初二【數(shù)學(xué)(人教版)】數(shù)學(xué)活動(dòng)：探究比例的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息

課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)八年級(jí)學(xué)期秋季

課題數(shù)學(xué)活動(dòng)：探究比例的性質(zhì)

書名：義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師

指導(dǎo)教師

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：能利用特殊值法探究分式的關(guān)系，并能用作差法證明猜想

教學(xué)重點(diǎn)：利用特殊值法探究分式的關(guān)系，并能用作差法證明猜想

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)分式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)淖C明方法

教學(xué)過(guò)程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

若二=￡(其中4、氏c、d均不為0),下列各組中的兩個(gè)分式分別有什么關(guān)系？

bd

(1)一和一(2)一和一

cdac

(3)----和-----(4)----和-----

bda-bc-d

1.使用特殊值法進(jìn)行試驗(yàn)

不妨取。=1,b=3,c=2,d=6,然后將這一組數(shù)值帶入到四組分式中，看看各組分式的

值有什么關(guān)系.

，、01b31…ab

(1)—=-=—發(fā)現(xiàn)：一二一

c2d62cd

問(wèn)題引入,、〃3rd6r“、ebd

7min(2)—=—=3,—=—=3發(fā)現(xiàn)：一二一

試驗(yàn)猜想a\c2ac

,、a+b1+34c+d2+64八-a+bc+d

(3)——=——=-,----=——=—發(fā)現(xiàn)：——=-----

033d63bd

,、a+b1+3-c+d2+6_….a+bc+d

(4)----=----=-2,----=----=-2發(fā)現(xiàn)：----二-----

ct—b1-3c-d2—6a—bc-d

通過(guò)這一組特殊值發(fā)現(xiàn)四組分式都分別相等，但是這些相等關(guān)系是否具有偶然性呢？不

妨再取一組值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，看得到的結(jié)果是否仍然是相等的。

再取〃=5,b=2,c=15,d=6,然后將這一組數(shù)值帶入到四組分式中，得到：

..a5121…門a_b

c153d63cd

/h2d62…b_d

a5c155ac

5+27c+d15+67心a+bc+d

(3)------=——=-,-------=-------=-發(fā)現(xiàn)：-----=-----

b22d62bd

Q5+27c+d15+67a+bc+d

(4)---------------=------=一，-=------=一發(fā)現(xiàn)：-----=-----

a—h5一23c—d15-63a—bc-d

通過(guò)第二組取值，發(fā)現(xiàn)這四組的結(jié)果仍然是相等的.

2.提出猜想：

任何一組不為0的0從c、d,只要滿足烏=￡,就有

bd

,、abbd

(1)-=—(2)-=—

cdac

/、a+bc+d/ci+bc+d

(3)------=------(4)------=------

bda-bc-d

得出的結(jié)論在數(shù)學(xué)上稱之為“猜想”，因?yàn)槭峭ㄟ^(guò)取幾組特殊值計(jì)算得出的結(jié)論，并不

能說(shuō)明對(duì)于任意一組滿足q=￡的如從c、d,這個(gè)結(jié)論都一定成立。

bd

3.用代數(shù)的方法來(lái)嘗試證明這些“猜想”。

復(fù)習(xí)比例的基本性質(zhì)。

代數(shù)上，常用“作差法”來(lái)比較代數(shù)式的大?。?/p>

①若4-8〉0,則A〉8；

②若A—B=0,則A=B；

③若4-B<Q,則A<B.

接下來(lái)利用“作差法”來(lái)嘗試證明這四個(gè)“猜想”：

,abad-be

(1)------=----------

cdcd

a_c

廠7，

/.ad=be.

15min證明猜想

abad-he0八

-------=----------=—=0.

cdcdcd

?—a——b

,cd'

這樣就證明了第一個(gè)結(jié)論對(duì)于任意一組滿足條件的仄C、”都是成立的。

接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們嘗試?yán)美蠋焺偛胖v的方法證明第二個(gè)猜想。

bdbe-ad

(2)-------=----------

acac

a_c

1=7，

:,hc=ad.

bdhe-ad0八

-------=----------=—=0.

acacac

bd

二.—=—,

ac

第三個(gè)“猜想”：—,從形式上已經(jīng)比前兩個(gè)要復(fù)雜一些了，但是“作差

hd

法”并沒有限制代數(shù)式的復(fù)雜程度，所以仍然可以使用“作差法”來(lái)嘗試證明。

⑴c+d_d(a+b)-b(c+d)_ad+bd-bc-bd_ad-be

hdbdbdbd

a_c

廠7

ad—be.

a+hc+dad-he0八

----------------=----------=—=0

hdbdbd

a+h_c+d

bd

這樣就完成了第三個(gè)猜想的證明，但是通分的過(guò)程寫起來(lái)有點(diǎn)復(fù)雜，我們觀察發(fā)現(xiàn)，

利用分式的加法法則，可以得到土3=q+2=色+1,而￡土《=￡+'=￡+1,兩

bbbbdddcl

個(gè)代數(shù)式都分離出來(lái)一個(gè)i,而剩下的部分正好是條件上=￡,那么等式兩邊各加一

ba

個(gè)1,等式仍然成立，即"2=三4是成立的。

bd

從這個(gè)猜想的證明過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，“作差法”是一種普適的方法，而對(duì)于有些特殊

的問(wèn)題，如果我們能觀察到代數(shù)式的特征，對(duì)它進(jìn)行變形處理，例如我們剛才使用的

這種“分離常數(shù)法”，就能夠讓問(wèn)題的解決過(guò)程變得簡(jiǎn)單很多。

最后一個(gè)猜想，請(qǐng)同學(xué)們利用講的方法嘗試證明一下。

通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)第四個(gè)猜想中的兩個(gè)分式從形式上看，因?yàn)榉帜干鲜莻€(gè)多項(xiàng)式，

使用剛才的“分離常數(shù)法”并不方便，因此我們還是用“作差法”來(lái)嘗試證明：

a+bc+d_(a+b)(c-d)-(a-b)(c+d)

a-bc-d(a-b)(c-d)

_ac-ad+be-bd-(ac+ad-be-bd)

(a-b)(c-d)

-2ad+2bc

(a-b)(c-d)

_-2(ad-bc)

(a-b)(c-d)

a_c

廠2，

ad—be.

ac+d-2(ad—be)0八

/.---------------=-----------------=----------