黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

初二教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘．2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．【詳解】解：A、最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，能熟記最簡(jiǎn)二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開(kāi)方數(shù)中不含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)和因式．2.下列二次根式中與是同類(lèi)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把四個(gè)選項(xiàng)中的二次根式化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義進(jìn)行選擇即可．【詳解】A．，與是同類(lèi)二次根式，故正確；B．，與不是同類(lèi)二次根式，故錯(cuò)誤；C．，與不是同類(lèi)二次根式，故錯(cuò)誤；D．，與不是同類(lèi)二次根式，故錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同類(lèi)二次根式，掌握同類(lèi)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．3.下列條件下，不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：A、，，是直角三角形，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、，設(shè)，，，，，，是直角三角形，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、，，，，是直角三角形，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、，，，，，不是直角三角形，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4.直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和10，那么它的第三邊的長(zhǎng)度為（）A.8 B.10 C.8或 D.10或【答案】C【解析】【分析】分別以10為直角邊、10為斜邊兩種情況按勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)10為直角邊時(shí)，斜邊=；當(dāng)10為斜邊時(shí)，另-條直角邊==8．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理和分類(lèi)討論思想是解答本題的關(guān)鍵．5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減法、二次根式的乘法法則、二次根式的除法法則依次進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、原式=，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、原式=，所以C選項(xiàng)正確；D、原式=，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．6.菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別是,則這個(gè)菱形的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積公式：菱形面積=ab（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）可得到答案．【詳解】菱形的面積：故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的面積公式，關(guān)鍵是熟練掌握面積公式．7.如圖、在中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形、面積分別記為，，．若．則圖中陰影部分的面積為（）A.6 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是由勾股定理得出是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得出，再根據(jù)可得出的值，即可求解．【詳解】解：由勾股定理得：，即，，，由圖形可知，陰影部分的面積為，陰影部分的面積為，故選：B．8.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF．則EF的最大值與最小值的差為（）A.1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EFAG，求出AG的最大值以及最小值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，∵AM＝DM＝DC＝2，∴△CDM是等邊三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝2，在Rt△ACN中，∵AC＝2，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴ANAC，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EFAG，易知AG的最大值為AC的長(zhǎng)，最小值為AN的長(zhǎng)，∴AG的最大值為2，最小值為，∴EF的最大值為，最小值為，∴EF的最大值與最小值的差為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，本題的突破點(diǎn)是證明∠ACD=90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．9.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)－＋b的結(jié)果是()A.1 B.b＋1C.2a D.1－2a【答案】A【解析】【詳解】由數(shù)軸可得：a?1<0，a?b<0，則原式=1?a+a?b+b=1故選：A10.我們規(guī)定：對(duì)于任意的正數(shù)，的運(yùn)算“”為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，其他運(yùn)算符號(hào)意義不變，按上述規(guī)定，計(jì)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)新定義當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即可解答．【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，涉及二次根式的性質(zhì)和加減運(yùn)算，明確新定義運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，滿分21分）11.函數(shù)的自變量的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍的求法，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．12.如圖，在平行四邊形中，兩點(diǎn)均在對(duì)角線上．要使四邊形為平行四邊形，在不添加輔助線的情況下，需要增加的一個(gè)條件是__________（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，由平行四邊形性質(zhì)可得到OB=OD，要證明四邊形BEDF為平行四邊形，只需要OE=OF即可，故添加的條件只要能證明OE=OF即可．【詳解】如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OB=OD，OA=OC，

若AE=CF，則有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形，

故答案為：AE=CF．答案不唯一．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．即①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．13.在中，，，的對(duì)邊分別為a，b，c，有以下5個(gè)條件：①；②；③；④；⑤．其中能判斷是直角三角形的是__________（填序號(hào)）．【答案】②③④⑤【解析】【分析】本題考查了直角三角形的判定，根據(jù)所給的條件，結(jié)合勾股定理逆定理、三角形內(nèi)角和定理對(duì)選項(xiàng)一一判定即可．【詳解】解：①，設(shè)，則，，∵∴，則，，，故①不是直角三角形．②，設(shè)，，，則，，則，故②為直角三角形．③∵，設(shè)，則，，∴，故③為直角三角形．④化簡(jiǎn)為：，則：，故④為直角三角形，⑤，∵，∴，∴，故⑤為直角三角形，故答案為：②③④⑤.14.如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是________．【答案】【解析】【分析】利用勾股定理求出的長(zhǎng)進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，由勾股定理得，∴，∵數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，∴a的值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，正確利用勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15.如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕為，若則的值為_(kāi)______【答案】【解析】【分析】本題主要考查矩形與折疊、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．連接，由折疊可知，，由可得，進(jìn)而得到，則，設(shè)，則，在中，利用勾定理建立方程，求解即可．【詳解】∵四邊形為矩形，，∴，由折疊可知，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．故答案為：．16.等腰中，，垂足為點(diǎn)，且，則等腰底角的度數(shù)為_(kāi)______．【答案】或或【解析】【分析】分點(diǎn)是頂角頂點(diǎn)、點(diǎn)是底角頂點(diǎn)、在外部和在內(nèi)部三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)是頂角頂點(diǎn)時(shí)，，，，，，在中，；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)是底角頂點(diǎn)，且在外部時(shí)，，，，，；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)是底角頂點(diǎn)，且在內(nèi)部時(shí)，，，，，；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．17.如圖，正方形中，，與直線l所夾銳角為，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，…，依此規(guī)律，則線段______．【答案】【解析】【分析】本題考查了圖形類(lèi)規(guī)律探索、正方形的性質(zhì)、解直角三角形；利用正方形的性質(zhì)得到，，求出，從而可得，同理得到，利用此變化規(guī)律得到，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形是正方形，，，∵與直線l所夾銳角為，，，，同理可得：，，．．．．．．∴，∴故答案為：．三、解答題（本題共69分）18.（1）（2）（3）先化簡(jiǎn)再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值；（1）先算除法和乘法，再算加減即可；（2）先化簡(jiǎn)各項(xiàng)，再合并同類(lèi)二次根式即可；（3）先化簡(jiǎn)分式，再代入求值即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式當(dāng)時(shí)，原式．19.在四邊形中，，．（1）求．（2）求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積；

（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，在中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，可得；

（2）根據(jù)四邊形的面積計(jì)算即可求解．【小問(wèn)1詳解】在中，由勾股定理得：在中，，，，∴是直角三角形，．【小問(wèn)2詳解】四邊形的面積．20.觀察下列各式及驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證；，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：.（1）按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想________；（2）按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；（3）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用自然數(shù)n表示的等式，并進(jìn)行驗(yàn)證.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）——（3）均根據(jù)題中各式的驗(yàn)證過(guò)程仿寫(xiě)即可.詳解】解：（1）.（2）猜想.驗(yàn)證.（3）.驗(yàn)證：.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式，屬于模仿題型，理解題中各式的求解方法是解題的關(guān)鍵.21.今日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城的正西方向240千米的B處，以每時(shí)12千米的速度向北偏東60度方向移動(dòng)，距沙塵暴中心150千米的范圍為受影響區(qū)域．（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響？為什么？（2）若A城受這次沙塵暴的影響，遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】（1）受影響，理由見(jiàn)解析（2）15小時(shí)【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，由題意可知，由此可以求出的長(zhǎng)度，然后和150比較大小即可判斷城是否受到這次沙塵暴的影響；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓與的交點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可以求出的長(zhǎng)度，也就求出了的長(zhǎng)度，然后除以沙塵暴的速度即可求出遭受影響的時(shí)間．【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，由題意可知，，，城將受這次沙塵暴的影響；【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓與的交點(diǎn)，連接，，由題意得，，城受沙塵暴影響的時(shí)間為：（小時(shí)），答：城將受到這次沙塵暴的影響，影響的時(shí)間為15小時(shí)．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形中的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理的應(yīng)用，當(dāng)然首先正確理解題意，把握好題目的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的前提．22.如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過(guò)對(duì)角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB，CD邊于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD⊥EF，設(shè)BE=x，則

DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問(wèn)的關(guān)鍵23.綜合與實(shí)踐情景再現(xiàn)：我們動(dòng)手操作：把正方形沿對(duì)角線剪開(kāi)就分剪出兩個(gè)等腰直角三角形，把其中一個(gè)等腰直角三角形與正方形重新組合在一起，圖形變得豐富起來(lái)，當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，問(wèn)題也隨旋轉(zhuǎn)應(yīng)運(yùn)而生．如圖①把正方形沿對(duì)角線剪開(kāi)，得兩個(gè)等腰直角三角形和．（1）問(wèn)題呈現(xiàn)我們把剪下的兩個(gè)三角形一個(gè)放大另一個(gè)縮小拼成如圖②所示的圖形①若點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則線段的取值范圍是___________．②直接寫(xiě)出線段與的關(guān)系是___________．（2）我們把剪下的其中一個(gè)三角形放大與正方形組合如圖③④⑤所示，點(diǎn)E在直線上，交直線于M．①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖③所示，求證：；②當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖④所示，則線段具有的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑤所示，則線段具有的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；問(wèn)題拓展（3）在（2）的條件下，連接，當(dāng)，其他條件不變，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】（1）；且（2），，（3）1或4【解析】【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，可知點(diǎn)P在以A點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，從而可得點(diǎn)P在上時(shí)，有最小值，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，有最大值，分別進(jìn)行求解即可；②證明即可得出結(jié)論；（2）①過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明即可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)N，證明即可得出結(jié)論；③過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，證明即可得出結(jié)論；（3）連接，根據(jù)和（2）中的三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論即可．【小問(wèn)1詳解】解：①∵點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)P在以A點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，∴點(diǎn)P在上時(shí)，有最小值，，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，有最大值，，，②∵和是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，故答案為：；且．【小問(wèn)2詳解】解：①如圖3，過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，∵四邊形是正方形，，又，∴四邊形是矩形，∴∴∴，又∵∴∴四邊形是正方形，，，．②如圖4，過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)N，∵，，是等腰直角三角形，，，，又，，在和中，，，，同理①可得四邊形是正方形，，．③如圖5，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，同②可得四邊形是正方形，，．小問(wèn)