全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用1備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用練好題·考點自測1.〖2021陜西模擬〗若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(-∞,-2〗 B.(-∞,-1〗C.〖2,+∞) D.〖1,+∞)2.下列說法錯誤的是()A.函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的B.若x0是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值點,則一定有f'(x0)=0C.函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值D.函數(shù)f(x)=xsinx有無數(shù)個極值點3.〖2020安徽安慶一中5月模擬〗函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖3-2-1所示,給出下列命題:①(0,3)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;②(5,+∞)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;③函數(shù)y=f(x)在x=0處取得極大值;④函數(shù)y=f(x)在x=5處取得極小值.其中正確的命題序號是()A.①③ B.②④ C.①④ D.②③④圖3-2-14.〖2017全國卷Ⅱ,11,5分〗若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極小值為()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.15.〖2021河南省名校第一次聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處取極大值,則c=.

6.〖2021武漢市部分學(xué)校質(zhì)檢〗設(shè)函數(shù)f(x)=ln1+sinx2cosx在區(qū)間〖-π4,π4〗上的最小值和最大值分別為m和M,則拓展變式1.〖2020全國卷Ⅱ,21,12分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=2lnx+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;(2)設(shè)a>0,討論函數(shù)g(x)=f(x2.已知函數(shù)g(x)=13x3-a2x2+2x(1)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍為;

(2)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則a的取值范圍為;

(3)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)上不單調(diào),則a的取值范圍為.

3.〖2017北京,19,13分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間〖0,π2〗上的最大值和最小值4.〖2020廣西桂林三校聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.(1)函數(shù)g(x)=f(x)-ax2+1,在其定義域上g(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的最小值;(2)當(dāng)a>0時,f(x)在區(qū)間〖1,e〗上的最小值為-2,求實數(shù)a的取值范圍.5.〖2021湖南名校大聯(lián)考〗若f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0〗時,f'(x)+2x>0,則不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3的解集為()A.(32,+∞)C.(-∞,-32) D.(-3答案第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用1.D因為f(x)=kx-lnx,所以f'(x)=k-1x.因為f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>1時,f'(x)=k-1x≥0恒成立,即k≥1x在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.因為x>1,所以0<1x2.A對于A選項,函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值不一定是唯一的,如f(x)=sinx在定義域內(nèi)有無數(shù)個極大值點,故A錯誤;對于B選項,若x0是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值點,則一定有f'(x0)=0,故B正確;對于C選項,顯然正確;對于D選項,函數(shù)f(x)=xsinx的導(dǎo)數(shù)f'(x)=sinx+xcosx,令f'(x)=0,則x=-tanx,因為y=x與y=-tanx的圖象有無數(shù)個交點,故函數(shù)f(x)=xsinx有無數(shù)個極值點,故D正確.選A.3.B由函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x<-1或3<x<5時,f'(x)<0,y=f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)-1<x<3或x>5時,f'(x)>0,y=f(x)單調(diào)遞增,由此可知①錯誤,②正確;函數(shù)y=f(x)在x=-1,x=5處取得極小值,在x=3處取得極大值,由此可知③錯誤,④正確.故選B.4.A因為f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=〖x2+(a+2)x+a-1〗ex-1.因為x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,令f'(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=1時,f(x)取得極小值,且f(x)極小值=f(1)=-1,故選A.5.6解法一由題知,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),當(dāng)c≤0時,不合題意,故c>0.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,c3c(c3,cc(c,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值f(c3↘極小值f(c)↗故c3=2,c=6解法二由題知,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),則f'(2)=(2-c)(6-c)=0,解得c=2或c=6,經(jīng)檢驗,c=2不合題意,故c=6.6.-2ln2令g(x)=1+sinx2cosx,x∈〖-π4,π4〗,則g'(x)=cos2x+sinx(1+sinx)2cos2x=sinx+12cos2x,因為x∈〖-π4,π4〗,所以sinx∈〖-22,22〗,所以g'(x)>0,則g(x)在〖-π4,π4〗上單調(diào)遞增,所以f1.設(shè)h(x)=f(x)-2x-c,則h(x)=2lnx-2x+1-c,其定義域為(0,+∞),h'(x)=2x-2=(1)當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0;當(dāng)x>1時,h'(x)<0.所以h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時,h(x)取得最大值,最大值為h(1)=-1-c.故當(dāng)且僅當(dāng)-1-c≤0,即c≥-1時,f(x)≤2x+c.所以c的取值范圍為〖-1,+∞).(2)g(x)=f(x)-f(a)xg'(x)=2(取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2=2(1-x+lnx),h(1)=0,則由(1)知,當(dāng)x≠1時,h(x)<0,即1-x+lnx<0.故當(dāng)x∈(0,a)∪(a,+∞)時,1-ax+lnax<0,從而g'(所以g(x)在區(qū)間(0,a),(a,+∞)上單調(diào)遞減.2.因為g(x)=13x3-a2x2+2x+5,所以g'(x)=x2-(1)(-∞,-3〗解法一因為g(x)在(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g'(x)=x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立.所以g'(-2)≤0,g即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3〗.解法二由題意知x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立,所以a≤x+2x在(-2,-1)內(nèi)恒成立,記h(x)=x+2則x∈(-2,-1)時,-3<h(x)≤-22,所以a≤-3.即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3〗.(2)(-∞,-22)因為函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以g'(x)=x2-ax+2<0在(-2,-1)內(nèi)有解,所以a<(x+2x)max又x+2x≤-22,當(dāng)且僅當(dāng)x=2x即x=所以滿足要求的a的取值范圍是(-∞,-22).(3)(-3,-22)由(1)知g(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減時,a的范圍是(-∞,-3〗.若g(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞增,則a≥x+2x又在(-2,-1)上y=x+2x的值域為(-3,-22〗所以a的取值范圍是〖-22,+∞),所以函數(shù)g(x)在(-2,-1)上單調(diào)時,a的取值范圍是(-∞,-3〗∪〖-22,+∞),故g(x)在(-2,-1)上不單調(diào)時,實數(shù)a的取值范圍是(-3,-22).3.(1)因為f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1,則h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.當(dāng)x∈〖0,π2〗時,h'(x)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x所以h(x)在區(qū)間〖0,π2〗上單調(diào)遞減所以對任意x∈〖0,π2〗,有h(x)≤h(0)=0,即f'(x)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時“=”成立所以函數(shù)f(x)在區(qū)間〖0,π2〗上單調(diào)遞減因此f(x)在區(qū)間〖0,π2〗上的最大值為f(0)=1,最小值為f(π2)=4.(1)由題意得g(x)=lnx-(a+2)x+1≤0在(0,+∞)上恒成立,因為x>0,所以a+2≥lnx+1設(shè)h(x)=lnx+1x(x>0),則h'(x令h'(x)=0,得x=1.當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,h'(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減.因此h(x)max=h(1)=1,所以a+2≥1,即a≥-1.于是所求實數(shù)a的最小值為-1.(2)對f(x)求導(dǎo),得f'(x)=2ax-(a+2)+1x=(ax-1)(2x-1)x(x>0,a>0),令f'①當(dāng)0<1a≤1,即a≥1時,因為x∈〖1,e〗,所以f'(x)≥0,f(x所以f(x)min=f(1)=-2,符合題意;②當(dāng)1<1a<e,即1e<a<1時,因為x∈〖1,e〗,所以當(dāng)x∈〖1,1a)時,f'(x)<0,f當(dāng)x∈(1a,e〗時,f'(x)>0,f(x所以f(x)min=f(1a)<f③當(dāng)1a≥e,即0<a≤1e時,因為x∈〖1,e〗,所以f'(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(e)<f綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為〖1,+∞).5.D令g(x)=f(x)+x2,因為f(x)為定義在R上的偶函數(shù),所以g(x)也是定義在R上的偶函數(shù),g'(x)=f'(x)+2x,當(dāng)x∈(-∞,0〗時,g'(x)=f'(x)+2x>0,所以g(x)在(-∞,0〗上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,g(x)單調(diào)遞減.g(x+1)=f(x+1)+(x+1)2,g(x+2)=f(x+2)+(x+2)2,所以不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3,可化為f(x+1)+(x+1)2>f(x+2)+(x+2)2,(題眼)即g(x+1)>g(x+2),所以|x+1|<|x+2|,解得x>-32第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用練好題·考點自測1.〖2021陜西模擬〗若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(-∞,-2〗 B.(-∞,-1〗C.〖2,+∞) D.〖1,+∞)2.下列說法錯誤的是()A.函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的B.若x0是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值點,則一定有f'(x0)=0C.函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值D.函數(shù)f(x)=xsinx有無數(shù)個極值點3.〖2020安徽安慶一中5月模擬〗函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖3-2-1所示,給出下列命題:①(0,3)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;②(5,+∞)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;③函數(shù)y=f(x)在x=0處取得極大值;④函數(shù)y=f(x)在x=5處取得極小值.其中正確的命題序號是()A.①③ B.②④ C.①④ D.②③④圖3-2-14.〖2017全國卷Ⅱ,11,5分〗若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極小值為()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.15.〖2021河南省名校第一次聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處取極大值,則c=.

6.〖2021武漢市部分學(xué)校質(zhì)檢〗設(shè)函數(shù)f(x)=ln1+sinx2cosx在區(qū)間〖-π4,π4〗上的最小值和最大值分別為m和M,則拓展變式1.〖2020全國卷Ⅱ,21,12分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=2lnx+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;(2)設(shè)a>0,討論函數(shù)g(x)=f(x2.已知函數(shù)g(x)=13x3-a2x2+2x(1)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍為;

(2)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則a的取值范圍為;

(3)若函數(shù)g(x)在(-2,-1)上不單調(diào),則a的取值范圍為.

3.〖2017北京,19,13分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間〖0,π2〗上的最大值和最小值4.〖2020廣西桂林三校聯(lián)考〗已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.(1)函數(shù)g(x)=f(x)-ax2+1,在其定義域上g(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的最小值;(2)當(dāng)a>0時,f(x)在區(qū)間〖1,e〗上的最小值為-2,求實數(shù)a的取值范圍.5.〖2021湖南名校大聯(lián)考〗若f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0〗時,f'(x)+2x>0,則不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3的解集為()A.(32,+∞)C.(-∞,-32) D.(-3答案第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用1.D因為f(x)=kx-lnx,所以f'(x)=k-1x.因為f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>1時,f'(x)=k-1x≥0恒成立,即k≥1x在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.因為x>1,所以0<1x2.A對于A選項,函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值不一定是唯一的,如f(x)=sinx在定義域內(nèi)有無數(shù)個極大值點,故A錯誤;對于B選項,若x0是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值點,則一定有f'(x0)=0,故B正確;對于C選項,顯然正確;對于D選項,函數(shù)f(x)=xsinx的導(dǎo)數(shù)f'(x)=sinx+xcosx,令f'(x)=0,則x=-tanx,因為y=x與y=-tanx的圖象有無數(shù)個交點,故函數(shù)f(x)=xsinx有無數(shù)個極值點,故D正確.選A.3.B由函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x<-1或3<x<5時,f'(x)<0,y=f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)-1<x<3或x>5時,f'(x)>0,y=f(x)單調(diào)遞增,由此可知①錯誤,②正確;函數(shù)y=f(x)在x=-1,x=5處取得極小值,在x=3處取得極大值,由此可知③錯誤,④正確.故選B.4.A因為f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=〖x2+(a+2)x+a-1〗ex-1.因為x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,令f'(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=1時,f(x)取得極小值,且f(x)極小值=f(1)=-1,故選A.5.6解法一由題知,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),當(dāng)c≤0時,不合題意,故c>0.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,c3c(c3,cc(c,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值f(c3↘極小值f(c)↗故c3=2,c=6解法二由題知,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),則f'(2)=(2-c)(6-c)=0,解得c=2或c=6,經(jīng)檢驗,c=2不合題意,故c=6.6.-2ln2令g(x)=1+sinx2cosx,x∈〖-π4,π4〗,則g'(x)=cos2x+sinx(1+sinx)2cos2x=sinx+12cos2x,因為x∈〖-π4,π4〗,所以sinx∈〖-22,22〗,所以g'(x)>0,則g(x)在〖-π4,π4〗上單調(diào)遞增,所以f1.設(shè)h(x)=f(x)-2x-c,則h(x)=2lnx-2x+1-c,其定義域為(0,+∞),h'(x)=2x-2=(1)當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0;當(dāng)x>1時,h'(x)<0.所以h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時,h(x)取得最大值,最大值為h(1)=-1-c.故當(dāng)且僅當(dāng)-1-c≤0,即c≥-1時,f(x)≤2x+c.所以c的取值范圍為〖-1,+∞).(2)g(x)=f(x)-f(a)xg'(x)=2(取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2=2(1-x+lnx),h(1)=0,則由(1)知,當(dāng)x≠1時,h(x)<0,即1-x+lnx<0.故當(dāng)x∈(0,a)∪(a,+∞)時,1-ax+lnax<0,從而g'(所以g(x)在區(qū)間(0,a),(a,+∞)上單調(diào)遞減.2.因為g(x)=13x3-a2x2+2x+5,所以g'(x)=x2-(1)(-∞,-3〗解法一因為g(x)在(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g'(x)=x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立.所以g'(-2)≤0,g即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3〗.解法二由題意知x2-ax+2≤0在(-2,-1)內(nèi)恒成立,所以a≤x+2x在(-2,-1)內(nèi)恒成立,記h(x)=x+2則x∈(-2,-1)時,-3<h(x)≤-22,所以a≤-3.即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3〗.(2)(-∞,-22)因為函數(shù)g(x)在(-2,-1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以g'(x)=x2-ax+2<0在(-2,-1)內(nèi)有解,所以a<(x+2x)max又x+2x≤-22,當(dāng)且僅當(dāng)x=2x即x=所以滿足要求的a的取值范圍是(-∞,-22).(3)(-3,-22)由(1)知g(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減時,a的范圍是(-∞,-3〗.若g(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞增,則a≥x+2x又在(-2,-1)上y=x+2x的值域為(-3,-22〗所以a的取值范圍是〖-22,+∞),所以函數(shù)g(x)在(-2,-1)上單調(diào)時,a的取值范圍是(-∞,-3〗∪〖-22,+∞),故g(x)在(-2,-1)上不單調(diào)時,實數(shù)a的取值范圍是(-3,-22).3.(1)因為f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1,則h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.當(dāng)x∈〖0,π2〗時,h'(x)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x所以h(x)在區(qū)間〖