高中數(shù)學一輪復習課時作業(yè)梯級練五十二圓的方程課時作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復習精品資料(高中)PAGE1-課時作業(yè)梯級練五十二圓的方程一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知兩圓C1:(x-5)2+(y-3)2=9和C2:(x-2)2+(y+1)2=5,則兩圓圓心間的距離為 ()A.5 B.8 C.3 〖解析〗選A.因為圓心C1為(5,3),圓心C2為(2,-1),所以兩個圓心間的距離為d=QUOTE=5.2.若點(4a-1,3a+2)不在圓(x+1)2+(y-2)2=25的外部,則a的取值范圍是()A.|a|<QUOTE B.|a|<1C.|a|≤QUOTE D.|a|≤1〖解析〗選D.由已知,得(4a)2+(3a)2≤25.所以a2≤1,所以|a|≤1.3.已知直線l:x-y+2=0,圓C:(x-3)2+y2=4,若點P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點,則點P的坐標是 ()A.(3+QUOTE,QUOTE) B.(3-QUOTE,QUOTE)C.(3-QUOTE,-QUOTE) D.(3+QUOTE,-QUOTE)〖解析〗選B.圓C:(x-3)2+y2=4的圓心坐標為(3,0),半徑為2,過圓心與直線l垂直的直線方程為x+y-3=0與圓的方程聯(lián)立得QUOTE解得QUOTE所以它與圓的交點坐標為(3+QUOTE,-QUOTE)和(3-QUOTE,QUOTE),由題知,點P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點,所以點P的坐標為(3-QUOTE,QUOTE).4.已知半徑為1的圓經(jīng)過點QUOTE,則其圓心到原點的距離的最小值為()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設圓心CQUOTE,則QUOTE=1,化簡得QUOTE+QUOTE=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當且僅當C在線段OM上時,取得等號.5.當a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,QUOTE為半徑的圓的方程為 ()A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0〖解析〗選C.直線(a-1)x-y+a+1=0可化為(-x-y+1)+a(1+x)=0,由QUOTE得C(-1,2).所以圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-6x-8y+21=0,則x2+y2的最大值是.

〖解析〗由題意可得x2+y2-6x-8y+21=0表示圓心為CQUOTE,半徑r=2的圓,x2+y2表示圓上的點PQUOTE到原點O的距離的平方,作直線CO,交圓C于兩點A,B,(圖略),其中B為離O轉遠的點,則PO的最大值為QUOTE=QUOTE+r=5+2=7,所以x2+y2的最大值為49.〖答案〗:497.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2的距離的最大值是.

〖解析〗將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d=QUOTE=QUOTE,故圓上的點到直線x-y=2的距離的最大值為d+1=QUOTE+1.〖答案〗:1+QUOTE8.已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車駛入這個隧道(填“能”或“不能”).假設貨車的最大寬度為a〖解析〗以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,那么半圓的方程為x2+y2=16(y≥0).將x=2.7代入,得y=QUOTE=QUOTE<3,所以,在離中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度.因此,貨車不能駛入這個隧道.將x=a代入x2+y2=16(y≥0)得y=QUOTE.所以,貨車要正常駛入這個隧道,最大高度(即限高)為QUOTEm.〖答案〗:不能QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.設A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點,動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a>0),求P點的軌跡.〖解析〗設動點P的坐標為(x,y),由QUOTE=a(a>0)得QUOTE=a2,化簡得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+(1-a2)c2+(1-a2)y2=0.當a=1時,方程化為x=0;當a≠1時,方程化為QUOTE+y2=QUOTE.所以當a=1時,點P的軌跡為y軸;當a≠1時,點P的軌跡是以點QUOTE為圓心,QUOTE為半徑的圓.10.在平面直角坐標系xOy中,曲線y=x2-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且CA⊥CB,求a的值.〖解析〗(1)曲線y=x2-6x+5與坐標軸的交點分別為(0,5),(1,0),(5,0),設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則QUOTE,解得:QUOTE,故圓C的方程為x2+y2-6x-6y+5=0.(2)由CA⊥CB得△ABC為等腰直角三角形,設圓心到直線AB的距離為d,圓C的半徑為r,則r=QUOTE,|AB|=QUOTEr,d=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,解得:a=±QUOTE.1.(5分)(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為 ()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設圓心C(x,y),則QUOTE=1,化簡得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當且僅當C在線段OM上時取得等號.2.(5分)(2020·全國Ⅰ卷)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選B.由于圓上的點(2,1)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限,由題意設圓心的坐標為(a,a),則圓的半徑為a,圓的標準方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.由題意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標為(1,1)或(5,5),圓心(1,1)到直線2x-y-3=0的距離均為d1=QUOTE=QUOTE;圓心(5,5)到直線2x-y-3=0的距離均為d2=QUOTE=QUOTE,所以圓心到直線2x-y-3=0的距離均為d=QUOTE=QUOTE;所以,圓心到直線2x-y-3=0的距離為QUOTE.3.(5分)已知過點(0,2)的圓C的圓心在直線2x+y=0上,則圓C的面積最小時圓C的方程是 ()A.QUOTE+QUOTE=QUOTEB.QUOTE+QUOTE=QUOTEC.QUOTE+QUOTE=QUOTED.QUOTE+QUOTE=QUOTE〖解析〗選A.根據(jù)題設分析知,圓C半徑r的最小值rmin=QUOTE=QUOTE,此時圓C的圓心為直線2x+y=0與直線y-2=QUOTE(直線x-2y+4=0)的交點.聯(lián)立方程QUOTE解得QUOTE所以所求圓C的方程是QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.(5分)關于下列命題,正確的個數(shù)是 ()(1)若點QUOTE在圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0外,則k>2或k<-4;(2)已知圓M:QUOTE+QUOTE=1,直線y=kx,則直線與圓恒相切;(3)已知點P是直線2x+y+4=0上一動點,PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點,則四邊形PACB的最小面積是2.(4)設直線系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,M中的直線所能圍成的正三角形面積都等于12QUOTE.A.1 B.2 C.3 〖解析〗選B.對于命題(1),由于方程x2+y2+kx+2y+k2-15=0表示圓,則k2+4-4(k2-15)>0,整理得3k2-64<0,由于點QUOTE在該圓外,則k2+2k-8>0,所以QUOTE解得-QUOTE<k<-4或2<k<QUOTE,命題(1)為假命題;對于命題(2),直線y=kx過原點O,圓M:QUOTE+QUOTE=1的圓心M的坐標為QUOTE,且QUOTE=1,所以圓心M到直線y=kx的距離d≤1,則直線與圓相交或相切,命題(2)為假命題;對于命題(3),圓C的標準方程為x2+QUOTE=1,圓心C的坐標為QUOTE,半徑長為1,圓心C到直線2x+y+4=0的距離為d=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,則QUOTE=QUOTE=2,所以四邊形PACB的面積的最小值為2×QUOTE=2,命題(3)為真命題;對于命題(4),直線系M的方程為QUOTEcosθ+ysinθ-2=0,由于點QUOTE到直線系M的距離為d=QUOTE=2,直線系M中所有的直線都是圓D:QUOTE+y2=4的切線,如圖所示.QUOTE=2,∠DAE=30°,所以QUOTE=QUOTE=2QUOTE,所以等邊三角形ABC的邊長為4QUOTE,所以,M中的直線所能圍成的正三角形面積為QUOTE×QUOTE=12QUOTE,命題(4)為真命題.因此,真命題的個數(shù)為2.〖加練備選·拔高〗已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,動點P在正方體的表面上運動,且與點A的距離為2QUOTE.動點P的集合形成一條曲線,則整條曲線的周長是.

〖解析〗因為|AB|=3<|AP|=2QUOTE<3QUOTE=|AB1|,所以P點可在棱BC,BB1,A1B1,A1D1,DD1,DC上(對應P1,P2,P3,P4,P5,P6),動點P的集合形成一條曲線如圖所示.因為|AB|=3,|AP2|=2QUOTE,所以∠P2AB=QUOTE,所以∠P3AA1=∠P2AB=QUOTE,所以∠P2AP3=QUOTE-∠P3AA1-∠P2AB=QUOTE,因此根據(jù)對稱性可得在表面ABB1A1、表面ABCD、表面ADD1A1分別構成半徑為2QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;在表面CBB1C1、表面A1B1C1D1、表面CDD1C1分別構成半徑為QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;因此周長為3×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE5.(10分)已知點P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4QUOTE,求l的方程;(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.〖解析〗(1)圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,圓心為C(-2,6),半徑r=4,因為直線l被圓C截得的線段長為4QUOTE,所以圓心C到直線l的距離d=QUOTE=2,若直線l斜率不存在,則直線方程為x=0,此時圓心到直線l的距離為2,符合題意;若直線l斜率存在,設斜率為k,則直線l的方程為y=kx+5,即kx-y+5=0,所以QUOTE=2,解得k=QUOTE,所以直線l的方程為y=QUOTEx+5,即3x-4y+20=0.綜上所述,直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0.(2)設所求軌跡上任意一點為M(x,y),則kCM=QUOTE(x≠-2),kPM=QUOTE(x≠0),所以QUOTE·QUOTE=-1,整理得x2+y2+2x-11y+30=0,經(jīng)驗證當x=-2時,弦的中點為(-2,5)或(-2,6),符合上式,當x=0時,弦的中點為(0,6),符合上式,所以過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.6.(10分)已知兩個定點A(0,4),B(0,1),動點P滿足|PA|=2|PB|,設動點P的軌跡為曲線E,直線l:y=kx-4.(1)求曲線E的軌跡方程;(2)若l與曲線E交于不同的C,D兩點,且∠COD=120°(O為坐標原點),求直線l的斜率;(3)若k=1,Q是直線l上的動點,過Q作曲線E的兩條切線QM,QN,切點為M,N,探究:直線MN是否過定點,若存在定點請寫出坐標,若不存在請說明理由.〖解析〗(1)設點P的坐標為(x,y),因為|PA|=2|PB|,即QUOTE=2QUOTE,整理得x2+y2=4,所以所求曲線E的軌跡方程為x2+y2=4.(2)依題意,OC=OD=2,且∠COD=120°,由圓的性質,可得點O到邊CD的距離為1,即點O(0,0)到直線l:kx-y-4=0的距離為QUOTE=1,解得k=±QUOTE,所以所求直線l的斜率為±QUOTE.(3)依題意,ON⊥QN,OM⊥QM,則M,N都在以QO為直徑的圓F上,Q是直線l:y=x-4上的動點,設Q(t,t-4),則圓F的圓心為QUOTE,且經(jīng)過坐標原點,即圓的方程為x2+y2-tx-(t-4)y=0,又因為M,N在曲線E:x2+y2=4上,由QUOTE可得tx+(t-4)y-4=0,即直線MN的方程為tx+(t-4)y-4=0,由t∈R且t(x+y)-4y-4=0,可得QUOTE解得QUOTE所以直線MN過定點(1,-1).1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)為單位圓x2+y2=1上的三點,又x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,則QUOTE+QUOTE+QUOTE= ()A.0 B.QUOTE C.2 D.3〖解析〗選B.因為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)為單位圓x2+y2=1上的三點,所以原點O是△ABC的外心,又因為x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,所以原點O是△ABC的重心,所以△ABC是正三角形,該題為選擇題,可以用特殊點來求解,取A(0,1),BQUOTE,CQUOTE,此時QUOTE+QUOTE+QUOTE=0+QUOTE+QUOTE=QUOTE.〖一題多解〗由題意可得A,B,C均勻分布在單位圓上,如圖,設AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=cos2α+cos2α+QUOTE+cos2α+QUOTE=cos2α+-QUOTEcosα-QUOTEsinα2+-QUOTEcosα+QUOTEsinα2=QUOTE.2.圓x2+y2+2x-4y+1=0關于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則ab的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選A.圓x2+y2+2x-4y+1=0關于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則圓心在直線上,求得a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=-QUOTE+QUOTE≤QUOTE,ab的取值范圍是QUOTE.〖加練備選·拔高〗已知△ABC的三個頂點AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE,其外接圓為圓H.(1)求圓H的方程;(2)若直線l過點C,且被圓H截得的弦長為2,求直線l的方程;(3)對于線段BH上的任意一點P,若在以C為圓心的圓上存在不同的兩點M,N,使得點M是線段PN的中點,求圓C的半徑r的取值范圍.〖解析〗(1)線段AB的垂直平分線方程為x=0,線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0,所以△ABC外接圓圓心H的坐標為QUOTE,半徑為QUOTE=QUOTE,圓H的方程為x2+QUOTE=10.(2)設圓心H到直線l的距離為d,因為直線l被圓H截得的弦長為2,所以d=QUOTE=3.當直線l垂直于x軸時,顯然符合題意,即x=3為所求;當直線l不垂直于x軸時,設直線的方程為y-2=k(x-3),則QUOTE=3,解得k=QUOTE,綜上,直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0.(3)直線BH的方程為3x+y-3=0,設PQUOTE,NQUOTE,因為點M是線段PN的中點,所以MQUOTE,又M,N都在半徑為r的圓C上,所以QUOTE所以QUOTE因為關于x,y的方程組有解,即以QUOTE為圓心,r為半徑的圓與以QUOTE為圓心,2r為半徑的圓有公共點,所以QUOTE≤QUOTE+QUOTE≤QUOTE,又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2對?m∈QUOTE成立.而fQUOTE=10m2-12m+10在QUOTE上的值域為QUOTE,所以r2≤QUOTE且10≤9r2.又線段BH與圓C無公共點,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2對?m∈〖0,1〗成立,即r2<QUOTE.故圓C的半徑r的取值范圍為QUOTE.課時作業(yè)梯級練五十二圓的方程一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知兩圓C1:(x-5)2+(y-3)2=9和C2:(x-2)2+(y+1)2=5,則兩圓圓心間的距離為 ()A.5 B.8 C.3 〖解析〗選A.因為圓心C1為(5,3),圓心C2為(2,-1),所以兩個圓心間的距離為d=QUOTE=5.2.若點(4a-1,3a+2)不在圓(x+1)2+(y-2)2=25的外部,則a的取值范圍是()A.|a|<QUOTE B.|a|<1C.|a|≤QUOTE D.|a|≤1〖解析〗選D.由已知,得(4a)2+(3a)2≤25.所以a2≤1,所以|a|≤1.3.已知直線l:x-y+2=0,圓C:(x-3)2+y2=4,若點P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點,則點P的坐標是 ()A.(3+QUOTE,QUOTE) B.(3-QUOTE,QUOTE)C.(3-QUOTE,-QUOTE) D.(3+QUOTE,-QUOTE)〖解析〗選B.圓C:(x-3)2+y2=4的圓心坐標為(3,0),半徑為2,過圓心與直線l垂直的直線方程為x+y-3=0與圓的方程聯(lián)立得QUOTE解得QUOTE所以它與圓的交點坐標為(3+QUOTE,-QUOTE)和(3-QUOTE,QUOTE),由題知,點P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點,所以點P的坐標為(3-QUOTE,QUOTE).4.已知半徑為1的圓經(jīng)過點QUOTE,則其圓心到原點的距離的最小值為()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設圓心CQUOTE,則QUOTE=1,化簡得QUOTE+QUOTE=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當且僅當C在線段OM上時,取得等號.5.當a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,QUOTE為半徑的圓的方程為 ()A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0〖解析〗選C.直線(a-1)x-y+a+1=0可化為(-x-y+1)+a(1+x)=0,由QUOTE得C(-1,2).所以圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-6x-8y+21=0,則x2+y2的最大值是.

〖解析〗由題意可得x2+y2-6x-8y+21=0表示圓心為CQUOTE,半徑r=2的圓,x2+y2表示圓上的點PQUOTE到原點O的距離的平方,作直線CO,交圓C于兩點A,B,(圖略),其中B為離O轉遠的點,則PO的最大值為QUOTE=QUOTE+r=5+2=7,所以x2+y2的最大值為49.〖答案〗:497.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2的距離的最大值是.

〖解析〗將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d=QUOTE=QUOTE,故圓上的點到直線x-y=2的距離的最大值為d+1=QUOTE+1.〖答案〗:1+QUOTE8.已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車駛入這個隧道(填“能”或“不能”).假設貨車的最大寬度為a〖解析〗以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,那么半圓的方程為x2+y2=16(y≥0).將x=2.7代入,得y=QUOTE=QUOTE<3,所以,在離中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度.因此,貨車不能駛入這個隧道.將x=a代入x2+y2=16(y≥0)得y=QUOTE.所以,貨車要正常駛入這個隧道,最大高度(即限高)為QUOTEm.〖答案〗:不能QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.設A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點,動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a>0),求P點的軌跡.〖解析〗設動點P的坐標為(x,y),由QUOTE=a(a>0)得QUOTE=a2,化簡得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+(1-a2)c2+(1-a2)y2=0.當a=1時,方程化為x=0;當a≠1時,方程化為QUOTE+y2=QUOTE.所以當a=1時,點P的軌跡為y軸;當a≠1時,點P的軌跡是以點QUOTE為圓心,QUOTE為半徑的圓.10.在平面直角坐標系xOy中,曲線y=x2-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且CA⊥CB,求a的值.〖解析〗(1)曲線y=x2-6x+5與坐標軸的交點分別為(0,5),(1,0),(5,0),設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則QUOTE,解得:QUOTE,故圓C的方程為x2+y2-6x-6y+5=0.(2)由CA⊥CB得△ABC為等腰直角三角形,設圓心到直線AB的距離為d,圓C的半徑為r,則r=QUOTE,|AB|=QUOTEr,d=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,解得:a=±QUOTE.1.(5分)(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為 ()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設圓心C(x,y),則QUOTE=1,化簡得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當且僅當C在線段OM上時取得等號.2.(5分)(2020·全國Ⅰ卷)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選B.由于圓上的點(2,1)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限,由題意設圓心的坐標為(a,a),則圓的半徑為a,圓的標準方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.由題意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標為(1,1)或(5,5),圓心(1,1)到直線2x-y-3=0的距離均為d1=QUOTE=QUOTE;圓心(5,5)到直線2x-y-3=0的距離均為d2=QUOTE=QUOTE,所以圓心到直線2x-y-3=0的距離均為d=QUOTE=QUOTE;所以,圓心到直線2x-y-3=0的距離為QUOTE.3.(5分)已知過點(0,2)的圓C的圓心在直線2x+y=0上,則圓C的面積最小時圓C的方程是 ()A.QUOTE+QUOTE=QUOTEB.QUOTE+QUOTE=QUOTEC.QUOTE+QUOTE=QUOTED.QUOTE+QUOTE=QUOTE〖解析〗選A.根據(jù)題設分析知,圓C半徑r的最小值rmin=QUOTE=QUOTE,此時圓C的圓心為直線2x+y=0與直線y-2=QUOTE(直線x-2y+4=0)的交點.聯(lián)立方程QUOTE解得QUOTE所以所求圓C的方程是QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.(5分)關于下列命題,正確的個數(shù)是 ()(1)若點QUOTE在圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0外,則k>2或k<-4;(2)已知圓M:QUOTE+QUOTE=1,直線y=kx,則直線與圓恒相切;(3)已知點P是直線2x+y+4=0上一動點,PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點,則四邊形PACB的最小面積是2.(4)設直線系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,M中的直線所能圍成的正三角形面積都等于12QUOTE.A.1 B.2 C.3 〖解析〗選B.對于命題(1),由于方程x2+y2+kx+2y+k2-15=0表示圓,則k2+4-4(k2-15)>0,整理得3k2-64<0,由于點QUOTE在該圓外,則k2+2k-8>0,所以QUOTE解得-QUOTE<k<-4或2<k<QUOTE,命題(1)為假命題;對于命題(2),直線y=kx過原點O,圓M:QUOTE+QUOTE=1的圓心M的坐標為QUOTE,且QUOTE=1,所以圓心M到直線y=kx的距離d≤1,則直線與圓相交或相切,命題(2)為假命題;對于命題(3),圓C的標準方程為x2+QUOTE=1,圓心C的坐標為QUOTE,半徑長為1,圓心C到直線2x+y+4=0的距離為d=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,則QUOTE=QUOTE=2,所以四邊形PACB的面積的最小值為2×QUOTE=2,命題(3)為真命題;對于命題(4),直線系M的方程為QUOTEcosθ+ysinθ-2=0,由于點QUOTE到直線系M的距離為d=QUOTE=2,直線系M中所有的直線都是圓D:QUOTE+y2=4的切線,如圖所示.QUOTE=2,∠DAE=30°,所以QUOTE=QUOTE=2QUOTE,所以等邊三角形ABC的邊長為4QUOTE,所以,M中的直線所能圍成的正三角形面積為QUOTE×QUOTE=12QUOTE,命題(4)為真命題.因此,真命題的個數(shù)為2.〖加練備選·拔高〗已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,動點P在正方體的表面上運動,且與點A的距離為2QUOTE.動點P的集合形成一條曲線,則整條曲線的周長是.

〖解析〗因為|AB|=3<|AP|=2QUOTE<3QUOTE=|AB1|,所以P點可在棱BC,BB1,A1B1,A1D1,DD1,DC上(對應P1,P2,P3,P4,P5,P6),動點P的集合形成一條曲線如圖所示.因為|AB|=3,|AP2|=2QUOTE,所以∠P2AB=QUOTE,所以∠P3AA1=∠P2AB=QUOTE,所以∠P2AP3=QUOTE-∠P3AA1-∠P2AB=QUOTE,因此根據(jù)對稱性可得在表面ABB1A1、表面ABCD、表面ADD1A1分別構成半徑為2QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;在表面CBB1C1、表面A1B1C1D1、表面CDD1C1分別構成半徑為QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;因此周長為3×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE5.(10分)已知點P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4QUOTE,求l的方程;(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.〖解析〗(1)圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,圓心為C(-2,6),半徑r=4,因為直線l被圓C截得的線段長為4QUOTE,所以圓心C到直線l的距離d=QUOTE=2,若直線l斜率不存在,則直線方程為x=0,此時圓心到直線l的距離為2,符合題意;若直線l斜率存在,設斜率為k,則直線l的方程為y=kx+5,即kx-y+5=0,所以QUOTE=2,解得k=QUOTE,所以直線l的方程為y=QUOTEx+5,即3x-4y+20=0.綜上所述,直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0.(2)設所求軌跡上任意一點為M(x,y),則kCM=QUOTE(x≠-2),kPM=QUOTE(x≠0),所以QUOTE·QUOTE=-1,整理得x2+y2+2x-11y+30=0,經(jīng)驗證當x=-2時,弦的中點為(-2,5)或(-2,6),符合上式,當x=0時,弦的中點為(0,6),符合上式,所以過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.6.(10分)已知兩個定點A(0,4),B(0,1),動點P滿足|PA|=2|PB|,設動點P的軌跡為曲線E,直線l:y=kx-4.(1)求曲線E的軌跡方程;(2)若l與曲線E交于不同的C,D兩點,且∠COD=120°(O為坐標原點),求直線l的斜率;(3)若k=1,Q是直線l上的動點,過Q作曲線E的兩條切線QM,QN,切點為M,N,探究:直線MN是否過定點,若存在定點請寫出坐標,若不存在請說明理由.〖解析〗(1)設點P的坐標為(x,y),因為|PA|=2|PB|,即QUOTE=2QUOTE,整理得x2+y2=4,所以所求曲線E的軌跡方程為x2+y2=4.(2)依題意,OC=OD=2,且∠COD=120°,由圓的性質,可得點O到邊CD的距離為1,即點O(0,0)到直線l:kx-y-4=0的距離為QUOTE=1,解得k=±QUOTE,所以所求直線l的斜率為±QUOTE.(3)依題意,ON⊥QN,OM⊥QM,則M,N都在以QO為直徑的圓F上,Q是直線l:y=x-4上的動點,設Q(t,t-4),則圓F的圓心為QUOTE,且經(jīng)過坐標原點,即圓的方程為x2+y2-tx-(t-4)y=0,又因為M,N在曲線E:x2+y2=4上,由QUOTE可得tx+(t-4)y-4=0,即直線MN的方程為tx+(t-4)y-4=0,由t∈R且t(x+y)-4y-4=0,可得QUOTE解得QUOTE所以直線MN過定點(1,-1).1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)為單位圓x2+y2=1上的三點,又x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,則QUOTE+QUOTE+QUOTE= ()A.0 B.QUOTE C.2 D.