考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷4（共214題）

考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷4（共9套）（共214題）考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)則f(x)有()A、兩條斜漸近線。B、兩條水平漸近線。C、一條斜漸近線，無水平漸近線。D、一條水平漸近線，一條斜漸近線。標準答案：D知識點解析：函數(shù)f(x)無間斷點，所以不存在垂直漸近線。當x→∞時，所以y=0為函數(shù)f(x)的一條水平漸近線。又因為所以y=2x為函數(shù)f(x)的一條斜漸近線。故本題選D。2、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的導函數(shù)，則()A、若f(x)是偶函數(shù)，則對任意的實數(shù)a，必為奇函數(shù)。B、若f(x)是周期函數(shù)，則必為周期函數(shù)。C、若f’(x)是奇函數(shù)，則必為奇函數(shù)。D、若f’(x)是偶函數(shù)，則必為偶函數(shù)。標準答案：C知識點解析：由函數(shù)f(x)具有連續(xù)的導函數(shù)，可知f’(x)連續(xù)。若f’(x)是奇函數(shù)，則f(x)必為偶函數(shù)。令易知F(0)=0，則為奇函數(shù)。故本題選C。3、設(shè)函數(shù)y=f(x)可導，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(=)=0是F(x)在x=0可導的()A、充分必要條件。B、充分非必要條件。C、必要非充分條件。D、既非充分也非必要條件。標準答案：A知識點解析：充分性：因為f(0)=0，所以即F(x)在x=0可導。必要性：設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0可導，則F’(0－0)=F’(0+0)。又因為F’(0－0)=f’(0)-f(0)，F(xiàn)’(0+0)=f’(0)+f(0)，即f(0)=－f(0)，所以f(0)=0。故本題選A。4、設(shè)數(shù)列{xn}與{yn}滿足則下列結(jié)論正確的是()A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散。B、若{xn}無界，則{yn}必無界。C、若{xn}有界，則{yn}必為無窮小。D、若為無窮小，則{yn}必為無窮小。標準答案：D知識點解析：因為取xn=n，yn=0，則可排除A、B；取xn=0，yn=n，則可排除C。故本題選D。5、函數(shù)在x=0處()A、不連續(xù)但偏導數(shù)存在。B、偏導數(shù)不存在但連續(xù)。C、可微但偏導數(shù)不連續(xù)。D、偏導數(shù)連續(xù)。標準答案：C知識點解析：因為所以函數(shù)f(x，y)在點(0，0)連續(xù)。因為所以函數(shù)f(x，y)在點(0，0)對戈的偏導數(shù)存在。同理可證函數(shù)f(x，y)在點(0，0)對y的偏導數(shù)存在。所以函數(shù)f(x，y)在點(0，0)的偏導數(shù)存在。因為所以函數(shù)f(x，y)在點(0，0)可微。因為令y=kx，則上述極限不存在，所以函數(shù)fx’(x，y)在點(0，0)不連續(xù)。故本題選C。6、設(shè)函數(shù)f(u)可導，y=f(x2)當自變量x在x=－1處取得增量△x=－0．1時，相應的函數(shù)增量△y的線性主部為0．1，則f’(1)=()A、－1B、0．1C、1D、0．5標準答案：D知識點解析：由微分的定義可知，函數(shù)f(x)在點x0的增量△y的線性主部即為函數(shù)f(x)在該點的微分所以有0．1=y’(－1)·△x=－0．1·y’(－1)，即有y’(－1)=－1。同時所以f’(1)=0．5。故本題選D。7、設(shè)A是m×n矩陣，B是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣C=AB的秩為r1，則()A、r=r1。B、r＞r1。C、r＜r1。D、r與r1的關(guān)系依B而定。標準答案：A知識點解析：C=AB=EAB，其中E為m階單位矩陣，因為E與B均可逆，所以由矩陣等價的充分必要條件知C與A等價。由矩陣等價的性質(zhì)知r=r1。故本題選A。8、設(shè)2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D=()A、2na2B、na2C、a2D、0標準答案：D知識點解析：不妨設(shè)D=det(aij)，且aij=a(i=1，2，…，2n)，余子式Mij=a(i=1，2，…，2n)，其對應的代數(shù)余子式Aij=(－1)i+jMij=(－1)i+ja(i=1，2，…，2n)。由題意，行列式按第j列展開，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，因為Aij=(－1)i+jMij=(－1)i+ja(i=1，2，…，2n)，所以這2n個代數(shù)余子式中有n個等于a，n個等于－a，從而行列式的值為0。故本題選D。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、標準答案：知識點解析：所求極限為和式極限的形式，則可利用夾逼準則進行求解。其中由夾逼準則可知10、已知則f’(2)=___________。標準答案：知識點解析：所以11、交換積分次序標準答案：知識點解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D，如下圖陰影部分所示，則有交換積分次序12、曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為___________。標準答案：知識點解析：由旋轉(zhuǎn)曲面的面積計算公式可得13、實對稱矩陣A與矩陣合同，則二次型xTAx的規(guī)范形為___________。標準答案：y12+y22－y32知識點解析：矩陣A與矩陣B合同，說明二次型xTAx與xTBx有相同的正、負慣性指數(shù)。矩陣B的特征多項式為所以矩陣B的特征值為1，1，－2，則二次型xTBx的正慣性指數(shù)為2，負慣性指數(shù)為1。故二次型xTAx的規(guī)范形為y12+y22－y32。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)已知函數(shù)記14、求a的值；標準答案：當x→0時，sinx～x，則即a=1。知識點解析：暫無解析15、若x→0時，f(x)一a與xk為同階無窮小，求常數(shù)k的值。標準答案：當x→0時，有又因為當x→0時，所以由題設(shè)知，當x→0時，f(x)－a與xk為同階無窮小，所以k=1。知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)上有定義，在區(qū)間[0，2]上f(x)=x(x2－4)，若對任意的x都滿足f(x)=kf(x+2)，其中k為常數(shù)。16、寫出f(x)在[_2，2]上的表達式；標準答案：當-2≤x－0時，0≤x+2－2，則有f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2－4]=kx(x+2)(x+4)，所以f(x)在[-2，2]上的表達式為知識點解析：暫無解析17、問k為何值時，f(x)在x=0處可導。標準答案：根據(jù)已知f(0)=0。若f(x)在x=0處可導，則f+’(0)=f－’(0)，即－4=8k，則知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，以及該函數(shù)圖形的漸近線。標準答案：由已知得令y’=0，得駐點x1=0，x2=－1。列表如下由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)；為極小值，為極大值。由于所以此函數(shù)沒有水平漸近線；同理，此函數(shù)也沒有垂直漸近線。因此，令綜上可知，函數(shù)圖形的漸近線為y=a1x+b1=eπ(x－2)及y=a2x+b2=x－2，共2條。知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導數(shù)，證明：標準答案：由分部積分法得移項并整理得知識點解析：暫無解析20、求曲線x3－xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的點到坐標原點的最長距離與最短距離。標準答案：構(gòu)造函數(shù)L(x，y)=x2+y2+λ(x3－xy+y3－1)，且令得唯一駐點x=1，y=1，即M1(1，1)?？紤]邊界上的點，M2(0，1)，M3(1，0)，距離函數(shù)在三點的取值分別為f(0，1)，f(1，0)=1，由此可知最長距離為最短距離為1。知識點解析：暫無解析21、設(shè)D={(x，y)|(x－1)2+(y－1)2=2)，計算二重積分標準答案：其中同理同時所以知識點解析：暫無解析22、利用代換將方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化簡，并求出原方程的通解。標準答案：方法一：由得y’=u’secx+usecxtanx．y"=u"secx+2u’secxtanc+usecxtan2x+usec3x，代入原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex，得u"+4u=ex。(1)先求其對應的齊次線性微分方程的通解。由于其特征方程為λ2+4=0，則特征方程的根為λ=+2i。所以通解為=C1cos2x+C2sin2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。再求非齊次線性微分方程的特解。設(shè)其特解為u*(x)=Aex，代入(1)式，得(Aex)"+4(Aex)=Aex+4Aex=ex，則因此所以(1)式的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)。因此，原方程的通解為方法二：由得u=ycosx，于是u’=y’cosx－ysinx，u"=y"cosx－2y’sinx－ycosx，于是原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化為u"+4u=ex(以下求解過程同方法一)。知識點解析：暫無解析已知是矩陣的一個特征向量。23、求參數(shù)a，b及特征向量p所對應的特征值；標準答案：設(shè)λ是特征向量p所對應的特征值，根據(jù)特征值的定義，有(λ－AE)p=0，即從而有方程組解得a=0，b=3，且特征向量p所對應的特征值λ=2。知識點解析：暫無解析24、問A能否相似對角化，并說明理由。標準答案：A的特征多項式為所以A的特征值為λ1=1，λ2=λ3=2。對應單根λ1=1，可求得線性無關(guān)的特征向量恰有1個，故矩陣A可相似對角化的充分必要條件為對應重根λ2=λ3=2有2個線性無關(guān)的特征向量，即方程(A－2E)x=0有2個線性無關(guān)的解，則系數(shù)矩陣A-2E的秩r(A－2E)=1。故r(A－2E)=1，所以矩陣A可相似對角化。知識點解析：暫無解析設(shè)二次型為f=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3。25、用可逆線性變換化二次型為標準形，并求所用的變換矩陣；標準答案：用配方法將二次型化為標準形f=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+5x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2+x32。令即得f的標準形為f=y12+y22+y32，所用可逆線性變換為x=cy，其中知識點解析：暫無解析26、證明二次型的對應矩陣A為正定矩陣，并求可逆矩陣U，使得A=UTU。標準答案：由上題得，二次型的標準形為f=y12+y22+y32，其系數(shù)全為正，所以二次型正定，即二次型的對應矩陣A為正定矩陣。方法一：由上題知其中方法二：由題干得，二次型f=xTAx的對應矩陣為由上題知，f=xTAx=yTCTACy=yTy，所以CTAC=E，A=(C－1)TC－1=UTU，其中U=C－1。故知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)，且，則()．A、x=0為極大值點B、x=0為極小值點C、(0，f(0))為拐點D、x=0不是極值點，(0，f(0))也不是拐點標準答案：B知識點解析：由∫0xtf(x－t)dtx∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du得因為f(x)連續(xù)，所以f(0)=0，再由極限保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，f(x)＞0=f(0)，即x=0為f(x)的極小值點，應選(B)．2、xex+1=的根的個數(shù)為()．A、沒有根B、恰有一個根C、恰有兩個根D、有三個根標準答案：B知識點解析：令f(x)=xex+1－，由f’(x)=(x+1)ex+1=0得x=－1，f"(x)=(x+2)ex+1，由f"(－1)=1＞0得x=－1為最小值點，最小值為m=f(－1)=＜0，方程xex+1=有且僅有一個根．選(B)．3、設(shè)函數(shù)f(x)是連續(xù)且單調(diào)增加的奇函數(shù)，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，則φ(x)是()．A、單調(diào)增加的奇函數(shù)B、單調(diào)減少的奇函數(shù)C、單調(diào)增加的偶函數(shù)D、單調(diào)減少的偶函數(shù)標準答案：B知識點解析：φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du=2∫0xuf(x－u)du－x∫0xf(x－u)du=－2∫0xuf(x－u)d(x－u)+x∫0xf(x－u)d(x－u)－2∫x0(x－t)f(t)dt+x∫x0f(t)dt=2∫0x(x－t)f(t)dt－x∫0xf(t)dt=2x∫0xf(t)dt－2∫0xxf(t)dt－x∫0xf(t)dt=x∫0xf(t)dt－2∫0xtf(t)dt，因為φ(－x)=－x∫0－xf(t)dt－2∫0－xtf(t)dtx∫0xf(－u)du－2∫0x(－u)f(－u)d(－u)=－x∫0xf(u)du+2∫0xuf(u)du=－φ(x)，所以φ(x)為奇函數(shù)；又φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，當x＞0時，φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x[f(ξ)－f(x)]≤0(0≤ξ≤x)，當x≤0時，φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x[f(ξ)－f(x)]≤0(x≤ξ≤0)，所以φ(x)為單調(diào)減少的奇函數(shù)，選(B)．4、設(shè)函數(shù)f(x)具有一階導數(shù)，下述結(jié)論中正確的是()．A、若f(x)只有一個零點，則f’(x)必至少有兩個零點B、若f’(x)至少有一個零點，則f(x)必至少有兩個零點C、若f(x)沒有零點，則f’(x)至少有一個零點D、若f’(x)沒有零點，則f(x)至多有一個零點標準答案：D知識點解析：若f(x)至少有兩個零點，根據(jù)羅爾定理，f’(x)至少有一個零點，故若f’(x)沒有零點，則f(x)至多一個零點，選(D)．5、y=的漸近線條數(shù)為()A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：B知識點解析：因為=∞，所以曲線沒有水平漸近線；因為=+∞，所以x=0為鉛直漸近線；因為，所以x=2不是鉛直漸近線；因為=1，所以y=x+7為曲線的斜漸近線，故曲線有兩條漸近線，應選(B)．6、設(shè)函數(shù)y=f(x)的增量函數(shù)△y=f(x+△x)－f(x)=+o(△x)，且f(0)=π，則f(－1)為()．A、B、πeπC、D、πe－π標準答案：C知識點解析：由△y=+o(△x)得y=f(x)為可導函數(shù)，且則y=f(x)==Cearctanx，因為f(0)=π，所以C=π，于是f(x)=πearctanx，故f(－1)=，選(C)．7、設(shè)A為m×n矩陣，且r(A)=m＜n，則下列結(jié)論正確的是()．A、A的任意m階子式都不等于零B、A的任意m個列向量線性無關(guān)C、方程組AX=b一定有無數(shù)個解D、矩陣A經(jīng)過初等行變換化為(EmO)標準答案：C知識點解析：因為A與都是m行，所以r(A)==m＜n，所以方程組AX=b一定有無數(shù)個解，選(C)．8、設(shè)A，B為三階矩陣且A不可逆，又AB+2B=O且r(B)=2，則｜A+4E｜=()．A、8B、16C、2D、0標準答案：B知識點解析：令B=(α1，α2，α3)，由AB+2B=O得Aαi=－2αi(i=1，2，3)，由r(B)=2得λ=－2至少為A的二重特征值，又由r(A)＜3得λ3=0，故λ1=λ2=－2，λ3=0，A+4E的特征值為λ1=λ2=2，λ3=4，故｜A+4E｜=16．選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導，且=e2，則a=________．標準答案：1知識點解析：由微分中值定理得f(x)－f(x一1)=f’(ξ)，其中x－1＜ξ＜x，10、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，改變?yōu)闃O坐標的累次積分為=________．標準答案：知識點解析：11、xy"－y’=x2的通解為________．標準答案：知識點解析：由xy"－y’=x2，得由y’=x2+C1x，得原方程的通解為12、設(shè)=0，且F(u，v)連續(xù)可偏導，則=________．標準答案：z知識點解析：13、=________．標準答案：知識點解析：14、設(shè)A為三階矩陣，A的三個特征值為λ1=－2，λ2=1，λ3=2，A*是A的伴隨矩陣，則A11+A22+A33=________．標準答案：-4知識點解析：因為A的特征值為λ1=－2，λ2=1，λ3=2，所以A*的特征值為μ1=2，μ2=－4，μ3=－2，于是A11+A22+A33=tr(A*)=μ1+μ2+μ3=2－4－2=－4．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求極限標準答案：由(1+x)a=1+ax++o(x2)得知識點解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，試證明存在ξ∈(a，b)使標準答案：令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，顯然函數(shù)φ(x)在區(qū)間[a，b)]上連續(xù)，函數(shù)φ(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt－f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，另外又有φ(a)=φ(b)=0．所以根據(jù)羅爾定理可知存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(x)＞0，從而就有∫ξbg(t)dt＞0，于是有知識點解析：暫無解析17、設(shè)(Ⅰ)用變換x=t2將原方程化為y關(guān)于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．標準答案：(Ⅰ)(Ⅱ)特征方程為λ2－λ－6=0，特征值為λ1=－2，λ2=3，知識點解析：暫無解析18、設(shè)直線y=ax+b為曲線y=ln(x+2)的切線，若y=ax+b，x=0，x=4及曲線y=ln(x+2)圍成的圖形面積最小，求a，b的值．標準答案：設(shè)直線y=ax+b為曲線y=ln(x+2)在點(x0，ln(x0+2))處的切線，當x0∈(－2，2)時，S’(x0)＜0，當x0＞2時，S’(x0)＞0，則x0=2為S(x0)的最小點，從而當時，y=ax+b，x=0，x=4及曲線y=ln(x+2)圍成的圖形面積最?。R點解析：暫無解析19、求二重積分｜x2+y2－x｜dxdy，其中D={(x，y)｜0≤y≤1－x，0≤x≤1}．標準答案：在區(qū)域D內(nèi)作圓x2+y2－x，將區(qū)域D分為D1，D2，則第一卦限的角平分線將D1分為D11及D12，知識點解析：暫無解析20、設(shè)z=z(x，y)由3x2－2xy+y2－yz－z2+22=0確定的二元函數(shù)，求其極值．標準答案：3x2－2xy+y2－yz－z2+22=0對x，y求偏導得當(x，y)=(－1，－3)時，將x=－1，y=－3，z=－4，代入得因為AC－B2=＞0且A＜0，所以(－1，－3)為z=z(x，y)的極大點，極大值為z=－4；當(x，y)=(1，3)時，將x=1，y=3，z=4，代入得因為AC～B2=＞0且A＞0，所以(1，3)為z=z(x，y)的極小點，極小值為z=4．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[1，+∞)上連續(xù)且可導，若曲線y=f(x)，直線x=1，x=t(t＞1)與x軸圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為且f(2)=，求函數(shù)y=f(x)的表達式．標準答案：由旋轉(zhuǎn)體的體積公式得V(t)=π∫1tf2(u)du，由已知條件得π∫1tf2(u)du=[t2f(t)－f(1)]，即3∫1tf2(u)du=t2f(t)－f(1)．等式兩邊對t求導得3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，于是有x2y’=3y2－2xy，變形得知識點解析：暫無解析22、設(shè)已知AX=B有解．(Ⅰ)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求X．標準答案：(Ⅰ)因為AX=B有解，所以r(AB)=r(A)，(Ⅱ)令X=(X1，X2)，B=(b1，b2)，知識點解析：暫無解析23、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的矩陣合同于(Ⅰ)求常數(shù)a的值；(Ⅱ)用正交變換法化二次型f(x1，x2，x3)為標準形．標準答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由｜λE－A｜==λ(λ－4)(λ－9)=0得λ1=0，λ2=4，λ3=9．則f(x1，x2，x3)=XTAXYT(QTAQ)Y=4y22+9y32．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、x→0時，下列無窮小量階數(shù)最高的是()A、。B、3x3一4x4+5x5。C、ex2一cosx。D、∫01－cosxdt。標準答案：D知識點解析：選項(A)，選項(B)，3x3一4x4+5x5=3x3+o(x3)，可知3x3一4x4+5x5～3x3。可見，要使極限為非零常數(shù)，必有n=4。綜上所述，本題選(D)。2、已知f(x)的導函數(shù)圖像如圖1所示，則f(x)在(0，+∞)上()A、有3個駐點，3個極值點，3個拐點。B、有2個駐點，2個極值點，2個拐點。C、有3個駐點，2個極值點，3個拐點。D、有3個駐點，2個極值點，1個拐點。標準答案：C知識點解析：駐點為導數(shù)等于0的點，即導函數(shù)圖像與橫坐標的交點，共3個；極值點為該點兩端導數(shù)符號不一致的點，圖中有2個；拐點即為導函數(shù)的極值點，根據(jù)圖像可知有3個點。故選擇(C)。3、曲線y=x2arctanarctanx2的漸近線條數(shù)為()A、0。B、1。C、2。D、3。標準答案：B知識點解析：函數(shù)唯一可能的間斷點是x=0，而=0，不存在垂直漸近線。又因為=∞，不存在水平漸近線。最后求斜漸近線做變量替換，令x==0，所以存在一條斜漸近線為y=x，故選擇(B)。4、函數(shù)f(x)=，在x=0處()A、不連續(xù)但偏導數(shù)存在。B、偏導數(shù)不存在但連續(xù)。C、可微但偏導數(shù)不連續(xù)。D、偏導數(shù)連續(xù)。標準答案：C知識點解析：連續(xù)性：=0=f(0，0)，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)點連續(xù)。偏導數(shù)：fx’(0，0)==0，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)處對x的偏導數(shù)存在。同理可驗證函數(shù)f(x，y)在(0，0)處對y的偏導數(shù)存在。所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)處的偏導數(shù)存在。全微分：=0，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)處可微。偏導數(shù)連續(xù)性：fx’(x，y)=所以函數(shù)fx’(x，y)在(0，0)處不連續(xù)，故選擇(C)。5、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)＞0且單調(diào)遞增，則積分的大小關(guān)系為()A、I1＞I2＞I3。B、I1＞I3＞I2。C、I2＞I3＞I1。D、I3＞I1＞I2。標準答案：D知識點解析：由于積分區(qū)間相同，比較被積函數(shù)的大小，函數(shù)f(x)＞0且單調(diào)遞增，有f(x)一時，sinx＜cosx，可以得到被積函數(shù)[f(x)一f(一x)](sinx一cosx)＞0，從而I1＞I2。I3－I1=∫0f(x)(tanx一sinx)dx，當x＞0時，有tanx—sinx＞0，又因為f(x)＞0，所以f(x)(tanx—sinx)＞0，即I3一I1＞0，可得I3＞I1＞I2，故選擇(D)。6、設(shè)A為4階矩陣，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=0的基礎(chǔ)解系為(1，2，一3，0)T，則下列說法中錯誤的是()A、α1，α2，α3線性相關(guān)。B、α4可由α1，α2，α3線性表出。C、α1，α2，α4線性無關(guān)。D、α1可由α2，α3，α4線性表出。標準答案：B知識點解析：Ax=0的基礎(chǔ)解系為(1，2，一3，0)T，可知r(A)=3且α1+2α2一3α3=0，則α1，α2，α3線性相關(guān)，所以(A)正確。因為r(A)=3且α1，α2，α3線性相關(guān)，若α4可由α1，α2，α3線性表出，則r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3)＜3，所以該選項錯誤，答案為(B)。由于α3=，可知α3能由α1，α2，α4線性表出，故r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)=3，因此α1，α2，α4線性無關(guān)，所以(C)正確。由于α1=一2α2+3α3，可知α1可由α2，α3，α4線性表出，所以(D)正確。7、已知α=(1，一3，2)T，β=(0，1，2)T，設(shè)矩陣A=αβT—E，則矩陣A最大特征值的特征向量是()A、α。B、β。C、α+β。D、α—β。標準答案：A知識點解析：由題設(shè)可知r(αβ)T=1，所以αβT的特征值為0，0，βTα，即0，0，1，所以A的特征值為一1，一1，0。A屬于0的特征向量等于αβT屬于1的特征向量，因為αβTα=α(βTα)=α，所以答案為(A)。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)f(x)為可導的偶函數(shù)，滿足=2，則曲線y=f(x)在點(一1，f(一1))處的切線方程為_________。標準答案：y=4(x+1)知識點解析：可得f’(1)=一4，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，則f’(1)=一f’(一1)=一4，切線方程為y=4(x+1)。9、=_________。標準答案：1知識點解析：結(jié)合定積分的極限定義式10、已知凹曲線y=f(x)在曲線上任意一點(x，f(x))處的曲率為K=，且f(0)=0，f’(0)=0，則f(x)=_________。標準答案：f(x)=x2知識點解析：根據(jù)曲率公式K=，因為函數(shù)y=f(x)為凹曲線，可得f’’(x)＞0，則有微分方程令f’(x)=p，則，解微分方程可得f(x)=x2。11、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，滿足=x+y，z(x，0)=0，z(0，y)=y2，則z(x，y)=_________。標準答案：z(x，y)=xy2+y2知識點解析：因為=x+y，對x積分可得x2+xy+C(y)，令x=0可得=C(y)，又因為z(0，y)=y2，對y求導=2y，可以得到C(y)=2y，那么x2+xy+2y，再對y積分可以得z(x，y)=xy2+y2+C(x)，令y=0可以得到z(x，0)=0=C(x)，則z(x，y)=xy2+y2。12、設(shè)f(x)=(x＞0)，則f(x)的不可導點為___________。標準答案：x=3知識點解析：原函數(shù)可化為f(x)=顯然函數(shù)f(x)在點x=3處不可導。13、設(shè)A，B均為三階矩陣，將A的第一行加到第二行得到A1，將B的第二列和第三列交換得到B1，若A1B1=，則AB=________。標準答案：知識點解析：由題設(shè)可知，A1=E12(1)A，B1=BE23，所以A1B1=E12(1)ABE23，從而AB=E12－1(1)A1B1E23－1=E12(一1)A1B1E23=E12(一1)E23=。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、求極限。標準答案：根據(jù)等價無窮小替換公式，知識點解析：暫無解析15、設(shè)z=，其中f(μ)具有二階連續(xù)導數(shù)，f(0)=f’(0)=0，且，求f(μ)。標準答案：z=f()，其中f(μ)具有二階連續(xù)導數(shù)，即f’’(μ)一f(μ)=μ。求解該二階微分方程可得f(μ)=C1e－μ+C2eμ一μ，由f(0)=f’(0)=0代入上式通解，可解得，故f(μ)=－μ。知識點解析：暫無解析16、證明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。標準答案：設(shè)f(x)=tanx+2sinx一3x，x∈(0，)，則f’(x)=sec2x+2cosx一3，f’’(x)=2sec2xtanx一2sinx=2sinx(sec3x一1)，由于當x∈(0，)時sinx＞0，sec3x一1＞0，則f’’(x)＞0，函數(shù)f’(x)=sec2x+2cosx一3，為增函數(shù)，f’(0)=0，因此x∈(0，)時，f(x)=sec2x+2cosx一3＞0，進一步得函數(shù)f(x)為增函數(shù)，由于f(0)=0，因此f(x)=tanx+2sinx一3x＞f(0)=0，x∈(0，)，即不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)成立。知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，且=2，求f(0)，f’(0)。標準答案：函數(shù)f(x)可在x=0處展為一階泰勒展開式，即f(x)=f(0)+f’(0)x+o(x2)，同時ln(1+x)=x一+o(x2)，代入原極限式可得故f(0)一1=0，f’(0)+=2，因此f(0)=1，f’(0)=。知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足f(x)=x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。18、驗證f(x)滿足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f’(0)=1；標準答案：將x=0代入原方程可得f(0)=0，將f(x)變形整理為f(x)=x+2∫0x(1一et－x)f(t)dt=x+2∫0xf(t)dt一2e－x∫0xetf(t)dt，則f’(x)=1+2e－x∫0xetf(t)dt，將x=0代入上式可得f’(0)=1。再在等式兩邊同時乘以ex可得exf’(x)=ex+2∫0xetf(t)dt，求導可得exf’(x)+exf’’(x)=ex+2exf(x)，即f(x)滿足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f’(0)=1。知識點解析：暫無解析19、求f(x)。標準答案：由上問可知，f(x)滿足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1。齊次方程對應的特征方程為λ2+λ一2=0，解得λ1=1，λ2=一2，故齊次方程的通解為C1ex+C2e－2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。又設(shè)原方程的特解為f*(x)=0，代入原方程解得a=，故f(x)=C1ex+C2e－2x－，由初始條件f(0)=0，f’(0)=1可解得，故f(x)=。知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)f(x，y)=x2+4y2+xy+2在區(qū)域D上的最大值與最小值，其中D=｛(x，y)｜－1｝。標準答案：區(qū)域D如圖2所示，函數(shù)f(x，y)=x2+4y2+xy+2在該區(qū)域上的最值問題分為兩部分討論，即邊界上的條件極值及D內(nèi)部的無條件極值。L1：y=一1，將該條件代入f(x，y)=x2+4y2+xy+2，可得知識點解析：暫無解析21、計算二重積分dxdy，其中D是由直線y=1，曲線y=x2(x≥0)以及y軸所圍成的區(qū)域。標準答案：積分區(qū)域D如圖3所示，適合先x后y，則該積分分為兩部分計算。知識點解析：暫無解析22、已知線性方程組有無窮多解，求a，b的值并求其通解。標準答案：由題設(shè)可知線性方程組的系數(shù)矩陣為A=，增廣矩陣為(A，b)=，對增廣矩陣做初等行變換方程有無窮多解，則r(A)=r(A，b)≤3，所以a=2，b=一3。下面求線性方程組的通解，將增廣矩陣化為行最簡形。從而原方程組可化為齊次線性方程組所對應的基礎(chǔ)解系為ξ=(一14，4，9，1)T，特解為η*=(一4，0，3，0)T，從而通解為x=η*+kξ，k為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析設(shè)二次型xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，實對稱矩陣A滿足AB=O，其中B=。23、用正交變換將二次型化為標準形，并寫出所作的正交變換；標準答案：二次型對應的實對稱矩陣為A=，因為AB=O，所以得A的特征值為0，6，一6。當λ=0時，求解線性方程組(OE—A)x=0，解得α1=(1，0，1)T；當λ=6時，求解線性方程組(6E—A)x=0，解得α2=(一1，一2，1)T；當λ=一6時，求解線性方程組(一6E—A)x=0，解得α3=(一1，1，1)T。下將α1，α2，α3單位化則二次型在正交變換X=Qy的標準形為f=6y22一6y32，其中Q=。知識點解析：暫無解析24、判斷矩陣A與B是否合同，并說明理由。標準答案：矩陣A與B不合同。因為r(A)=2，r(B)=1，由合同的必要條件可知矩陣A與B不合同。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導，g(x)連續(xù)，且f’(x)=lncosx+∫0xg(x－t)dt，=－2，則()．A、f(0)為f(x)的極大值B、f(0)為f(x)的極小值C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：顯然f’(0)=0，由=－2得g(0)=0，g’(0)=－2．由∫0xg(x－t)dt∫0xg(u)du得f’(x)=lncosx+∫0xg(u)du．f"(x)=+g(x)，f"(0)=0．由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，＜0．當x∈(0，δ)時，f"(x)＜0；當x∈(－δ，0)時，f"(x)＞0，故(0，f(0))為y=f(x)的拐點，選(C)．2、當x＞0時，f(lnx)=，則∫－22xf’(x)dx為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由f(lnx)=選(C)．3、設(shè)z=z(x，y)由f(az－by，bx－cz，cy－ax)=0確定，其中函數(shù)f連續(xù)可偏導且af’1－cf’2≠0，則=()．A、aB、bC、cD、a+b+c標準答案：B知識點解析：f(az－by，bx～cz，cy－ax)=0兩邊對x求偏導得4、設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如右圖所示，則f(x)有()．A、一個極小值點和兩個極大值點B、兩個極小值點和一個極大值點C、兩個極小值點和兩個極大值點D、三個極小值點和一個極大值點標準答案：C知識點解析：設(shè)導函數(shù)的圖形與x軸的交點從左至右依次為A，B，C，在點A左側(cè)f’(x)＞0，右側(cè)f’(x)＜0．所以點A為f(x)的極大值點，同理可知點B與C都是f(x)的極小值點．關(guān)鍵是點O處，在它左側(cè)f’(x)＞0，右側(cè)f’(x)＜0，而f(x)在點O連續(xù)，所以點O也是f(x)的極大值點(不論在x=0處f(x)是否可導，見極值第一充分條件)，選(C)．5、設(shè)D為y=x，x=0，y=1所圍成區(qū)域，則arctanydxdy=()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：6、設(shè)函數(shù)u=f(xz，yz，x)的所有二階偏導數(shù)都連續(xù)，則=()．A、0B、xzf"11+yzf"22+z2f"12C、z2f"12+zf"32D、xzf"11+yzf"22標準答案：C知識點解析：7、設(shè)矩陣B的列向量線性無關(guān)，且BA=C，則()．A、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，則矩陣A的列向量線性相關(guān)B、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，則矩陣A的行向量線性相關(guān)C、若矩陣A的列向量線性無關(guān)，則矩陣C的列向量線性相關(guān)D、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，則矩陣A的列向量線性無關(guān)標準答案：D知識點解析：設(shè)B為m×n矩陣，A為n×s矩陣，則C為m×s矩陣，且r(B)=n．因為BA=C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)=s，則r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)=s，A的列向量組線性無關(guān)，(A)不對；若r(C)=s，則r(A)=s，所以A的行向量組的秩為s，故n≥s．若n＞s，則A的行向量組線性相關(guān)，若n=s，則A的行向量組線性無關(guān)，(B)不對；若r(A)=s，因為r(C)≤s，所以不能斷定C的列向量組線性相關(guān)還是無關(guān)，(C)不對；若r(C)=s，則r(A)=s，選(D)．8、設(shè)n階方陣A的n個特征值全為0，則()．A、A=OB、A只有一個線性尢關(guān)的特征向量C、A不能與對角陣相似D、當A與對角陣相似時，A=O標準答案：D知識點解析：若A的全部特征值皆為零且與對角矩陣相似，則存在可逆矩陣P，使得于是A=O，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)，則a=_______，b=________．標準答案：a=1，b=－2知識點解析：10、曲線在t=0對應點處的法線方程為________．標準答案：知識點解析：當t=0時，x=3，y=1，11、設(shè)y=y(x)由=x+1－y確定，則=________．標準答案：知識點解析：12、∫01dx∫1－x1f(x，y)dy+∫12dxf(x，y)dy=________．標準答案：知識點解析：二重積分的積分區(qū)域為D={(x，y)｜1－y≤x≤1+y2，0≤y≤1}，13、微分方程y"－3y’+2y=2ex滿足=1的特解為________．標準答案：y=－3ex+3e2x－2xex知識點解析：特征方程為λ2－3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，y"－3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x．令原方程的特解為y0(x)=Axex，代入原方程為A=－2，原方程的通解為y=C1ex+C2e2x－2xex由=1得y(0)=0，y’(0)=1，代入通解得C1=－3，C3=3，特解為y=－3ex+3e2x－2xex．14、已知三階方陣A，B滿足關(guān)系式E+B=AB，A的三個特征值分別為3，－3，0，則｜B－1+2E｜=________．標準答案：-8知識點解析：因為A的特征值為3，－3，0，所以A－E的特征值為2，－4，－1，從而A－E可逆，由E+B=AB得(A－E)B=E，即B與A－E互為逆陣，則B的特征值為，－1，B－1的特征值為2，－4，－1，從而B－1+2E的特征值為4，－2，1，于是｜B－1+2E｜=－8．三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、證明：當x＜1且x≠0時，＜1．標準答案：當x＜0時，令f(x)=x+ln(1－x)－xln(1－x)，顯然f(0)=0，因為所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)減少，所以當x＜0時，f(x)＞f(0)=0，即x+ln(1－x)－xln(1－x)＞0，于是當0＜x＜1時，令f(x)=x+ln(1－x)－xln(1－x)，且f(0)=0，因為所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，于是f(x)＞f(0)=0，故知識點解析：暫無解析16、計算標準答案：令x=tant，則知識點解析：暫無解析17、設(shè)u=f(x2+y2，z)，其中f二階連續(xù)可偏導，且函數(shù)z=z(x，y)由xy+ez=xz確定，求標準答案：由xy+ez=xz得知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在R上可微且f(0)=0，又f’(lnx)=求∫f(x)dx．標準答案：令u=lnx，則f’(u)=于是知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)一階連續(xù)可微，且對x∈(0，+∞)滿足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．標準答案：令u=xt，則原方程變換為∫0xf(u)du=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，兩邊對x求導得f(x)=2f(x)+f(x)+xf’(x)+3x2，整理得f’(x)+=－3x．此微分方程的通解為f(x)=．由f(1)=0，得C=，所以f(x)=知識點解析：暫無解析20、一個容器的內(nèi)表面?zhèn)让嬗汕€x=(0≤x≤2，y＞0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，外表面由曲線x=在點(2，)的切線位于點(2，)與x軸交點之間的部分繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，此容器材質(zhì)的密度為μ，求此容器自身的質(zhì)量M及其內(nèi)表面的面積S．標準答案：=>切線方程為y=，與x軸的交點坐標為(1，0)．切線旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體體積為，曲線旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體的體積為此容器的質(zhì)量為容器內(nèi)表面積為知識點解析：暫無解析21、位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(0，2)，在該點處的切線水平，曲線上任一點(x，y)處的曲率與及1+y’2之積成反比，比例系數(shù)k=，求y=y(x)．標準答案：根據(jù)題意得知識點解析：暫無解析22、設(shè)A=，B為三階非零矩陣，為BX=0的解向量，且AX=α3有解．(Ⅰ)求常數(shù)a，b的值；(Ⅱ)求BX=0的通解．標準答案：(Ⅰ)由B為三階非零矩陣得r(B)≥1，從而BX=0的基礎(chǔ)解系最多有兩個線性無關(guān)的解向量，由AX=α3有解得r(A)=r(Aα3)，(Ⅱ)由α1，α2為BX=0的兩個線性無關(guān)解得3－r(B)≥2，從而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，α1，α2為BX=0的一個基礎(chǔ)解系，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)滿足f″(x)+x[fˊ(x)]2=sinx，且fˊ(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極小值．B、f(0)是f(x)的極大值．C、曲線y=f(x)在點(0，f(0))左側(cè)鄰域是凹的，在右側(cè)鄰域是凸的．D、曲線y=f(x))在點(0，f(0))左側(cè)鄰域是凸的，在右側(cè)鄰域是凹的．標準答案：D知識點解析：由f″(x)+x[fˊ(x)]2=sinx，有f″(0)=0，再求導．得f"’(x)+[fˊ(x)2+2xfˊ(x)f″(0)=cosx，f"’(0)=1．所以由極限的局部保號性知．存在x=0的去心鄰域且x>0時，f″(x)>0，故應選D．2、下列命題：①設(shè)均存在，則f(x)在x=x0處必連續(xù)；②設(shè)fˊ－(x0)與fˊ+(x0)均存在，則f(x)在x=x0處必連續(xù)；③設(shè)f(x0－)與f(x0+)均存在，則f(x)在x=x0處必連續(xù)；④設(shè)中至少有一個不存在，則f(x)在x=x0處必不可導．正確的個數(shù)是()A、1．B、2．C、3．D、4．標準答案：A知識點解析：f″(x0)存在，即f(x)在x=x0處左導數(shù)存在，推知f(x)在x=x0處左連續(xù)；fˊ(x0)存在，推知f(x)在x=x0處右連續(xù)．故f(x)在x=x0處連續(xù)，②正確．①與③都不正確．因為這兩種情形．f(x0)可能沒有定義．④也不正確．反例：但f″(0)卻存在．3、設(shè)區(qū)域，其中常數(shù)a>b>0．D1是D在第一象限的部分，f(x，y)在D上連續(xù)，等式恒成立的充分條件是()A、f(－x，－y)=f(x，y)．B、f(－x，－y)=－f(x，y)．C、f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)．D、f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)．標準答案：D知識點解析：當C成立時，f(x，y)關(guān)于x和y都是奇函數(shù)．積分應為零，而題中未說類似地，可知，也不選A，B．當D成立時，f(x，y)關(guān)于x和y分別都是偶函數(shù)，將D在第一、二象限中的部分分別記為D1，D2，于是4、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)且嚴格單調(diào)增加，f(0)=0，常數(shù)n為正奇數(shù)，并設(shè)F(x)=∫0xtnf(t)dt．則下列選項中正確的是()A、F(x)在(－∞，0)內(nèi)嚴格單調(diào)增加，在(0，+∞)內(nèi)也嚴格單調(diào)增加．B、F(x)在(－∞，0)內(nèi)嚴格單調(diào)增加，在(0，+∞)內(nèi)嚴格單調(diào)減少．C、F(x)在(－∞，0)內(nèi)嚴格單調(diào)減少，在(0，+∞)內(nèi)嚴格單調(diào)增加．D、F(x)在(－∞，0)內(nèi)嚴格單調(diào)減少，在(0，+∞)內(nèi)也嚴格單調(diào)減少．標準答案：D知識點解析：設(shè)x>0，則0＜ξ＜x，0＜ξn＜xn，0＜f(ξ)＜f(x)，故0＜ξnf(ξ)＜xnf(x)，從而Fˊ(x)>0；設(shè)x<0，則0＜ξ＜x，xn＜ξn＜0，f(x)＜f(ξ)＜0，故xnf(x)＞ξnf(ξ)，從而Fˊ(x)<0，故選C．5、設(shè)f(x)在區(qū)間(－∞，+∞)上連續(xù)，且滿足f(x)=∫0xf(x－t)sintdt+x．則在(－∞，+∞)上，當x≠0時，f(x)()A、恒為正．B、恒為負．C、與x同號．D、與x異號．標準答案：C知識點解析：令x－t=u，作積分變量代換，得f(x)=∫x0sin(x－u)d(－u)+x=∫0xf(u)sin(x－u)d(－u)+x=sinx∫0xf(u)cosudu－cosx∫0xf(u)sinudu+x，fˊ(x)=cosx∫0xf(u)cosudu+sinx·cosx·f(x)+sinx∫0xf(u)sinudu－cosx·sinx·f(x)+1=cosx∫0xf(u)cosudu+sinx∫0xf(u)sinudu+1，f″(x)=－sinx∫0xf(u)cosudu+cos2·f(x)+cosx∫0xf(u)sinudu+sin2·f(x)=f(x)－f(x)+x，所以．又因f(0)=0，fˊ(0)=1，所以C1=1，所以C2=0．從而6、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，下述命題：①若對任意a，∫－aaf(x)dx=0，則f(x)必是奇函數(shù)；②若對任意a，∫－aaf(x)dx=2∫0af(x)dx，則f(x)必是偶函數(shù)；③若f(x)為周期為T的奇函數(shù)，則F(x)=∫0xf(t)dt也具有周期T．正確的個數(shù)是()A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：D知識點解析：①是正確的．記F(a)=∫－aaf(x)dx，有Fˊ(a)=f(a)+f(－a)．由于F(a)≡0，所以Fˊ(a)≡0，即f(a)=－f(－a)，f(x)為奇函數(shù)．②是正確的．記F(a)=∫－aaf(x)dx－2∫0af(x)dx，F(xiàn)ˊ(a)=f(a)+f(－a)－2f(a)≡0，所以f(－a)=f(a)，f(x)為偶函數(shù)．③所以，F(xiàn)(x)具有周期T，故應選D．7、設(shè)A，B均是三階非零矩陣，滿足AB=O，其中，則()A、當a=－1時，必有r(A)=1．B、當a≠－1時，必有r(A)=2．C、當a=2時，必有r(A)=1．D、當a≠2時，必有r(A)=2．標準答案：C知識點解析：A是非零矩陣，r(A)>0，AB=0，r(A)+r(B)≤3，故r(B)≤2．當a≠－1時，必有a=2，r(B)=2=>r(A)=1，B不成立，C正確．當a≠2時，必有a=－1，r(B)=1=>r(A)=1或2，A，D不成立．8、設(shè)ξ1，ξ2，ξ3，ξ1+aξ2－2ξ3均是非齊次線性方程組Ax=b的解，則對應齊次線性方程組Ax=0有解()A、η1=2ξ1+aξ2+ξ3．B、η2=－2ξ1+3ξ2－2aξ3．C、η3=aξ1+2ξ2－ξ3．D、η4=3ξ1－2aξ2+ξ3．標準答案：D知識點解析：由題設(shè)條件Aξi=b，i=1，2，3及A(ξ1+aξ2－2ξ3)=b+ab－2b=b，得(1+a－2)b=b，b≠0，即1+a－2=1，故a=2．當a=2時，看是否滿足Aηi=0，i=1，2，3，4．Aη1=A(2ξ1+2ξ2+ξ3)=5b≠0，Aη2=A(－2ξ1+3ξ2－4ξ3)=－3b≠0，Aη3=A(2ξ1+2ξ2－ξ3)=3b≠0，Aη4=A(3ξ1－4ξ2+ξ3)=0．故η4是對應齊次方程組Ax=0的解，故應選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、函數(shù)的間斷點的個數(shù)為______．標準答案：2知識點解析：應先寫出f(x)的表達式．故知f(x)有且僅有兩個間斷點．10、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，+∞)上存在二階導數(shù)，且f(x)=b，f″(x)=0，其中a，b均為常數(shù)，則fˊ(x)=______．標準答案：0知識點解析：取常數(shù)h>0，在區(qū)間[x，x+h]上用泰勒公式：f(x+h)=f(x)+fˊ(x)(x+h－x)+f″(ξ)(x+h－x)2，af″(ξ)h2．當x→+∞時有ξ→+∞，并且由已知11、______．標準答案：－ln2知識點解析：12、設(shè)常數(shù)a>0，雙紐線(x2+y2)2=a2(x2－y2)圍成的平面區(qū)域記為D，則二重積分(x2+y2)dσ=______．標準答案：知識點解析：由于被積函數(shù)及積分區(qū)域D關(guān)于兩坐標軸都對稱，所以13、設(shè)，其中f，g均可微，則______．標準答案：2xyfˊ1知識點解析：因為14、設(shè)A是三階矩陣，有特征值λ1≠λ2≠λ3，則B=(λ1E－A)(λ2E－A)(λE－A)=______．標準答案：O知識點解析：因A有三個不同的特征值，故A有三個線性無關(guān)的特征向量，設(shè)為ξ1，ξ2，ξ3，則有可逆矩陣P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得，代入B，得三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)15、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，+∞)上可導，f(0)=0，g(x)是f(x)的反函數(shù)，且∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1．求f(x)，并要求證明：得出來的f(x)在區(qū)間[0，+∞)上的確存在反函數(shù)．標準答案：將∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex－ex+1兩邊對x求導，得g[f(x)]fˊ(x)+f(x)=xex．由于g[f(x)]=x，上式成為xfˊ(x)+f(x)=xex．當x>0時，上式可以寫為由一階線性微分方程的通解公式，得通解由f(x)在x=0處可導且f(0)=0，得當且僅當C=1時上式成立，所以下面證明上面得到的f(x)在區(qū)間[0，+∞)上的確存在反函數(shù)．由所得到的表達式f(x)在區(qū)間[0，+∞)上連續(xù)，所以只要證明f(x)在(0，+∞)上單調(diào)即可．由取其分子，記為φ(x)=x2ex－xex+ex－1，有φ(0)=0，φˊ(x)=(x2+x)ex＞0，當x∈(0，+∞)時，φ(x)>φ(0)=0，fˊ(x)>0．所以，f(x)在區(qū)間[0，+∞)上存在反函數(shù)．證畢．知識點解析：暫無解析16、設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤x+y)，計算二重積分max{x，y}dσ．標準答案：作直線y=x，將D分成兩部分．D1={(x，y)|y≥x，(x，y)∈D}，D2{(x，y)|y≤x，(x，y)∈D}．僅在y=x((x，y)∈D)處為D1與D2的公共區(qū)域，不影響二重積分的值．知識點解析：暫無解析17、設(shè)a為常數(shù)，討論兩曲線y=ex與的公共點的個數(shù)及相應的a的取值范圍．標準答案：若a=0，則易知y=ex與y=0無公共點，以下設(shè)a≠0．討論y=ex與交點的個數(shù)，等同于討論方程的根的個數(shù)，亦即等同于討論函數(shù)f(x)=xex－a的零點個數(shù)．得唯一駐點x0=－1．當x<－1時，fˊ(x)<0；當x>－1時，fˊ(x)>0．所以min{f(x)}=f(－1)=－e－1－a．又①設(shè)－e－1－a>0，即設(shè)a＜－e－1，則min{f(x)}>0，f(x)無零點；②設(shè)－e－1－a=0，即設(shè)a=－e－1，則f(x)有唯一零點x0=－1；③設(shè)－e－1－a<0，即設(shè)a>－e－1．又分兩種情形：(i)設(shè)－e－1＜a＜0．則有f(－∞)=－a>0．f(－1)=－e－1－a<0．而在區(qū)間(－∞，－1)內(nèi)f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(－1，+∞)內(nèi)f(x)單調(diào)遞增．故f(x)有且僅有兩個零；(ii)設(shè)a>0．易知f(x)=xex在區(qū)間(－∞，0]內(nèi)無零點，而在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)，f(0)=－a<0，f(+∞)=+∞，fˊ(x)=(x+1)ex>0，所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)剛好有1個零點．討論完畢．綜上，結(jié)論是：當a<－e－1或a=0時，無交點；當a=－e－1時，有唯一交點(切點)；當－e－1＜a＜0時．有兩個交點；當a>0時，在區(qū)間(－∞，0]內(nèi)無交點．而在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)，即第一象限內(nèi)有唯一交點．知識點解析：暫無解析設(shè)微分方程xyˊ+2y=2(ex－1)．18、求上述微分方程的通解，并求使y(x)存在的那個解(將該解記為y0(x)，以及極限值y0(x)；標準答案：當x≠0時．原方程化為由一階線性微分方程的通解公式，得通解其中C為任意常數(shù)．由上述表達式可知，存在的必要條件是當C=2時，對應的y(x)記為知識點解析：暫無解析19、補充定義之后使y0(x)在x=0處連續(xù)，求yˊ0(x)，并請證明：無論x=0還是x≠0，yˊ0(x)均連續(xù)．標準答案：令而當x≠0時．yˊ0(x)在x=0處連續(xù)，又yˊ(x)在x≠0處也連續(xù)(初等函數(shù))．故無論x=0還是x≠0，均連續(xù)．知識點解析：暫無解析20、設(shè)x與y均大于0．且x≠y，證明：．標準答案：不妨認為y>x>0．因若x>y>0，則變換所給式子左邊的x與y，由行列式性質(zhì)知，左式的值不變．由柯西中值定理，存在一點ξ∈(x，y)，使得上式．記f(u)=eu－ueu，有f(0)=1，當u>0時，fˊ(u)=－ueu＜0，所以f(u)<1，從而知eξ－ξeξ＜1，于是證得知識點解析：暫無解析21、求．要求寫出詳細的推導過程．標準答案：將題給積分拆成兩項并將第1項交換積分次序：下面來計算由于當0＜x≤1時，ex2＞1，則所以于是可以用洛必達法則計算下面極限：知識點解析：暫無解析設(shè)22、證明f(x)在x=0處連續(xù)；標準答案：由題設(shè)當x∈(－1，+∞)，但x≠0時所以所以f(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析23、求區(qū)間(－1，+∞)上的fˊ(x)，并由此討論區(qū)間(－1，+∞)上f(x)的單調(diào)性．標準答案：下面求區(qū)間(－1，+∞)上x≠0處的fˊ(x)：為討論fˊ(x)的符號，取其分子記為g(x)，即令g(x)=(1+x)ln2(1+x)－x2，有g(shù)(0)=0．gˊ(x)=2ln(1+x)+ln2(1+x)－2x，有g(shù)ˊ(0)=0．當－1＜x＜+∞，但x≠0時，由泰勒公式有當－1＜x＜+∞，但x≠0時，ξ介于0與x之間．所以當－1＜x＜+∞但x≠0時，fˊ(x)＜0．又由所以fˊ(x)＜0(－1＜x＜+∞)，由定理：設(shè)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)且可導，導數(shù)fˊ(x)＜0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)為嚴格單調(diào)減少．故f(x)在區(qū)間(－1，+∞)上單調(diào)遞減．知識點解析：暫無解析24、(1)設(shè)A是n階方陣，滿足A2=A，證明A相似于對角陣；(2)設(shè)，求可逆陣P使得P－1AP=Λ，其中Λ是對角陣．標準答案：(1)由題設(shè)A2=A，故A2－A=A(A－E)=(A－E)A=O，故r(A)+r(A－E)≤n．又r(A)+r(A－E)=r(A)+r(E－A)≥r(A+E－A)=r(E)=n，故r(A)+r(A－E)=n．設(shè)r(A)=r，r(A－E)=n－r．因(A－E)A=O，r(A)=r，A中r個線性無關(guān)列向量是A的對應于特征值λ=1的特征向量，設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξr．又A(A－E)=O，r(A－E)=n－r，A－E中n－r個線性無關(guān)列向量是A的對應于特征值λ=0的特征向量，記為η1，η2，η3，…，ηn－r，不同特征值對應的特征向量線性無關(guān)．故取P=(ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηn－r)，P可逆，且(2)滿足上一題的條件，由上知r(A)=1，A的線性無關(guān)列向量是A的對應于特征值λ=1的特征向量．r(A－E)=2，的線性無關(guān)列向量是A的對應于特征值λ=0的特征向量．知識點解析：暫無解析25、(1)設(shè)n元實二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且滿足λ1≤λ2≤…≤λn．證明對任何n維列向量x，有λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx．(2)設(shè)f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx，當x12+x22+x32=1時，求f(x1，x2，x3)的最大值．標準答案：(1)f(x1，x2，…，x3)是實二次型，有正交變換x=Qy，其中Q是正交矩陣，使得因λ1≤λ2…≤λn，故得λ1(y12+y22+…+yn2)≤λ1y12+λ2y22+…+λnyn2≤λn(y12+y22+…+yn2)．因x=Qy，其中Q是正交陣，QTQ=E，故xTx=(Qy)TQy=yTQTQy=yTy，故有λ1xTx≤xTAx≤λnxTx．(2)A有特征值λ1=0<λ2=4<λ3=9．由上一題知，當x12+x22+x32=xTx=1時，對任何x，有f(x1，x2，x3)=xTx≤λ3xTx=9．即此時f(x1，x2，x3)的最大值為9．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則f(x)在x=0處()．A、不可導B、f’(0)=ln23+1C、f’(0)=(ln3+1)D、f’(0)=(ln23+1)標準答案：D知識點解析：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以a=1+ln3，于是f(x)=所以f(x)在x=0處可導，且f’(0)=(ln23+1)，選(D)．2、當x→0時，無窮小的階數(shù)最高的是()．A、B、tanx－xC、(1+tanx)ln(1+2x)－1D、標準答案：A知識點解析：由(1+tanx)ln(1+2x)－1=eln(1+2x)ln(1+tanx)－1～ln(1+2x)ln(1+tanx)～2x2得(1+tanx)ln(1+2x)－1為2階無窮?。?、對函數(shù)f(x)=(4－t)ln(1+t)dt()．A、僅有極大值B、僅有極小值C、既有極大值又有極小值D、沒有極值標準答案：C知識點解析：令f’(x)=2x(4－x2)ln(1+x2)=0，得x1=－2，x2=0，x3=2．當x＜－2時，f’(x)＞0；當x∈(－2，0)時，f’(x)＜0；當x∈(0，2)時，f’(x)＞0；當x＞2時，f’(x)＜0，則x1=－2，x2=2為f(x)的極大值點，x2=0為f(x)的極小值點，選(C)．4、微分方程y"－4y’=x2+cos2x的特解形式為()．A、(ax2+bx+c)+(Acos2x+Bsin2x)B、(ax2+bx+c)+x(Acosx+Bsin2x)C、(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)D、(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)標準答案：C知識點解析：特征方程為λ2－4λ=0，特征值為λ1=0，λ2=4，方程y"－4y’=x2的特解為y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；方程y"－4y’=cos2x的特解為Acos2x+Bsin2x．選(C)．5、設(shè)平面圖形A由x2+y2≤2x及y≥x所確定，則A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：取[x，x+dx][0，1]，則dV=2π(2－x)(－x)dx，所求的體積為若取[y，y+dy][0，1]，則所求的體積為選(B)．6、設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2+，則關(guān)于f(x)的極值問題有()．A、存在極小值B、存在極大值C、存在極小值D、存在極小值標準答案：A知識點解析：等式兩邊求導，得f’(x)+2f(x)=2x，其通解為f(x)=Ce－2x+(x－)．因為f(0)=，所以C=1，從而f(x)=e－2x+(x－)．令f’(x)=－2e－2x+1=0，得唯一駐點為x=因為f"(x)=4e－2x＞0，故x=是極小值點，極小值為7、已知四維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且與向量α1，α2，α3均正交，則向量組β1，β2，β3，β4的秩為()．A、1B、2C、3D、4標準答案：A知識點解析：設(shè)αi=(ai1，ai2，ai3，ai4)T(i=1，2，3)，由已知條件有βiTαj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)，由于α1，α2，α3線性無關(guān)，所以方程組系數(shù)矩陣的秩為3，所以其基礎(chǔ)解系含一個解向量，從而向量組β1，β2，β3，β4的秩為1，選(A)．8、設(shè)A，B及A*都是n(n≥3)階非零矩陣，且AB=O，則r(B)=()．A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：由B為非零矩陣得r(A)＜n，從而r(A*)=0或r(A*)=1，因為A*為非零矩陣，所以r(A*)=1，于是r(A)=n－1，又由AB=O得r(A)+r(B)≤n，從而r(B)≤1，再由B為非零矩陣得r(B)≥1，故r(B)=1，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=________．標準答案：知識點解析：10、設(shè)y=f(x)與y=sin2x在(0，0)處切線相同，其中f(x)可導，則標準答案：知識點解析：由y=f(x)與y=sin2x在(0，0)處切線相同得f(0)=0，f’(0)=2．11、=________．標準答案：10π知識點解析：12、由方程x+2y+z－=0所確定的函數(shù)z=z(x，y)在點(1，1，2)處的全微分dz=________．標準答案：知識點解析：x+2y+z－=0兩邊對x求偏導得x+2y+z－=0兩邊對y求偏導得13、設(shè)函數(shù)y=y(x)在(0，+∞)上滿足△y=(+xsinx)△x+o(△x)，且，則y(x)=________．標準答案：x(1－cosx)知識點解析：由可微的定義，函數(shù)y=y(x)在(0，+∞)內(nèi)可微，且y’=+xsinx或y’－=xsinx，由一階非齊次線性微分方程的通解公式得14、設(shè)矩陣A=不可對角化，則a=________．標準答案：0或4知識點解析：得λ1=0，λ2=a，λ3=4．因為A不可對角化，所以A的特征值一定有重根，從而a=0或a=4．當a=0時，由r(0E－A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一個線性無關(guān)的特征向量，則A不可對角化，a=0符合題意；由r(4E－A)=2得λ2=λ3=4只有一個線性無關(guān)的特征向量，故A不可對角化，a=4符合題意．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1)=0，f’(1)=2，求極限標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)方程，求常數(shù)a的值．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求曲線y=－x2+1上一點P(x0，y0)(其中x0≠0)，使過P點作拋物線的切線，此切線與拋物線及兩坐標軸所圍成圖形的面積最?。畼藴蚀鸢福呵芯€方程為y=－2x0x+x02+1，令y=0，得切線與x軸的交點為令x=0，得切線與y軸的交點為B(0，1+x02)．1)當x0＞0時，因為＞0，所以所圍成圖形面積為2)當x0＜0時，因為＜0，所以所圍成的面積為知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導，f(0)=0，在(0，a)內(nèi)二階可導且f"(x)＞0．證明：標準答案：令φ(x)=∫0xtf(t)dt－∫0xf(t)dt，φ(0)=0．因為f"(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，故f’(ξ)＜f’(x)，于是φ"(x)＞0(0＜x＜a)．知識點解析：暫無解析19、計算二重積分，其中積分區(qū)域D={(x，y)｜0≤x2≤y≤x≤1}．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導，求標準答案：知識點解析：暫無解析21、求微分方程y"+y’－2y=xex+sin2x的通解．標準答案：特征方程為λ2+λ－2=0，特征值為λ1=－2，λ2=1，y"+y’－2y=0的通解為y=C1e－2x+C2ex．設(shè)y"+y’－2y=xex(*)y"+y’－2y=sin2x(**)令(*)的特解為y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得由y"+y’－2y=sin2x得y"+y’－2y=(1－cos2x)，知識點解析：暫無解析22、設(shè)，討論當a，b取何值時，方程組AX=b易無解、有唯一解、有無數(shù)個解；有無數(shù)個解時求通解．標準答案：情形一：a≠0當a≠0且a－b+1≠0時，方程組有唯一解；當a≠0且a－b+1=0時，方程組有無數(shù)個解，情形二：a=0當b≠1時，方程組無解；當b=1時，方程組有無數(shù)個解，知識點解析：暫無解析23、設(shè)A為三階實對稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得QTAQ=，又α=且A*α=α．(Ⅰ)求正交矩陣Q；(Ⅱ)求矩陣A．標準答案：(Ⅰ)顯然A的特征值為λ1=λ2=－1，λ3=2，A*的特征值為μ1=μ2=－2，μ3=1．因為α為A*的屬于特征值μ3=1的特征向量，所以α是A的屬于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A的屬于特征值λ1=λ2=－1的特征向量為ξ=，因為實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量正交，所以－x1－x2+x3=0，則A的屬于特征值λ1=λ2=－1的線性無關(guān)的特征向量為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列無窮小中階數(shù)最高的是()．A、ex－etanxB、C、ln(1+x)－sinxD、標準答案：B知識點解析：ex－etanx=etanx(ex－tanx－1)～x－tanx，2、下列命題正確的是()．A、若f(x)在x0處可導，則一定存在δ＞0，在｜x－x0｜＜δ內(nèi)f(x)可導B、若f(x)在x0處連續(xù)，則一定存在δ＞0，在｜x－x0｜＜δ內(nèi)f(x)連續(xù)C、若存在，則f(x)在x0處可導D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導，f(x)在x0處連續(xù)，且存在，則f(x)在x0處可導，且f’(x0)=標準答案：D知識點解析：對任意的a≠0，因為不存在，所以f(x)在x=a處不連續(xù)，當然