5.3對稱性原理公開課一等獎課件省賽課獲獎課件

§5.4對稱性·對稱性與守恒定律一、對稱性有關對稱性的普遍的嚴格的定義是德國數(shù)學家魏爾（H.Weyl）1951年給出的：對一種事物進行一次變動或操作，如果通過操作后，該事物完全復原，則稱該事物對所經(jīng)歷的操作是對稱的.而該操作就叫對稱操作.由于操作方式不同而有若干種不同的對稱性.(1)鏡象對稱或左右對稱O常見的對稱性(2)轉(zhuǎn)動對稱(3)平移對稱d二、基本操作與對稱性的分類1.空間操作與空間對稱性

①平移：對平移操作狀態(tài)不變的系統(tǒng)含有平移對稱性。(a)ddxy(b)(c)·······(d)平移對稱平移d對稱無平移對稱宏觀上平移對稱②轉(zhuǎn)動：·軸(a)·軸(b)·軸(c)·對轉(zhuǎn)動操作狀態(tài)不變的系統(tǒng)含有轉(zhuǎn)動對稱性。對繞空間一固定點作任意旋轉(zhuǎn)都不變的系統(tǒng)含有球?qū)ΨQ性。軸對稱一次軸（對稱）四次軸（對稱）繞某個定軸旋轉(zhuǎn)一種角度的操作。③鏡象反射：反射面左右(b)··z′·反射面(c)xx′yy′z上下、左右均對稱只左右對稱坐標系反射右手坐標左手坐標根據(jù)鏡象反射的性質(zhì)可將物理學中的矢量極矢量和軸矢量反射面反射面左右(a)下上··相稱于“照鏡子”的變換。分成兩類：平行反射面的分量不變向。如：，…反射面′vv′v′vvvv′vv′v極矢量：鏡象反射中垂直反射面的分量反向，分量不變向，平行反射面的分量反向。如：…反射面′L′LLL·′L·L·L可以證明：極矢量×極矢量軸矢量（極）（極）（軸）′L·軸矢量（贗矢量）：鏡象反射中垂直反射面的▲文學創(chuàng)作中也有鏡象對稱

回文詞霧窗寒對遙天暮暮天遙對寒窗霧鏡象反射面花落正啼鴉鴉啼正落花袖羅垂影瘦風剪一絲紅瘦影垂羅袖紅絲一剪風納蘭性德

回文詩蘇東坡《題金山寺》潮隨暗浪雪山傾遠浦漁舟釣月明橋?qū)λ麻T松徑小巷當泉眼石波清迢迢遠樹江天曉藹藹紅霞晚日晴遙望四山云接水碧峰千點數(shù)鷗輕反射面

回文對聯(lián)上海自來水來自海上南山長生松生長山南上海自來水來自海上南山長生松生長山南明月釣舟

清波石眼

晴日晚霞

輕鷗數(shù)點

④空間反演：直角坐標系中的空間反演空間反演不變的系統(tǒng)含有對O的點對稱性。反映空間反演對稱性的物理量叫宇稱(parity)?！zxyxyz′′′點對稱性空間反演

+鏡面反射繞鏡面法線旋轉(zhuǎn)180°=的空間反演。的操作稱為對原點O例如，立方體對其中心含有點對稱性。2.時間操作與時間對稱性①時間平移：▲靜止物體對時間平移含有對稱性；▲勻速運動物體的速度對時間平移含有對稱性；▲周期系統(tǒng)對時間平移整數(shù)周期含有對稱性。②時間反演：ggv上拋-v下落▲▲▲力對時間反演變換有兩種狀況：保守力只與物體相對位置有關，故對時間反演不變。耗散力與速度方向有關，故對時間反演變化?！ｎD第二定律對保守系統(tǒng)時間反演不變，對非保守系統(tǒng)則不含有時間反演不變性?！y(tǒng)計規(guī)律（如擴散）沒有對時間反演的不變性。研究系統(tǒng)時間反演的性質(zhì)要分辨宏觀和微觀。3.聯(lián)合操作與對稱性有的系統(tǒng)對某種操作可能不含有對稱性，但對幾個操作的聯(lián)合卻可能含有對稱性。例如：對繞中心轉(zhuǎn)180°和黑白置換的聯(lián)合操作含有對稱性。對鏡象反射加上黑白置換可能還要加上必要的平移操作才構(gòu)成對稱操作。對此聯(lián)合操作是不變的。相聯(lián)系。伽里略變換是一種時空聯(lián)合操作，同樣，洛侖茲變換也是一種時空聯(lián)合操作，但牛頓定律對此聯(lián)合操作就不是不變的了。物理學中除上述的時間、空間操作外，還涉及到某些其它的操作，例如：電荷共軛變換（粒子與反粒子間的變換），規(guī)范變換，牛頓定律全同粒子置換等等。它們也和系統(tǒng)的某些對稱性三、對稱性原理自然規(guī)律反映了事物之間的“因果關系”。穩(wěn)定的因果關系規(guī)定有可重復性和預見性。即：相似的因素必然產(chǎn)生相似的成果。稱性原理：（PierreCurie1894年首先提出）因素中的對稱性必然存在于成果中，成果中的不對稱性必然存在于因素中。對稱性原理是凌駕于物理規(guī)律之上的自然界的體懂得某些物理規(guī)律的狀況下給出所需的結(jié)論。一條基本原理。根據(jù)對稱性原理，往往可在不具··f

v0m力心

▲根據(jù)對稱性原理可論證，質(zhì)點在有心力場的作用下，必在同一平面內(nèi)運動。應用舉例：v10Co2··mmo1v20v2v1·▲論證質(zhì)心系中兩個質(zhì)量相等的球?qū)π呐鲎埠?，速度必在球心?lián)線上，且大小相等、方向相反。（動量守恒）▲如果拋體軌跡不在鉛直面內(nèi)(成果中出現(xiàn)了不對稱)，則一定存在對鉛直面不對稱的因素。這是對稱性原理反過來的應用。四、對稱性與守恒定律每個守恒定律都對應于一種對稱性(變換不變性)▲

空間平移對稱性與動量守恒定律：有空間平移對稱性的系統(tǒng)，其動量必然守恒。以兩粒子系統(tǒng)為例：設系統(tǒng)互相作用能U。平移對稱·ABfAfB·A′

dSA′B

dSBdSA=-這樣就由系統(tǒng)的平移對稱性，造成了不受即從空間平移不變性導出了動量守恒定律。▲空間的各向同性與角動量守恒定律：位無關，能夠證明：系統(tǒng)如果含有轉(zhuǎn)動對稱性，則必然角動量守恒。外力作用的系統(tǒng)的動量守恒。則系統(tǒng)含有轉(zhuǎn)動對稱性（各向同性）。一種系統(tǒng)中的物理現(xiàn)象如果和該系統(tǒng)所處的方空間各向同性將造成角動量守恒定律成立?！鴷r間均勻與能量守恒定律：系統(tǒng)中的物理現(xiàn)象如果和時間的平移無關，就闡明時間是均勻的。能夠證明：時間的均勻性將造成能量守恒定律的成立。一種系統(tǒng)如果對時間平移變換含有對稱性，則其能量必然守恒。隨著物理學的發(fā)展，人們認識的對稱性和守恒量也越來越多。除能量、動量和角動量外還宇稱等守恒量。有電荷、輕子數(shù)、重子數(shù)、并且還能指導我們?nèi)ヌ剿魑粗念I域。對稱性原理是超越物理各個領域的普遍法則，在未涉及某些具體定律之前，我們往往可能根據(jù)對稱性原理作出某些判斷，得出某些有用的信息。這些法則不僅不會與已知領域中的具體定律相悖，§5.4.2守恒律與對稱性在物理學中含有更深刻意義的是物理定律的對稱性.物理定律的對稱性是指通過一定的操作后，物理定律的形式保持不變，因此物理定律的對稱性又叫不變性.有關物理定律的對稱性有一條很重要的定律：對應于每一種對稱性都有一條守恒定律.如：對應于空間均勻性的是動量守恒定律；對應于空間的各向同性的是角動量守恒定律；對應于空間反演對稱的是宇稱守恒定律；對應于量子力學相移對稱的是電荷守恒定律等等.物理定律的時間平移對稱性決定了能量守恒.1.機械能對空間坐標系平移對稱性與動量守恒設體系由兩個互相作用的粒子構(gòu)成.且只限于在x軸上運動（如圖）,不受其它外力.當兩粒子間的距離x=x2-x1時，體系的勢能當體系發(fā)生一平移

x時，兩粒子的坐標為但兩者的距離仍為x=x2-x1.即動量守恒.空間的平移對稱必性意味著勢能Ep應與x無關.勢能對空間坐標系平移保持不變性規(guī)定即粒子受力又得即2.機械能對空間坐標系轉(zhuǎn)動對稱性與角動量守恒設體系由兩個互相作用的質(zhì)點構(gòu)成，其中一種質(zhì)點位于坐標原點且保持靜止，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點處在運動狀態(tài)且不再受其它力的作用.空間坐標無限小轉(zhuǎn)動運動質(zhì)點的位置矢量和速度矢量增量為機械能對坐標系旋轉(zhuǎn)的不變性有表明質(zhì)點受有心力作用，有心力對力心的力矩等于零，角動量守恒.3.機械能對時間平移對稱性與機械能守恒設體系由兩個互相作用的質(zhì)點構(gòu)成，其中一種質(zhì)點位于坐標原點且保持靜止，另一質(zhì)量為m速度為vx的質(zhì)點位于x處.系統(tǒng)總機械能機械能對時間平移含有對稱性，則而故即E=常量其實，某些量也有不守恒的時候，如在弱互相作用過程中宇稱不守恒.第七節(jié)曲率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑曲線的基點與正向設函數(shù)f(x)在區(qū)間(ab)內(nèi)含有持續(xù)導數(shù)在曲線yf(x)上取固定點M0(x0y0)作為度量弧長的基點并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向一、弧微分有向弧段的值MM0(弧)以下s的絕對值等于這弧段的長度當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s>0相反時s<0s<0對曲線上任一點M(x

y)

MM0(規(guī)定有向弧段的值s(簡稱s>0弧微分公式設x

x

Dx為(a

b)內(nèi)兩個鄰近的點

它們在曲線y

f(x)上的對應點為M

N

并設對應于x的增量Dx

弧s的增量為Ds.由于當Dx0時Ds~MN又Dx與Ds同號因此由此得弧微分公式:

或者曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量．)彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相似弧段短的彎曲大1、曲率的定義))二、曲率及其計算公式問題:如何刻畫曲線的彎曲程度？提示：能夠用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.二、曲率及其計算公式在光滑弧上自點M開始取弧段,其長為對應切線定義弧段上的平均曲率點M處的曲率注:直線上任意點處的曲率為0!轉(zhuǎn)角為例1.

求半徑為R的圓上任意點處的曲率.解:如圖所示,可見:R愈小,則K愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K的計算公式二階可導,設曲線弧則由注:參數(shù)方城下曲率的計算

例2

計算等邊雙曲線xy

1在點(1,1)處的曲率.曲線在點(1

1)處的曲率為因此y

|x

1

1

y

|x

1

2

解

例3

拋物線y

ax2

bx

c上哪一點處的曲率最大？

解

由y

ax2

bx

c

得y

2ax

b

y

2a

代入曲率公式

得顯然

當2ax

b

0時曲率最大

因此

拋物線在頂點處的曲率最大

此處K

|2a|

例4.求橢圓在t=0處的曲率.解:故曲率為在t=0處,即在點(a,0)的曲率為思考:

上面的橢圓在何處曲率最大?三、曲率圓與曲率半徑設M為曲線C上任一點,在點在曲線把以D為中心,R為半徑的圓叫做曲線在點M處的曲率圓(親密圓),R叫做曲率半徑,D叫做曲率中心.在點M處曲率圓與曲線有下列親密關系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相似.M處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點D使1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).注:2.曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似替代該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).例5設工件表面的截線為拋物線y0.4x2.現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面.問用