2024年全國高考Ⅱ卷數(shù)學試題及答案

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標II卷）數(shù)學本試卷共10頁，19小題，滿分150分.注意事項：1.號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.zz1i1.（）A.012D.2R，|x1|12.已知命題p：xx0，x3x，則（）；命題q：pA.p和q都是真命題D.和q都是真命題qp和q都是真命題p和都是真命題aab2b2abb3.已知向量a,b（）2321A.D.1224.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表[900950）[950，1000）[1000，1050）），1200）量據(jù)表中數(shù)據(jù)，結論中正確的是（A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg612182410）第1共頁100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于至D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于至1000kg5.已知曲線C：x2y216（y0C上任意一點P向x軸作垂線段，P的中點M的軌跡方程為（）x2y2x2y221（y01（y01（y0A.））1648y2x2y2x1（y0）D.）48f()(x2，g(x)x2x(yf(x)與yg(x)6.設函數(shù)交點，則A.1恰有一個a（）11D.223-ABC6，AB2AA與平面所成角的正切值為17.已知正三棱臺的體積為，11111（）12A.12D.3）f(x)(xa)xb)f(x)0a2b2的最小值為（8.設函數(shù)111A.D.1842二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.πf(x)sin2xg(x)sin(2x)和9.對于函數(shù)，下列正確的有（）4A.f(x)與g(x)有相同零點f(x)與g(x)有相同最大值f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸(y1的一條切線，Q為切點，210.拋物線C：y24x的準線為lP為CP作A:x2過P作l的垂線，垂足為，則（）AA.l與當P，B三點共線時，|PQ15當|2PAAB第2共頁D.||||P有且僅有2個1，則（A.當a1f(x)有三個零點f(x)2x32設函數(shù)）x0是f(x)的極大值點當a0ab，使得xb為曲線yf(x)的對稱軸為曲線f1yf(x)的對稱中心D.a，使得點三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.Sa}aa7aa5S，則1012.記為等差數(shù)列n項和，若，________.nn34254，tan21，則13.已知為第一象限角，為第三象限角，tan)_______.14.在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角A，C的對邊分別為abc，已知sinA3A2．1）求．2）若a2，bCc2B的周長．f(x)eax316.已知函數(shù)．yf(x)f處的切線方程；1）當a1時，求曲線2）若f(x)有極小值，且極小值小于0a的取值范圍．17.ABCD8，CD3，AD53，，BAD30E，，2512AEAD△AEF沿對折至!PEF，使得43．F第3共頁1）證明：；2）求面所成的二面角的正弦值．18.隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階350分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總，乙每次投中的概率為q互獨立．1）若p0.4，q，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊比賽成績不少于5分的概率．2）假設0pq，i）為使得甲、乙所在隊比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？C:x2y2mm0P4，點在C1k上，為常數(shù)，0k119.已知雙曲線．按照如下方式依次構PnPn1kC的左支交于點QPnQn1y關于軸的對稱點，造點，過作斜率為的直線與，令為nn1Pnn,y記的坐標為.n12x,y；221）若k1k1kxy是公比為n2）證明：數(shù)列的等比數(shù)列；nSPPPnSS，nn13）設為面積，證明：對任意的正整數(shù).nnn1n2第4共頁2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標II卷）數(shù)學本試卷共10頁，19小題，滿分150分.注意事項：1.號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.zz1i1.（）A.012D.2【答案】C【解析】【分析】由復數(shù)模的計算公式直接計算即可.1iz22.2【詳解】若z故選：CR，|x1|12.已知命題p：xx0，x3x，則（）；命題q：pA.p和q都是真命題和q都是真命題qp和q都是真命題p和都是真命題D.【答案】B【解析】【分析】對于兩個命題而言，可分別取x=1、x1，再結合命題及其否定的真假性相反即可得解.p是假命題，是真命題，p【詳解】對于而言，取x101px=1，則有第5共頁q而言，取q是真命題，q是假命題，x1，則有311x3xpq和都是真命題.綜上，故選：aab2b2abb3.已知向量a,b（）231A.D.1222【答案】B【解析】2bb2abaab222得1abb1b42ab得解.2，2abb2abb2ab0【詳解】因為，所以baab2又因為，22所以1abb1b4，2b.2故選：4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表[900950）[950，1000）[1000，1050）），1200）量據(jù)表中數(shù)據(jù)，結論中正確的是（A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg612182410）100塊稻田中畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例超過80%100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于至D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于至1000kg【答案】C【解析】第6共頁【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計算出低于的頻數(shù)，再計算比例即可判斷；根據(jù)極差計算方法即可判斷；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,612183650,1050kg所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯誤；，畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為，所以低于1100kg的稻田占比為B錯誤；，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為1150950200C正確；D，由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在的頻數(shù)為100(612182410)30，1(692512975181025301075241125101067所以平均值為D錯誤.100故選；5.已知曲線C：x2y216（y0C上任意一點P向x軸作垂線段，P的中點M的軌跡方程為（）x2y2x2y221（y01（y01（y0A.）D.）1648y2x2y2x1（y0））48【答案】A【解析】【分析】設點M(x,y)，由題意，根據(jù)中點的坐標表示可得P(x,2y)，代入圓的方程即可求解.【詳解】設點M(x,y)P(x,yP(x,0)，0y2y0M為的中點，所以P(x,2y)，又Px2y216(yx2y2x24yy2y，4x2y2M的軌跡方程為故選：Ay.4f()(x2，g(x)x2x(恰有一個yf(x)與yg(x)6.設函數(shù)a交點，則（）第7共頁12A.11D.2【答案】D【解析】Fx2aGxxyF(x)與yG(x)恰有一個交點，結合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得a2，并代入檢驗即可；解法二：令hxhxhx的零點只能為0，f(x)gx,x知即可得a2，并代入檢驗即可.f(x)gxa(x21x，可得ax2a1x，【詳解】解法一：令，令FxaGxx2x(yF(x)與yG(x)恰有一個交點，原題意等價于當時，曲線注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，F(xiàn)x,GxF0G0a11，解得a2，若a2FxGx，可得2x21x0x20,1x0x0，當且僅當時，等號成立，2xx02x21x0，當且僅當時，等號成立，yF(x)yG(x)恰有一個交點，則方程2x21x0有且僅有一個實根，即曲線0與a2符合題意；綜上所述：a2.hxf(x)gxax2a1x,x解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，hx21xax2a1xhx，hxaxa則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，hxhxh0a20，解得a2，即第8共頁hx2x21x,x，若a22x20,1x0x0當且僅當為時，等號成立，x0時，等號成立，hx0，當且僅當即有且僅有一個零點0，所以a2符合題意；hx故選：D.-ABC6，AB2AA與平面所成角的正切值為17.已知正三棱臺的體積為，111113（）12A.12D.3【答案】B【解析】433【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高h，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求43-ABC得AM，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐1113PAA18，進而可，與平面所成角即為與平面所成角，根據(jù)比例關系可得VPABC1P求正三棱錐的高，即可得結果.BC,CD,D=33,AD=3【詳解】解法一：分別取的中點，1111131S設正三棱臺則V6693,S233，ABC111222-ABCh，11113523433933933h，解得h，ABCABC111A,DM,Nx，如圖，分別過作底面垂線，垂足為11第9共頁31=2+1M2=x2+，=--=23-x，則162121N223x，362221BBB21DD21結合等腰梯形,1161623x4432x2x，解得即，3331MAA1tanD1==1與平面所成角的正切值為；-ABCP，解法二：將正三棱臺補成正三棱錐111AA1則與平面所成角即為與平面所成角，V11131PABC1111，P可知VPVPABC18，ABCABC1131113P的高為d，則Vd66d23，設正三棱錐，解得P322取底面的中心為OAO23，1.與平面所成角的正切值故選：f(x)(xa)xb)f(x)0a2b2的最小值為（8.設函數(shù)）111A.D.1842【答案】C【解析】f(x)的定義域為,b,1ba與分析判斷，即可得ba1，代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質分析xb)的符號，進而可xa的符號，即可得ba1得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：f(x)的定義域為,，令xa0xaxb)0x1b；xb,1bxaxb0，ab若時，可知f(x)0，不合題意；xa,1bxaxb0，若ba1b時，可知f(x)0，不合題意；xb,1bxaxb0f(x)0；若a1b時，可知，此時當時，可知f(x)0；x1b,xaxb0，此時可知若a1b，符合題意；x1b,axaxb0時，可知，若a1bf(x)0，不合題意；ba1，綜上所述：a1b21211112則a2b2a2a22a，當且僅當a,b時，等號成立，2221a2b2的最小值為；2解法二：由題意可知：f(x)的定義域為,，令xa0xaxb)0x1b；xb,1bxb0xa0，所以1ba0；x1b,xb0xa01ba0；，所以122112故1ba0，則2b2a2a22a，a2第共頁112a,b當且僅當時，等號成立，21a2b2的最小值為.2故選：0、xb)0【點睛】關鍵點點睛：分別求xa的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較大小分類討論，結合符號性分析判斷.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.πf(x)sin2xg(x)sin(2x)和9.對于函數(shù)，下列正確的有（）4A.f(x)與g(x)有相同零點f(x)與g(x)有相同最大值f(x)與g(x)有相同的最小正周期【答案】D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.πf(x)sin2x0x,kZ【詳解】A選項，令，解得，即為f(x)零點，2πππg(x)sin(2x)0x,kZg(x)，即為零點，令，解得428f(xg(x)零點不同，A選項錯誤；f(x)g(x)1，B選項正確；B選項，顯然C選項，根據(jù)周期公式，2πf(xg(x)π，C選項正確；的周期均為2πππ2xπx,kZ，D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質f(x)的對稱軸滿足224π4π2π3ππx,kZ，g(x)2x的對稱軸滿足28f(xg(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：(y1的一條切線，Q為切點，210.拋物線C：y24x的準線為lP為CP作A:x2過P作l的垂線，垂足為，則（）AA.l與當P，B三點共線時，|PQ15當|2PAABD.||||P有且僅有2個【答案】【解析】x=1P,,B，根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；選項，AB2kk1是否成立；PCD先算出P的P的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設P點坐標進行求解.24x的準線為x=1，x=1的距離顯然是1，等于圓的半徑，【詳解】A選項，拋物線yA(0,4)的圓心到直線相切，A選項正確；故準線l和AP,,Bly4P的縱坐標，PB選項，三點共線時，即y2P4xx，得到P4P(4,4)，由P2r24221，B選項正確；此時切線長2x1P24P4P，P2)或PyC選項，當，此時4201420(P2)(0,4),B(2)k2k2，當，，kk1；不滿足4(014(2)0(當P(0,4),B(2)，k6，k6，kk1；不滿足PAAB不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉化F0)，根據(jù)拋物線的定義，，這里時P點的存在性問題，時P點的存在性問題轉化成12114(0,4),F0)，,2，中垂線的斜率為，k2xy24x2y16y300，的中垂線方程為：，與拋物線y聯(lián)立可得81624301360的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個P點，使得，D選項正確.2tBt，P,tl4)設4t4t2t4)21，整理得2tt300，根據(jù)兩點間的距離公式，1641624301360t，則關于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的P點，D選項正確.故選：f(x)2x321，則（設函數(shù)）A.當a1f(x)有三個零點x0是f(x)的極大值點當a0ab，使得xb為曲線yf(x)的對稱軸為曲線f1yf(x)的對稱中心D.a，使得點【答案】AD【解析】【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為x0,xa，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出f(x)在(0),(0,a(a,2a)上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導函數(shù)符號的關系進行分析；C選項，假設存a,bf(x)f(2bx)，使得xb為f(x)的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的f(x)f(2x)66aa在這樣的3a)為f(x)用拐點結論直接求解.26ax6x(xa)，由于a1，【詳解】A選項，f(x)6x故時f(x)在,0,,上單調遞增，，f(x)單調遞減，xf(x)0,0,xa)f(x)0x0xa處取到極小值，則f(x)在處取到極大值，在f(0)10，f(a)1af(0)f(a)0，30由根據(jù)零點存在定理f(x)在a)上有一個零點，f(1a0，f(2a)4af(f(0)f(a)f(2a)0，310又(0),(a,2a)a1f(x)有三個零點，A選項正確；則f(x)在B選項，上各有一個零點，于是x(a,0),f(x)0，，f(x)單調遞減，f(x)6x(xa)0x)f(x)0時，f(x)單調遞增，x0f(x)在處取到極小值，B選項錯誤；a,b，使得xb為f(x)的對稱軸，C選項，假設存在這樣的a,bf(x)f(2bx)，即存在這樣的2x3ax212(2bx)3a(2bx)21，即(2bx)3展開式含有x3的項為33)0(x)32x3根據(jù)二項式定理，等式右邊于是等式左右兩邊x，3的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，a,b，使得xb為f(x)的對稱軸，C選項錯誤；于是不存在這樣的D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡f3aa)，若存在這樣的，使得為f(x)的對稱中心，af(x)f(2x)66a則，事實上，f(x)f(2x)2x3ax212(2x)3a(2x)216a)xa24)x1812a，266a6a)x2a24)x1812a6a012a0a2，即存在a2f是f(x)即，解得的對稱中心，選項正確.D1812a66a方法二：直接利用拐點結論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，f(x)2x321，f(x)6x26f(x)12x6a，，aaaf(x)0x,f由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，222a由題意f也是對稱中心，故1a2，2即存在a2f是f(x)的對稱中心，D選項正確.故選：ADxbf(x)f(2bx)【點睛】結論點睛1）f(x)的對稱軸為2）f(x)關于(a,b)對稱f(x)f(2ax)b3）任何三次函數(shù)f(x)ax3bx2d都有對稱中心，對稱中心是三次bb,ff(x)0函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心aa三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.Sa}aa7aa5S，則________.1012.記為等差數(shù)列n項和，若，nn3425【答案】95【解析】a,d1【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.a2dad7a4111a【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，n3ada4d53d11109S101d10445395則.2故答案為：95.4，tan21，則13.已知為第一象限角，為第三象限角，tan)_______.223【答案】【解析】22，再縮小【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得的平方和關系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.的范圍，最后結合同角1422【詳解】法一：由題意得1，21π23π22π,2π,2ππ,2πk,mZ，，k,mZ，2m2kππ,mkπ2π則，220又因為，3π2m2kπ,2m2kπ2πk,mZsin0，則則，2sin22322sin2cos21，解得sin，聯(lián)立.法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則cos0,cos11cos，，221tan2sin221tan2sin則)sincossincos(tantan)44)4223412122242222.故答案為：314.在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是________．【答案】【解析】.24.4321即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有432124種選法；每種選法可標記為(a,,c,d)，ad分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結果為：44，44，44，43，所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.故答案為：24【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4321個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結果.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角A，C的對邊分別為abc，已知sinA1）求．3A2．2）若a2，bCc2B的周長．πA【答案】（）62）2632【解析】1）根據(jù)輔助角公式對條件sinA3A2進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關系解方程組，亦可利用導數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B，然后根據(jù)正弦定理算出,c即可得出周長【小問1詳解】.方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）π31233A2sinAA1sin(A)1，由sinA2ππ4ππ3π2π6Aπ)A(,)AA，解得333方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關系）3A2sin2A2A1，消去sinA由sinA得到：342A43A30(2A3)20，解得A，2πA(0,π)A又6方法三：利用極值點求解πf(x)2sinx(0xπ)，設f(x)x3xxπ)3ππxf(x)2f()sinA3A22sin(A)，注意到，63f(x)f()(0,π)xA必定是極值點，，在開區(qū)間上取到最大值，于是3即f()0A3AA，3π6A(0,π)A又方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設a3),b,)，由題意，absinA3A2，ababa,b2a,b根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，a,b則2cosa,b2cosa,b1，此時a,b0同向共線，3根據(jù)向量共線條件，1A3sinAtanA，3πA(0,π)A又6方法五：利用萬能公式求解At)2t1tttansinA3A22設，根據(jù)萬能公式，，21t2整理可得，t23)t(23)20t(23))2，Atant23t1t32，根據(jù)二倍角公式，A，23π6A(0,π)A又【小問2詳解】由題設條件和正弦定理bsinCcsin2B2sinBsinC2sinCsinBB，2π,Cπ)BC0B又，進而B，得到，247πCπAB，26sinCsin(πAB)sin(AB)sinABsinBA，42bcabcπ6π47π，由正弦定理可得，sinAsinBsinCsinsinsinb22,c62，2632的周長為故f(x)exa3．yf(x)f16.已知函數(shù)1）當a1時，求曲線處的切線方程；2）若f(x)有極小值，且極小值小于0a的取值范圍．e1xy10【答案】（）2）【解析】）求導，結合導數(shù)的幾何意義求切線方程；2a0和a0a2a10fx的，xf(x)eaa0單調性和極值，分析可得a【小問1詳解】2a10，構建函數(shù)解不等式即可.f(x)exx1，f(x)e1，x當a1時，則fe1fe2，，2即切點坐標為，切線斜率ke1，exy10ye2e1x1所以切線方程為.【小問2詳解】x解法一：因為f(x)的定義域為Rf(x)ea，對任意a0f(x)0xR恒成立，若f(x)在R上單調遞增，無極值，不合題意；，解得a0f(x)0xaf(x)0xa；若，解得f(x)在,lna,內單調遞減，在內單調遞增，，無極大值，3faaaaa則f(x)有極小值3faaaaa0a2a10，由題意可得：1gaa2aa0gaa0，agag10，在內單調遞增，且不等式a2a10等價于，解得，gag1a1；a的取值范圍為x解法二：因為f(x)的定義域為Rf(x)ea，x若f(x)有極小值，則f(x)ea有零點，xa令f(x)e0，可得ea，xyaa0有交點，則，yex與，解得a0f(x)0xaf(x)0xa；若，解得f(x)在,lna,內單調遞減，在內單調遞增，3faaaaa則f(x)有極小值，無極大值，符合題意，03faaaaaa2a10，由題意可得：gaa2aa0，,ya1在內單調遞增，ya2因為則ga內單調遞增，且g10，在不等式a2a10等價于，解得，gag1a1.a的取值范圍為17.ABCD8，CD3，AD53，，BAD30E，，2512AEAD△AEF沿對折至!PEFF，使得43．1）證明：；2）求面所成的二面角的正弦值．【答案】（）證明見解析8652）65【解析】1）由題意，根據(jù)余弦定理求得EF2，利用勾股定理的逆定理可證得EFAD，則，利PE,，結合線面垂直的判定定理與性質即可證明；Exyz（2）由（1，建立如圖空間直角坐標系用空間向量法求解面面角即可.【小問1詳解】，2512由53,AD,△AEF得23,43由余弦定理得222cos161224232,2AF2AEEFEFAD，22PE,E,PE，PD，故PD；【小問2詳解】,33,CD3CE22CD2，在43,23,6EC2PE2PC2，E,EC，，由（PEPE,,ED，Exyz，兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系則EP23),D(0,33,0),C33,0),F(2,0),A23,0)，由F是AB的中點，得B(4,23,0)，33,23),(0,33,23),(4,23,23),(2,23)，n(x,y,zm(x,y,z)，設平面和平面的一個法向量分別為111222n3x33y23z0m4x23y223z220111則，，n33y23z0m2x23z01122令yx311y2z21，12n2,3),m(3,，mn165,nmn，5136586565設平面即平面和平面所成角為sin12，8和平面.所成角的正弦值為18.隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階350分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總，乙每次投中的概率為q互獨立．1）若p0.4，q，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．2）假設0pq，i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【答案】（）2ii）由甲參加第一階段比賽；【解析】）根據(jù)對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；P甲1p)3q3P1q)乙3p，再作差因式分解即可判斷；3（2i）首先各自計算出，首先得到X和Y的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【小問1詳解】甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1130.686比賽成績不少于5分的概率P10.63.【小問2詳解】i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲1p)3q3，P乙1q)3p3，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為0pq，PPq3(qpq)3p3(ppq)3甲乙(ppq)(qpq)(qp)q2pqp3p2(pq)(ppq)2(qpq)2(pq)3p2q22q3pq23pq(pqpqpq)3pq(pqpq)0，甲P，應該由甲參加第一階段比賽.乙(ii)若甲先參加第一階段比賽，數(shù)學成績X的所有可能取值為0，，，，P(X0)p)31p)3q)3，P(X1p)32C13qq)2，，P(X10)1p)333C23qq)2P(X1p)q，3323pqE(X)151p)q15p3p記乙先參加第一階段比賽，數(shù)學成績Y的所有可能取值為0，，，，qqpEY)15q32E(X)EY)pq(pqpq)3pq(pqpq)pq(pq，0pqpq0，pq31130，(pq)pq(pq0則，應該由甲參加第一階段比賽.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是計算出相關概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關系，最后得到結論.C:x2y2mm0P4，點在C1k上，為常數(shù)，0k119.已知雙曲線．按照如下方式依次構Pnn，過Pn1k的直線與C的左支交于點QPnQn1y關于軸的對稱點，造點作斜率為，令為n1.Pnn,yn記的坐標為12x,y；221）若k1k1kxy是公比為n2）證明：數(shù)列的等比數(shù)列；nSPPPnSS，nn13）設為的面積，證明：對任意的正整數(shù).nnn1n2x3y0【答案】（），222）證明見解析（）證明見解析【解析】P）直接根據(jù)題目中的構造方式計算出的坐標即可；22）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗證結論；Sn（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.思路二：使用nSn等差數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.n【小問1詳解】由已知有m52429C的方程為x2y9.221x3x32P411yx2y29聯(lián)立得到x29.當k時，過且斜率為的直線為222x3或x5，所以該直線與C的不同于P1的交點為Q3,0，該點顯然在C的左支上.1P3,0x3y0，.22故，從而2【小問2詳解】ykxxynxy9聯(lián)立，得到方程Px,yk且斜率為的直線為22由于過nnnnxkxxy9.nn22展開即得1kxkyxy90Px,y已經(jīng)是直線ykxx2n22nnnnnnnnx2y9的公共點，故方程必有一根xn.2和2kyn2xk2n，相應的xnxnnn從而根據(jù)韋達定理，另一根1k21k2ynk2ynykxxynn.n1k21k22nnnkxynnkn所以該直線與C的不同于的交點為PQ,，而注意到Q的橫坐標亦nnn21k2ynn29可通過韋達定理表示為Q一定在C的左支上.n1k2n222nnkn2kynynkynP,.n11k1k22nk2nynk2ynn這就得到n1n，y.1k2n11k2nk2nynk2ynnn1yn1n1k21k2nk2nynk2yn1k2