A.2-2aB.2a-2C.-2D.2

8.如圖，小正方形邊長均為1,則下列圖形中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是

A.B.

9.如圖，AB/7CD,直線EF與AB、CD分別相交于E、F,AM±EF于點M,若NEAM=10。，那么NCFE等于（）

A.80°C.100°D.170°

10.如圖，點E是矩形ABCD的邊AD的中點，且BE_LAC于點F,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AF=-CFB.ZDCF=ZDFC

2

C.圖中與AAEF相似的三角形共有5個D.tanNCAD=0

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.把多項式a3—2a?+a分解因式的結(jié)果是

12.如圖所示，過y軸正半軸上的任意一點尸，作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)=和的圖象交于點A

和點8,若點C是x軸上任意一點，連接AC、BC,則AABC的面積為.

13.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，AB=5,AC=3,點D是BC上一動點，連接AD,將AACD沿AD折疊,

點C落在點E處，連接DE交AB于點F,當△DEB是直角三角形時，DF的長為.

14.如圖，某數(shù)學興趣小組為了測量河對岸h的兩棵古樹A、B之間的距離，他們在河這邊沿著與AB平行的直線L

上取C、D兩點，測得NACB=15。，ZACD=45°,若h、L之間的距離為50m,則古樹A、B之間的距離為m.

15.已知一次函數(shù)的圖象與直線y=；x+3平行，并且經(jīng)過點(-2,-4),則這個一次函數(shù)的解析式為.

16.讓我們輕松一下，做一個數(shù)字游戲：

第一步：取一個自然數(shù)々=5,計算雇+1得4;

第二步：算出4的各位數(shù)字之和得〃2,計算〃2?+1得的；

第三步：算出生的各位數(shù)字之和得〃3,再計算〃3?+1得%;

依此類推，則。2019=

17.有公共頂點A,B的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放，連接AC交正六邊形于點D,則NADE的度數(shù)為

()

AB

A.144°B.84°C.74°D.54°

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.分別寫出圖中點A和點C的坐標；畫出AABC繞點C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后的△A，B，C，；求點A旋轉(zhuǎn)到點A，所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留兀）.

19.（5分）如圖，------1_-------------一?！?-----交于點求.的值.

U.U，―口匚

□Q

20.（8分）閱讀材料：小胖同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把

它們的底角頂點連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手

拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若NBAC=NDAE,AB=AC,AD=AE,貝!]BD=CE.

⑴在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；

借助小胖同學總結(jié)規(guī)律，構造“手拉手”圖形來解答下面的問題：

（2）如圖2,AB=BC,ZABC=ZBDC=60°,求證：AD+CD=BD；

（3汝口圖3,在4ABC中，AB=AC,ZBAC=m°>點E為白ABC外一點，點D為BC中點，ZEBC=ZACF,ED±FD,

求NEAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）.

21.（10分）關于x的一元二次方程ax?+bx+l=l.

（1）當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況;

(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的a,b的值，并求此時方程的根.

22.(10分)如圖，拋物線y=；x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,其對稱軸交拋物線于點D,交x

軸于點E,已知OB=OC=1.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；

(2)連接BD,F為拋物線上一動點，當NFAB=NEDB時，求點F的坐標；

(3)平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ,當點P在x軸上，且PQ=；MN

時，求菱形對角線MN的長.

23.(12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P沿射線BD運動，連接AP,將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)

90。得線段PQ.

(1)當點Q落到AD上時，NPAB=°,PA=,AQ長為

(2)當APJ.BD時，記此時點P為Po,點Q為Qo,移動點P的位置，求NQQoD的大小；

⑶在點P運動中，當以點Q為圓心，,BP為半徑的圓與直線BD相切時，求BP的長度；

(4)點P在線段BD上，由B向D運動過程(包含B、D兩點)中，求CQ的取值范圍，直接寫出結(jié)果.

24.(14分)為了促進學生多樣化發(fā)展，某校組織開展了社團活動，分別設置了體育類、藝術類、文學類及其它類社

團(要求人人參與社團，每人只能選擇一項).為了解學生喜愛哪種社團活動，學校做了一次抽樣調(diào)查.根據(jù)收集到的

數(shù)據(jù)，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，完成下列問題：

（2）求文學社團在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù)；

（3）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（4）若該校有1500名學生，請估計喜歡體育類社團的學生有多少人?

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1,A

【解析】

x+11

試題分析：選項A為最簡分式；選項B化簡可得原式=-7:一巧一=一』；；選項c化簡可得原式

（x+1）（X-1）X~1

=（）了）2=口;選項D化簡可得原式=-（旁）.（f6）.「三￡故答案選A.

x（x-y）X2（x+6）2

考點：最簡分式.

2、B

【解析】

根據(jù)題意去設所進烏梅的數(shù)量為以g,根據(jù)前后一共獲利750元，列出方程，求出x值即可.

【詳解】

解：設小李所進甜瓜的數(shù)量為x（依），根據(jù)題意得：

x40%x150-（x-150）xx20%=750,

XX

解得：尸200,

經(jīng)檢驗尸200是原方程的解.

答：小李所進甜瓜的數(shù)量為200kg.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是分式方程的應用，解題關鍵在于對等量關系的理解，進而列出方程即可.

3^A

【解析】

分析：只要證明△DAB0Z\EAC,利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷；

詳解：VZDAE=ZBAC=90°,

/.ZDAB=ZEAC

VAD=AE,AB=AC,

.,.△DAB^AEAC,

.*.BD=CE,ZABD=ZECA,故①正確，

/.ZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②正確，

VZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=45o+45o=90°,

AZCEB=90°,即CE_LBD,故③正確，

.,.BE^BC'-EC^IAB1-(CD^DE1)=1AB1-CD1+1AD'=1(AD'+AB1)-CD1.故④正確，

故選A.

點睛：本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三

角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4、D

【解析】

連接OC交MN于點P,連接OM、ON,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OP=^OM,得到NPOM=60。，根據(jù)勾股定理求出MN,

2

結(jié)合圖形計算即可.

【詳解】

解：連接OC交MN于點P,連接OM、ON,

由題意知，OC_LMN,且OP=PC=1,

在RtAMOP中,VOM=2,OP=1,

Qp]__________

.?,cosZPOM=——=->AC=y]0M2-0P2=A/3?

OM2

:.ZPOM=60°,MN=2MP=273，

：.ZAOB=2ZAOC=120°,

則圖中陰影部分的面積=5半四?2s弓形MCN

1,2c/120^-x221

二一x7tx22-2x(---------—x2，3xl)

23602

=273--兀，

3

故選D.

【點睛】

本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用、勾股定理的運用、三角函數(shù)值的運用、扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式

的運用，解答時運用軸對稱的性質(zhì)求解是關鍵.

5、A

【解析】

根據(jù)相反數(shù)的定義進行解答即可.

【詳解】

負數(shù)的相反數(shù)是它的絕對值，所以-0.2的相反數(shù)是0.2.故選A.

【點睛】

本題主要考查相反數(shù)的定義，熟練掌握這個知識點是解題關鍵.

6、B

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出每個不等式的解集，對比即可得.

2x+6>0①

【詳解】<

5x<x+8②

解不等式①得，x>-3,

解不等式②得，xW2,

在數(shù)軸上表示①、②的解集如圖所示,

故選B.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個

不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(>,N向右畫；V,W向左畫)，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上

面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時2”，“W

要用實心圓點表示；“V”，“>”要用空心圓點表示.

7、A

【解析】

直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【詳解】

,:a+|a|=O,

|a|=-a,

則a<0,

故原式=2-a-a=2-2a.

故選A.

【點睛】

此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵.

8、B

【解析】

根據(jù)網(wǎng)格的特點求出三角形的三邊，再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解.

【詳解】

已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為近、2、V10>

只有選項B的各邊為1、0、石與它的各邊對應成比例.故選B.

【點晴】

此題主要考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理.

9、C

【解析】

根據(jù)題意，求出NAEM,再根據(jù)AB〃CD,得出NAEM與NCFE互補，求出NCFE.

【詳解】

VAM1EF,ZEAM=10°

二ZAEM=80°

XVAB#CD

.,.ZAEM+ZCFE=180°

.?.ZCFE=100°.

故選c.

【點睛】

本題考查三角形內(nèi)角和與兩條直線平行內(nèi)錯角相等.

10、D

【解析】

11ApAf?1

由AE=-A￡)=—6C,又AD〃BC,所以一=——=一，故A正確，不符合題意；過D作DM〃BE交AC于N,

22BCFC2

得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

-BC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故B正確，不符合題意；

2

根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；

由ABAEs^ADC,得到CD與AD的大小關系，根據(jù)正切函數(shù)可求tan/CAD的值，故D錯誤，符合題意.

【詳解】

:.△AEFsMBF,

.AEAF1

??==-，

BCFC2

VAE=-AD=-BC,

22

AT1

故A正確，不符合題意;

B.過。作交AC于N,

'：DE//BM,BE//DM,

二四邊形BMDE是平行四邊形，

：.BM=DE=-BC,

2

：.BM=CM,

：.CN=NF,

,.,8EJL4C于點F,DM//BE,

:.DNLCF,

：.DF=DC,

:.NDCF=NDFC,故B正確，不符合題意;

C.圖中與AAE尸相似的三角形有△AC。，ABAF,ACBF,△CAB,△ABE共有5個，故C正確，不符合題意；

a

D.設=%由△氏4￡5/\4。&有2_2_

ab

???tanNC4O=￡2=2=N?,故D錯誤，符合題意.

ADa2

故選：D.

【點睛】

考查相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11、a(a-l)2.

【解析】

要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是

完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.因此，

a3-2a2+a=a(a2-2a+l)=a(a-l)”.

12、1.

【解析】

設P(0,b),

???直線APB〃x軸，

AA,B兩點的縱坐標都為b,

4

而點A在反比例函數(shù)y=-一的圖象上，

x

44

?工當y=b,x=--,即A點坐標為(?工，b),

bb

又?.?點B在反比例函數(shù)y=3的圖象上，

X

2?

???當y=b,x=~,即B點坐標為(1,b),

bb

bbb

116

:.SAABC=-*AB?OP=-?-?b=l.

22b

33

⑶5或I

【解析】

試題分析：如圖4所示；點E與點C，重合時.在RtAABC中，BC=7A52-AC2=4-由翻折的性質(zhì)可知；AE=AC=3、

DC=DE.貝!]EB=2.設DC=ED=x,貝！JBD=4-x.在RtADBE中，DE2+BE2=DB2,BPx2+22=(4-x)2.解得：

33

x=-.，DE=-.如圖2所示：NEDB=90時.由翻折的性質(zhì)可知：AC=AC,ZC=ZC,=90°.VZC=ZC,=ZCDC,=90°,

22

二四邊形ACDC'為矩形.又；AC=AC',...四邊形ACDC'為正方形.，CD=AC=3.，DB=BC-DC=4-3=4.；DE〃AC,

“DEDB1.ED15A3-*，一上乂

.".△BDE<^AABCA.:.——=——=-,即——=-.解得：DE=—.點D在CB上運動，NDBCV90。，故NDBC

ACCB4344

不可能為直角.

【解析】

過點A作AMLDC于點M,過點B作BNJ_DC于點N.則AM=BN.通過解直角AACM和△BCN分別求得CM、

CN的長度，則易得MN=AB.

【詳解】

解：如圖，過點A作AM_LDC于點M,過點B作BN_LDC于點N,

,■—?????????aaka???????1

DMNC2

則AB=MN,AM=BN.

在直角△ACM,VZACM=45°,AM=50m,

.,.CM=AM=50m.

,在直角ABCN中，ZBCN=ZACB+ZACD=60°,BN=50m,

BN_50_505/3

(m),

tan60°y/33

.，.MN=CM-CN=50-迎目(m).

3

則AB=MN=(50-”無)m.

3

故答案是：(50-里史).

3

【點睛】

本題考查了解直角三角形的應用.解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

學問題.

I

15>y=-x-1

2

【解析】

分析：根據(jù)互相平行的兩直線解析式的A值相等設出一次函數(shù)的解析式，再把點(-2,-4)的坐標代入解析式求解

即可.

詳解：?.?一次函數(shù)的圖象與直線產(chǎn);*+1平行，二設一次函數(shù)的解析式為尸;x+b.

???一次函數(shù)經(jīng)過點(-2,-4),；.；x(-2)+b=-4,解得：b=-l,所以這個一次函數(shù)的表達式是：尸;x-1.

故答案為廣;x-1.

點睛：本題考查了兩直線平行的問題，熟記平行直線的解析式的#值相等設出一次函數(shù)解析式是解題的關鍵.

16、1

【解析】

根據(jù)題意可以分別求得。1,。2,Q3,。4,從而可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的特點，三個一循環(huán)，從而可以求得42019的值.

【詳解】

解：由題意可得，

?1=52+1=26>

?2=(2+6)2+1=65,

。3=(6+5)2+1=1,

04=(1+2+2)2+1=26,

，2019+3=673,

?2019=

故答案為：L

【點睛】

本題考查數(shù)字變化類規(guī)律探索，解題的關鍵是明確題意，求出前幾個數(shù)，觀察數(shù)的變化特點，求出02019的值.

17、B

【解析】

正五邊形的內(nèi)角是/48。=氏3M^=108。，'：AB=BC,/.ZCAB=36°,正六邊形的內(nèi)角是

5

ZABE=ZE=(6-2)x180=120°,VZAD￡+Z￡+ZABE+ZCAB=360°,/.ZADE=360o-120o-120o-36o=84°,故選B.

6

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18、（1）A（0,4）、C（3,l）（2）見解析⑶孚

【解析】

試題分析：（D根據(jù)點的平面直角坐標系中點的位置寫出點的坐標；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（3）

點A所經(jīng)過的路程是以點C為圓心，AC長為半徑的扇形的弧長.

試題解析：(1)A(0,4)C(3,1)

（2）如圖所示:

⑶根據(jù)勾股定理可得：Ag也'貝心=器=笞薩30

=-------71

2

考點：圖形的旋轉(zhuǎn)、扇形的弧長計算公式.

【解析】

試題分析：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形.由N4=NAC。，NA。加NCOO可證△ABO^^CDO,

從而___；再在RtAABC和R38C。中分別求出43和CD的長，代入即可.

—n—口=—w—u

2D00

解：VZABC=ZBCD=90°,AAB/7CD,.\ZA=ZACD,AAABO^ACDO,A

□33C

55=oc

在RtAABC中，ZABC=90°,NA=45°,BC=1,/.AB=1.

在RtABCD中，ZBCD=90°,ND=30°,BC=1,/.CD=_

V3—..=—?—=~■J

二工,7J-

20、(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)ZEAF=-m°.

2

【解析】

分析：(1)如圖1中，欲證明BD=EC,只要證明△DAB^^EAC即可；

(2)如圖2中，延長DC到E,使得DB=DE.首先證明△BDE是等邊三角形，再證明AABDgZkCBE即可解決問

題；

(3)如圖3中，將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長ED到M,使得DM=DE,連

接FM、CM.想辦法證明AAFEgZkAFG,可得NEAF=NFAG=，m。.

2

詳(1)證明：如圖1中，

,:NBAC=NDAE,

.*.ZDAB=ZEAC,

在^DAB和△EAC中,

AD=AE

<ZDAB=ZEAC,

AB=AC

.,.△DAB^AEAC,

.*.BD=EC.

(2)證明：如圖2中，延長DC到E,使得DB=DE.

D

VDB=DE,ZBDC=60°,

AABDE是等邊三角形,

/.ZBD=BE,ZDBE=ZABC=60°,

...NABD=NCBE,

VAB=BC,

/.△ABD^ACBE,

/.AD=EC,

二BD=DE=DC+CE=DC+AD.

/.AD+CD=BD.

(3)如圖3中，將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長ED到M,使得DM=DE,連

接FM、CM.

圖3

由⑴EAB^AGAC,

.?.Z1=Z2,BE=CG,

VBD=DC,ZBDE=ZCDM,DE=DM,

/.△EDB^AMDC,

.*.EM=CM=CG,ZEBC=ZMCD,

VZEBC=ZACF,

.*.ZMCD=ZACF,

:.ZFCM=ZACB=ZABC,

N1=3=N2,

:.ZFCG=ZACB=ZMCF,

VCF=CF,CG=CM,

.,.△CFG^ACFM,

；.FG=FM,

VED=DM,DF_LEM,

；.FE=FM=FG,

VAE=AG,AF=AF,

/.△AFE^AAFG,

.?.ZEAF=ZFAG=-m°.

2

點睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學

會利用“手拉手”圖形中的全等三角形解決問題，學會構造“手拉手”模型，解決實際問題，屬于中考壓軸題.

21、（2）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）b=-2,a=2時，X2=x2=-2.

【解析】

分析：（2）求出根的判別式△=〃-4ac，判斷其范圍，即可判斷方程根的情況.

（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，則△=〃-4ac=0,寫出一組滿足條件的人的值即可.

詳解：（2）解：由題意：

VA=^2-4?c=（a+2）2-4a=a2+4>0,

???原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

（2）答案不唯一，滿足〃一4"=0（。。0）即可，例如：

解：令（7=1,b=-2,則原方程為j?一2%+1=0,

解得：X]=%2=1.

點睛：考查一元二次方程以2+云+c=0（。。0）根的判別式△=〃一4",

當八二〃—々/?！怠r，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

當△二k—4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根.

當4=。2-4。。<（）時，方程沒有實數(shù)根.

i97

22、(1)丁=一/—2%—6,點口的坐標為(2,-8)(2)點F的坐標為(7,―)或(5,—)(3)菱形對角線MN的長為病+1

222

或而-1.

【解析】

分析：(1)利用待定系數(shù)法，列方程求二次函數(shù)解析式.(2)利用解析法，NFAB=NEDB,tanZMG=tanZBDE,求

出尸點坐標.(3)分類討論，當MN在x軸上方時，在x軸下方時分別計算MN.

詳解：

(1)VOB=OC=1,

AB(1,0),C(0,-1).

1,2

—x6~+6b+c=0

A<2,

c=-6

[h=-2

解得,

c=-6

1

12

-X

???拋物線的解析式為y2—2x—6.

ii9

?:y=—x2—2x—6=—(x-2)^-8,

工點D的坐標為(2,?8).

41Jr

「o-*rGR

?彳

(2)如圖，當點尸在x軸上方時，設點尸的坐標為(x,工1一2%-6).過點尸作尸6_1丫軸于點6,易求得。4=2,則

2

AG=x+2,FG=-x2-2x-6.

2

,:NFAB=NEDB,

tanZE4G=tanZBDE,

x+22

解得玉=7,々=一2(舍去).

9

當x=7時，y=—,

9

???點尸的坐標為(7,-).

2

7

當點尸在x軸下方時，設同理求得點尸的坐標為(5,

2

97

綜上所述，點尸的坐標為(7,—)或(5,-一).

22

(3)；點P在x軸上，

二根據(jù)菱形的對稱性可知點P的坐標為(2,()).

如圖，當在x軸上方時，設7為菱形對角線的交點.

'：PQ=-MN,

：.MT=2PT.

設7尸=",則M7=2〃.：.M（2+2n,n）.

?.?點M在拋物線上，

12

??.〃=/（2+2H）—2（2+2〃）-6,即2〃？一九一8=0.

解得勺=11普，〃2=上普4舍去).

:.MN=2MT=4n=V65+1.

當MN在x軸下方時，設"=〃，得M(2+2〃，

?.?點M在拋物線上，

.?.一〃=；(2+2〃『一2(2+2〃)一6,

即2〃2+〃-8=0.

解得〃1=-1y,4=土普(舍去).

:.MN=2MT=4n=765-1.

綜上所述，菱形對角線MN的長為娟+1或病-1.

點睛：

1.求二次函數(shù)的解析式

(1)已知二次函數(shù)過三個點，利用一般式，y=a/+6x+c(。。0).列方程組求二次函數(shù)解析式.

(2)已知二次函數(shù)與x軸的兩個交點(玉,0)(々,0),利用雙根式，y=a(x-xJ(x-X2)(。。0)求二次函數(shù)解析式,

而且此時對稱軸方程過交點的中點,x=土二.

2

2.處理直角坐標系下，二次函數(shù)與幾何圖形問題：第一步要寫出每個點的坐標(不能寫出來的，可以用字母表示)，寫

已知點坐標的過程中，經(jīng)常要做坐標軸的垂線，第二步，利用特殊圖形的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，往往是解決問題的鑰匙.

23、(1)45,坦旦，且⑵滿足條件的NQQoD為45?；?35。；⑶BP的長為名或衛(wèi)；(4)￡1SCQS7.

7752510

【解析】

⑴由已知，可知△APQ為等腰直角三角形，可得NPAB,再利用三角形相似可得PA,及弧AQ的長度：

(2)分點Q在BD上方和下方的情況討論求解即可.

(3)分別討論點Q在BD上方和下方的情況，利用切線性質(zhì)，在由(2)用BPo表示BP,由射影定理計算即可；

(4)由(2)可知，點Q在過點Q。，且與BD夾角為45。的線段EF上運動，有圖形可知，當點Q運動到點E時，CQ最長

為7,再由垂線段最短，