2023新教材高中數(shù)學第一章集合與常用邏輯用語充要條件練習新人教A版必修第一冊

1.4.2充要條件

知識，對點練

知識點一充要條件

1.“三角形的三條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析三角形的三條邊相等，則三角形為等邊三角形，即充分性成立；三角形為等邊三

角形，則三角形的三條邊相等成立，即必要性成立.則“三角形的三邊相等”是“三角形為

等邊三角形”的充要條件.故選C

2.“x=l”是“V—2矛+1=0”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析解V—2x+l=0得x=l,所以“x=l”是“V—2x+l=0”的充要條件.

3.a,6中至少有一個不為零的充要條件是（）

A.a6=0B.ab>Q

C.a+lf=OD.a2+Z?2>0

答案D

解析a2+A2>0,貝！ja,6不同時為零；a,6中至少有一個不為零，則3+百>0.故選

D.

4.設xGR,則“x>l”是31”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析PlnAl,則充分性成立；王力今x>l,則必要性成立，所以“x〉l”是“xR”

的充要條件.

“是“￡<0”的（

5.)

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由￡〈。，得x-2〈。，得x〈2,即“x<2”是“力〈?！钡某湟獥l件，故選A.

6.已知A"x=2”，q：“X—2=產(chǎn)品”，則。是（7的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由仍“x—2=后「”，解得x=l（舍去）或x=2,由〃可推出充分性成立，

反之，由q可推出R即必要性成立.所以O是q的充要條件，故選C.

知識點二從集合的角度看充分條件、必要條件和充要條件

7.已知集合4=集,a},5={1,2,3},則“a=3”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析充分性：當a=3時，"={1,3},6={1,2,3},可以推出故充分性成立；

必要性：若則{1,{1,2,3},可得a=2或a=3,故必要性不成立.所以“a=3”

是“ZUB”的充分不必要條件.

8.若集合/={x|lQK4},6={x|—l+a〈x〈l+a},則“2〈a<3”是“醫(yī)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析\-B={x\-l+a<x<l+a\,要使醫(yī)4

仿+1W4,

???解得2WaW3,???“2〈水3”=“膽A”，反之不成立.故選A.

1―1+a^L

9.設兒B,。是三個集合，則是“QC”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由An6=不一定有6=c,反之，由方=G一定可得4n所以“Acs

=AC\C,是“6=^’的必要不充分條件.故選B.

10.設戶，。是非空集合，命題甲為：PCgPU。；命題乙為：代。，那么甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析PCgPUgP=gPQQ,當P。時，戶n茲RJQ,所以層。斗戶

所以甲是乙的充分不必要條件.

11.設/={x|*3},B={x\-KX3},則“xe/”是成立的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不是充分條件，也不是必要條件

答案C

解析因為3—1〈K3}{x|x<3},所以“Xd/”是成立的必要不充分條件.

12.已知集合/={x|a—2<x〈a+2},6=xW—2或x》4},則4rl的充要條件是

()

A.0WaW2B.-2<a<2

C.0〈aW2D.0<a<2

答案A

一22一2,

解析ZG

J+2W4

13.已知Z=《x|3x+B0},B={x\x^2},若“xW是"xGB”成立的充要條件，則

答案一6

解析3才+心0化為1由題意］xx三一彳>={x|x22}‘所以一"|=2,d=—6.

知識點三充要條件的證明

14.求證：一次函數(shù)夕=履+6(4#0)的圖象過原點(0,0)的充要條件是6=0.

證明①充分性：如果6=0,那么y=kx.

當x=0時，y=0.

所以一次函數(shù)尸kx+b(20)的圖象過原點(0,0).

②必要性：因為一次函數(shù)y=kx~\~b(kW0)的圖象過原點(0,0),

所以0=0+6,所以6=0.

綜上，一次函數(shù)y=Ax+6(AW0)的圖象過原點(0,0)的充要條件是6=0.

15.設x,求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是燈20.

證明①充分性：如果盯20,

則有盯=0和燈>0兩種情況，

當盯=0時，不妨設x=0,得|x+y|=|y|,

|x|+Iy|=3,，等式成立.

當xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0時，

又當x>0,p>0時，

|x+y|=x+y,\x\+\y\=x+y,

等式成立.

當不(0,y＜0時，|x+y|=—(x+0，

|x|+Iy|=—x—y=—{x+y),

???等式成立.

總之，當盯20時，|x+y|=|x|+|p|成立.

②必要性：若|x+p|=㈤+3且x,y￡R,

得|x+y「=(|x|+|y|)2,

BPx+2xy+y=x+/+21x\*\y\,

|xy\=xy,???盯20.

綜上可知，燈三0是等式|x+p|=|x|十|成立的充要條件.

16.已知a+6W0,證明3+方一43—6+2助=0成立的充要條件是3+6=1.

證明先證充分性：

若a~\~b=\,則aA-1)—a—b-\-2ab=(5+Z?)2—(a+8)=1—1=0,即充分性成立.

再證必要性：

2

若a-\-l}—a—b+2ab=Q9則(a+Z?)—(a+6)=(a+6)(a+6—1)=0,

因為a+6W0,所以己+8—1=0,即a+b=l成立，

綜上，才+6?—a—6+2劉6=0成立的充要條件是a+Z?=1.

17.已知x,y都是非零實數(shù)，且x＞y,求證：%；的充要條件是孫＞0.

證明充分性：由燈＞0及x＞y,得三＞上，即工〈工

xyxyxy

1111y—x

必要性：由一〈一，得一一一＜0,即2—＜0.

xyxyxy

因為x＞y,所以p—x〈0,所以盯＞0.

所以f充要條件是盯＞0.

Xy

18.求證：關于x的方程加+6x+c=0有一個根為1的充要條件是a+6+c=0.

證明先證必要性：?方程3￡2+6x+c=0有一個根為1,??.x=l滿足方程zf+bx+c

=0,貝！J3?y+6?l+c=0,即a+6+c=0.

再證充分性：a+b+c=0fc=—a—b,代入方程a*+bx+c=0中，可得

—a—b—Q,即(x—1)?(ax+a+6)=0,故方程a/+6x+c=0有一個根為1.

因此，關于x的方程3/+6匠+。=0有一個根為1的充要條件是a+6+c=0.

易錯點混淆充分性和必要性致誤

已知％6是實數(shù)，求證：才一8—29=1成立的充要條件是才一4=1.

易錯分析本題錯誤的根源在于分不清充分性、必要性.只知分兩步證明，但沒有具體

分清.解題時最好還原成定義形式，再加以證明.

正解證明：充分性：若4—而=1,那號—甘一2甘=(甘一甘)+甘)一2甘=舌+甘一2甘

=a2—Z>2=1成立.

必要性：若a'—2/^=1,則a4—Z)4—2Z>2—1=0,即a~(Z)4+2Z?2+1)=0,a4—(Z?2

+1)2=0,

3+8+1)(a2—i)—1)=0,

'/a2+Z)"+IT^O,/.a—B—1=0,BPa—6"=1成立.

綜上所述，成立的充要條件是J一面=1.

一、單項選擇題

1.設a,b,c分別是△/笈的三條邊，且aWbWc,貝ij，②十方三產(chǎn)'是“△/勿為直角

三角形”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析i+『=10△力勿為直角三角形，故選c.

2.“|x|=3"是“x=y”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若x=l,y=—1,則|x|=|y|,但xWy；而x=.q|x|=|y|.

3.集合"MCN=N'是“J/U—的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析MCN=2怔N=M.

4.如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么()

A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件

B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件

C.丙是甲的充要條件

D.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件

答案A

解析如圖所示，???甲是乙的必要條件，，乙=甲.又丙是乙的充分條件，但不是乙的

必要條件，.??丙=乙，但乙f丙.綜上，有丙今乙臺甲，甲4丙，即丙是甲的充分條

件，但不是甲的必要條件.

5."6=c=0"是"二次函數(shù)尸ax'+fcr+cKaWO）的圖象經(jīng)過原點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析b=c=O^y=ax,二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點；二次函數(shù)尸af+Av+c的圖

象經(jīng)過原點nc=0,6不一定等于0,故選A.

6.命題“任意盡2,aWO”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.H24B.aW4

C.D.aW5

答案C

解析“任意1W啟2,3—aWO”為真命題，???aNV對任意的恒成立，???a24,

故心5是女24的一個充分不必要條件，故選C.

7.已知集合/={1,勿2+1},B={2,4},則“片是“408={4}”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若ZG8={4},則勿?+1=4,即勿2=3,解得力或"=一，5.故"勿是

“力08={4}”的充分不必要條件.故選A.

8.設集合U=Hx,0|x￡R,y￡R},若Z={（x,y）\2x~y+ni>Q},B={（x,y）\x+y

一〃W0},則點戶(2,3)e/nluB的充要條件是()

A.m>-1,72V5B.^?<—1,77<5

C.ni>—\,77>5D./Z7<—1,T?>5

答案A

(2X2—3+%>0,

解析［/={(x,y)|x+y—〃>0},?.,P(2,3)e/n(［應，,c八:，通

［2+3—7?>0,

>—1,A<5,故選A.

二、多項選擇題

9.設全集為〃在下列條件中，是比/的充要條件的是()

A.A^B=AB.(［/)門斤=0

C.［如UBD.JU((血=〃

答案ABCD

解析畫出Venn圖可知，醫(yī)/o/U6=4醫(yī)/=(［加C6=0；醫(yī)必醫(yī)/

o/U(［瘋=〃故選ABCD.

10.已知實系數(shù)一元二次方程ax2+6x+c=0(aW0),下列結論正確的是()

A.4ac20是這個方程有實根的充要條件

B.4ac=0是這個方程有實根的充分條件

C.4=爐-4ac〉0是這個方程有實根的必要條件

D.4=9一4a*0是這個方程沒有實根的充要條件

答案ABD

解析A正確，/=8—4ac20o方程aV+6x+c=0(aW0)有實根；B正確，A=b2—

4ac=0=>方程a/+6x+c=0(a#0)有實根；C錯誤，/=^—4ac〉。=方程ax+bx-\-c=

O(aWO)有實根；D正確，/=9—4ac<0=方程蘇+6*+C=0(@老0)沒有實根.

11.設計如圖所示的四個電路圖，P-.“開關S閉合”；/“燈泡L亮”，則。是g的

充要條件的電路圖是()

答案BD

解析由題知，電路圖A中，開關S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開關S不一定閉合，

故A中0是°的充分不必要條件；電路圖B中，開關S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開

關S閉合，故B中。是。的充要條件；電路圖C中，開關S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L

亮則開關S一定閉合，故C中。是。的必要不充分條件；電路圖D中，開關S閉合則燈泡L

亮，燈泡L亮則開關S閉合，故D中。是g的充要條件.故選BD.

12.已知/={x|x>—2},6GR},則下列說法正確的是（）

A.62一2是/U5=R的充要條件

B.6N—3是/U8=R的充分不必要條件

C.62一1是/U6=R的充分不必要條件

D.62—2是/C吃。的充要條件

答案AC

解析對于A,當62一2時，/U6=R；/U6=R=62一2,所以6》一2是/U6=R的

充要條件，故A正確；對于B,當62一3時，不一定有/U6=R,所以62一3不是/U6=R

的充分條件，故B錯誤；對于C,當62一1時，4U6=R,2+1,

所以人2-1是/U6=R的充分不必要條件，故C正確；對于D,當人=-2時，8={x|xW—

2）,4C16=0,所以62一2不是/Cl駐。的充分條件，故D錯誤.

三、填空題

13.函數(shù)尸系+%+1的圖象關于直線x=l對稱的充要條件是.

答案勿=—2

解析函數(shù)y=x+/z?^+l的圖象的對稱軸為x=-A—楙=1=勿=—2.

2

14.“0=1”是“函數(shù)尸為二次函數(shù)”的條件.

答案充分不必要

解析"=1時，函數(shù)尸入。為二次函數(shù).反之，當函數(shù)為二次函數(shù)時，以2—4勿+5=2,

2

即勿=3或勿=1,所以a=3也能保證函數(shù)為二次函數(shù).所以“勿=1”是“函數(shù)尸x…a

為二次函數(shù)”的充分不必要條件.

15.設集合4={x|2a+lWxW3a—5},6={x|3W^22},則ZG(4G面的充要條件為

，一個充分不必要條件可為.

答案aW96WaW9(答案不唯一)

解析/GC4G而0/6夕，笈={x|3WK22}.

若2=0,則2H+1>3H—5,解得水6；

’2升123,

若4W。，則AQ氏+3a—5W22,O6WaW9.

、3a—522a+l

綜上可知，￡(NA而的充要條件為aW9；一個充分不必要條件可為6WaW9.

16.設〃￡N*,一元二次方程4x+〃=0有整數(shù)根的充要條件是〃=.

答案3或4

解析一元二次方程x—4x+n=0有實數(shù)根=(-4)2—4〃20=7?W4.又T?￡N*,所以n

=1,2,3,4,當?shù)?4時，方程4x+4=0,有整數(shù)根2；當?shù)?3時，方程十一4x+3=0,

有整數(shù)根1,3；當〃=2時，方程V—4才+2=0,無整數(shù)根；當〃=1時，方程4x+l=0,

無整數(shù)根，所以〃=3或77=4.

四、解答題

[a1)+2=0,

17.設a,6￡R,證明,：\是°：a+6+2+(3劭+1)Q+8)=0成立

[3劭+1=0

的充分不必要條件.

證明充分性顯然成立，下證°3p.

O等價于+(a+6)+2=0,

即(a+Z?)'+(a+6)+2=0,

(乃+6+1)[(a+Z?)2—(a+6)+2]=0,

(a+6+1)(”+6-=0,

所以Q<^>a+b+1—0.

取a=-2,6=1,則°成立，但夕不成立，所以°3p.

故,是q成立的充分不必要條件.

18.求關于x的方程H*+2X+1=0至少有一個負的實數(shù)根的關于H的充要條件.

解當a=0時，方程為2x+l=0,解得x=一符合題目要求；

當aWO時，方程a1+2才+1=0為一元二次方程，

它有實根的充要條件為/=4-4a20,解得aWL

2

設方程ax+2x+l=0的兩實根為xi,X2,則由根與系數(shù)的關系得xi+x2=—1Xi?范

a

1

7

①方程a/+2x+l=0恰有一個負實根的充要條件是

解得水0;

②方程a/+2x+l=0有兩個負實根的充要條件是

<解得(KaWl.

1

->o,

la

綜上所述，HWI為所求.

19.已知a,6是正實數(shù)，求證：生詈