2023-2024學年廣東省深大附中教育集團九年級下學期開學考數(shù)學試題及答案

2023-2024學年度第二學期

初三年級假期學習素養(yǎng)檢測數(shù)學試卷

說明：1.全卷分試卷和答題卡，共4頁，考試時間90分鐘，滿分100分。

2.答題前，請將班級、考生號、姓名填（涂）寫在答題卡。不得在答題卡其它區(qū)

域做任何標記。

3.答題卡上的答案必須寫在題目指定位置上。（選擇題答案必須涂在答題卡上，

凡答案寫在試卷上不給分）

4.考試結(jié)束，請將答題卡上交。

第一部分選擇題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.一元二次方程2/-5%-2=°的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D,沒有實數(shù)根

2.矩形、菱形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.對角線互相垂直且相等

C,對角線相等D,對角線互相垂直

3.某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”

四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（）

1111

A.-B.-C.—D.—

24612

4.關(guān)于x一元二次方程5-1）/+苫+4-1=0的一個根是0,則。的值為（）

A.-1B.1C.1或一1D.0.5

5.如果有點力（為,無）、夕（王2,無）、。（鼻，兀）在反比例函數(shù)丁=七（4<0）圖像上，

如果%>々〉0>七，則%、為、%的大小關(guān)系是（）

A.%<%<XB.%<%<%C.%<%<為D.不能確

定

6.拋物線丁=依2-。（。/0）與直線y=近交于A（x，x）,3（%2，%）兩點，若

%1+x2<0,則直線_y=av+左一定經(jīng)過（）.

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、

四象限

7.如圖，A,B,C,三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將4ABe繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得

到AACB',則tanB'的值為（）

...1

A-IB.一C.D.叵

344

8.小華將一副三角板（NC=ZD=90。,ZB=30°,NE=45°）按如圖所示的方式擺

放，其中則N1的度數(shù)為（)

A.45°B.60°c.75°D.105°

9.如圖“45。中，ZACB=90°,AB=4,AC=x,ABAC=a,。為A5中點，若點。為

直線下方一點，且△3CD與ABC相似，則下列結(jié)論：①若a=45°,與。。相

交于E,則點E不一定是的重心；②若。=60°,則A。的最大值為2b；③若

則。。的長為④若貝當時,

a=6Q°,AABC^CBD,2VL△ABCsABCO,i］x=2

AC+CD取得最大值.其中正確的為（

B

A.①④B.②③C.①②④D.①③④

IO.如圖，關(guān)于X的函數(shù)y的圖象與X軸有且僅有三個交點，分別是(—3,0),(—1,0),(3,0),

對此，小華認為:①當y>0時，—3<x<—1；②當x>-3時，y有最小值;③點PQ-n-l)

在函數(shù)y的圖象上，符合要求的點尸只有I個；④將函數(shù)y的圖象向右平移I個或3個單位

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

11.如果a:Z?=3:2,那么巴吆=____.

a-b

12.現(xiàn)有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個面上都分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,

6,同時投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標的數(shù)字為擲得的結(jié)果，那么所得結(jié)果之和不小于

9的概率是.

13.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人

出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？”意思是：“幾個人一起去購買某物品，每人出8

錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢.問人數(shù)、物品的價格分別是多少？”該問題中

的人數(shù)為.

14.如圖，在RtzXABC中，/ACB=90。，ZB=60°,BC=3,將繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)到△即。的位置，點B的對應(yīng)點。首次落在斜邊A3上，則點A的運動路徑的長為

A

k

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B都在反比例函數(shù)y=1（x>o）圖象上，延

長AB交y軸于點C,過點A作ADLy軸于點。，連接3D并延長，交》軸于點E，連接

CE.若AB=23C,BCE的面積是4.5,則左的值為.

三、解答題（本題共7小題，共55分）

16.計算：[g]+4COS60°-（5-TZ-）°.

17.為了深入推動大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國旅游日惠民周活動,

活動主辦方在活動現(xiàn)場提供免費門票抽獎箱,里面放有4張相同的卡片,分別寫有景區(qū)：4宜

興竹海，B.宜興善卷洞，C.闔閭城遺址博物館，D.錫惠公園.抽獎規(guī)則如下：攪勻后從

抽獎箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費門票.

（1）小明獲得一次抽獎機會，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是.

（2）小亮獲得兩次抽獎機會，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)2門票的概率.

18.教室里投影儀投影時，可以把投影光線C4,CB及在黑板上的投影圖像高度A3抽

象成如圖所示的ZBAC=9Q°.黑板上投影圖像的高度A5=120cm,CB與AB

的夾角4=33.7。，求AC的長.（結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù)：sin33.7°?0.55,

cos33.7°?0.83，tan33.7°?0.67)

19.某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22

元/kg,不高于45元/依，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/依）之

（2）當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利

潤是多少？【銷售利潤=（銷售價格一采購價格）x銷售量】

20.課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了“已知"和''求

證”，請你完成證明過程.

已知：在YA6CD中，對角線BDLAC,垂足為0.

求證：YABCD是菱形.

圖I

（2）知識應(yīng)用：如圖2,在YABCD中，對角線AC和5。相交于點。,

AD=5,AC=8,BD=6.

圖2

①求證：YABCD菱形；

1OF

②延長至點E,連接0E交于點尸，若NE=—NACD,求——的值.

2EF

21.定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次

函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù).

【初步理解】

（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①y=f—i；?y=x2-%,其中，為函數(shù)y=xT的

軸點函數(shù).（填序號）

【嘗試應(yīng)用】

（2）函數(shù)y=%+c（C為常數(shù)，c>0）的圖象與尤軸交于點A,其軸點函數(shù)y=aY+6x+c

與x軸的另一交點為點3.若。8=J。4,求b的值.

4

【拓展延伸】

（3）如圖，函數(shù)>=▲%+，（/為常數(shù)，f〉0）的圖象與X軸、y軸分別交于Af,C兩

2

點，在龍軸的正半軸上取一點N,使得ON=OC.以線段"N的長度為長、線段的長

度為寬，在x軸的上方作矩形肱VDE.若函數(shù)y=+f（『為常數(shù)，?>0）的軸點函數(shù)

y=iwc2+nx+t的頂點P在矩形肱VDE的邊上，求”的值.

問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在RtAiABC中，ZC=90°,。為AC上一點,

CD=6，動點尸以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿Cf3fA勻速

運動，到達點A時停止，以為邊作正方形DPEF設(shè)點尸的運動時間為左，正方形DPE尸

的而積為S,探究S與f的關(guān)系

圖I

（1）初步感知:如圖1,當點P由點C運動到點2時,

①當￡=1時，S=

②S關(guān)于f的函數(shù)解析式為

（2）當點尸由點8運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于f的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所

示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于f的函數(shù)解析式及線段的長.

（3）延伸探究：若存在3個時刻小弓，4（4＜巧）對應(yīng)的正方形DP跖的面積均相等?

①：+/2=

②當4=4乙時，求正方形DPEF的面積.

2023-2024學年度第二學期

初三年級假期學習素養(yǎng)檢測數(shù)學試卷

說明：1.全卷分試卷和答題卡，共4頁，考試時間90分鐘，滿分100分。

2.答題前，請將班級、考生號、姓名填（涂）寫在答題卡。不得在答題卡其它區(qū)

域做任何標記。

3.答題卡上的答案必須寫在題目指定位置上。（選擇題答案必須涂在答題卡上，

凡答案寫在試卷上不給分）

4.考試結(jié)束，請將答題卡上交。

第一部分選擇題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.一元二次方程2/-5%-2=°的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D,沒有實數(shù)根

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)根的判別式進行計算即可；

【詳解】根據(jù)一元二次方程得a=2,b=-5,c=—2,

△=加-^ac=（—5『—4x2x（-2）=25+16=41>0,

...方程有兩個不相等的實數(shù)根；

故答案為B.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，準確計算是解題的關(guān)鍵.

2,矩形、菱形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.對角線互相垂直且相等

C.對角線相等D.對角線互相垂直

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì).由矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可直接求解.

【詳解】解：二?菱形的對角線互相垂直平分，矩形的對角線互相平分且相等，

矩形、菱形都具有的性質(zhì)是對角線互相平分，

故選：A.

3.某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”

四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（）

111

A.-B.-C.一

246

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)“跳高”“跳遠”“10。米”“400米”四個項目分別為A、3、C、D,畫出樹

狀圖，找到所有情況數(shù)和滿足要求的情況數(shù)，利用概率公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目分別為A、B、C、。，畫

樹狀圖如下：

開始

由樹狀圖可知共有12種等可能情況，他選擇“100米”與“400米”兩個項目即選擇C和。

的情況數(shù)共有2種，

選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率為2=’,

126

故選：C

【點睛】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，正確畫出樹狀圖或列表，找到所有等可能情況

數(shù)和滿足要求情況數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.關(guān)于x的一元二次方程（G-l）x2+x+a2-l=0的一個根是0,則a的值為（）

A.-1B.1C.1或-1D.0.5

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的定義，難度較小，正確掌

握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的定義進行

作答即可.

【詳解】解：因為x的一元二次方程（。-1）/+了+/-1=。的一個根是0,

所以把X=0代入（a-l）x?+x+a"—1=0,

得/一1=0，

解得a=±l,

因為。一1/0,

即awl,

所以a=-1,

故選：A.

5.如果有點/（為,月）、6（工2，兀）、。（鼻，兀）在反比例函數(shù)丁=2（左<o）的圖像上，

如果%>/〉0〉%，則%、%、%的大小關(guān)系是（）

A.%<%<MB.%<%<%C.%<%<%D.不能確

定

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)題意確定反比例函數(shù)圖像所在象限，并確定每個象限內(nèi)圖像的增減性，再利

用%>%>0>%，判斷出每個點所在象限，進而得出結(jié)論.

k

【詳解】解：：反比例函數(shù)y=—（x<0）,

X

...函數(shù)圖像在二、四象限，并且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，

Xj>X2>0>x3,

；.A、8兩點在第四象限，C在第二象限，

y2<y1<0,y3>0,

%<%<%，

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖像所在象限,

并且在每個象限內(nèi)的增減性.

6.拋物線y=at2—a（a，0）與直線y=Ax交于4（%,乂），3（%，%）兩點，若

%]+x2<0,則直線y=av+左一定經(jīng)過（）.

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、

四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件可得出O?-依-a=0,再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可

求出答案.

詳解】解：拋物線丁=以2-。（。。0）與直線y=區(qū)交于A（x”x）,兩點，

kx=ax2-a，

ax2-kx-a=0?

k

...%+%2——，

a

?/+x2<0,

—<0.

a

當a>0,左<0時，直線y=av+左經(jīng)過第一、三、四象限，

當a<0,左>0時，直線丁=辦+左經(jīng)過第一、二、四象限，

綜上所述，y=ax+左一定經(jīng)過一、四象限.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系

公式.

7.如圖，A,B,C,三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將一ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得

到△AC?,則tan?的值為（）

【答案】B

【解析】

【分析】過C點作CDJ_AB,垂足為D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZB^ZB,把求tanB，的問題,

轉(zhuǎn)化為在RtABCD中求tanB.

【詳解】過C點作CDA3,垂足為。

則根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZB'=AB

*?CD1

在RtABCD中，tanB=——=-

BD3

所以tan=tanB=-

3

故選B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法.

8.小華將一副三角板(NC=ZD=90。，ZB=3Q°,NE=45°)按如圖所示的方式擺

放，其中AB〃灰，則N1的度數(shù)為()

D

C\\B

E

A.45°B.60°c.75°D.105°

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出NAGE=NE=45。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即

可.

【詳解】解：如圖：設(shè)AB、ED交于點G,

AB//EF,

：.ZAGF=ZF=45°,

?/ZA=60°,

Z1=180°-ZA-ZAGF=180°-60°-45°=75°.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

9.如圖“WC中，ZACB=90°,AB=4,AC=x,ABAC=a,。為AB中點，若點。為

直線下方一點，且△3CD與一ABC相似，則下列結(jié)論：①若e=45°,8C與。。相

交于E，則點E不一定是△ABZ）的重心；②若c=60°,則A。的最大值為26；③若

a=60°,tABC^.CBD,則。。的長為2百；④若AABCs^BCD,則當x=2時，

AC+CD取得最大值.其中正確的為（）

---------------'C

A.①④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出△A3。的重心，即可求解；當￡=60。，

時，AD取得最大值，進而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得AD的長，即可

求解；③如圖5,若c=60。，△ABCSMBD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得CD=6,

GE=DF=—，CF=-,進而求得0￡),即可求解；④如圖6,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

22

得出在中，602=16—/，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求

4

AC+CD取得最大值時，x=2.

【詳解】①有3種情況，如圖1，和OD都是中線，點E是重心；

如圖2，四邊形ABDC是平行四邊形，P是A。中點，點E是重心；

如圖3,點口不是A。中點，所以點E不是重心；

①正確

②當c=60。，如圖4時AD最大，AB=4,

.AC=BE=2,BC=AE=26,BD=6BC=6,

DE=8,

■■AD=2M豐277,

.?.②錯誤;

ZBCD=60°,ZCDB=9Q°,AB=4,AC=2,BC=26，OE=^，CE=1,

CD=5GE=DF=與,CF=。，

EF=DG=-,OG=B,

22

；?OD=6w2A/3，

③錯誤；

④如圖6,AABCS&BCD,

.CDBC

"BC-AB(

即CD=—1BC?,,

4

在RtZkABC中，BC2=16-x2.

/.CD=1(16-X2)=-1X2+4,

1,1

AC+CD=x——X2+4=——(x—29p+5,

44

當x=2時，AC+CD最大為5,

...④正確.

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì),

分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，關(guān)于X的函數(shù)y的圖象與犬軸有且僅有三個交點，分別是（—3,0）,（—1,0）,（3,0）,

對此，小華認為:①當y>0時，—3<%<—1；②當X>-3時，y有最小值;③點

在函數(shù)y的圖象上，符合要求的點尸只有I個；④將函數(shù)y的圖象向右平移I個或3個單位

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)圖象逐個分析即可.

【詳解】由函數(shù)圖象可得：

當y>o時，—3<x<—1或x>3；故①錯誤；

當了>-3時，y有最小值；故②正確；

點尸（機,一機―1）在直線y=-X—1上，直線y=-X—1與函數(shù)圖象有3個交點，故③錯誤;

將函數(shù)y的圖象向右平移1個或3個單位長度經(jīng)過原點，故④正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.如果a:Z?=3:2,那么里=____.

a-b

【答案】5

【解析】

3

【分析】根據(jù)。:人=3:2可得。=—代入計算即可.

2

【詳解】解：a:b=3:2,

3,

a=-b,

2

35

,,-b+b-b

.a+^=2____=2_=s

"a-b~3.-1,-；

-b]-b—b

22

故答案為：5.

【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)：內(nèi)項之積等于外項之積是解題的關(guān)鍵.

12.現(xiàn)有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個面上都分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,

6,同時投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標的數(shù)字為擲得的結(jié)果，那么所得結(jié)果之和不小于

9的概率是

【答案】

18

【解析】

【分析】直接利用列舉法求概率即可得.

【詳解】依題意，畫樹狀圖如下所示:

第.收19孑123456I234561234S6I23456I234S6I234S6

和2345673456784s67*9567891。6789101178910il12

由圖可知,同時投擲這兩枚骰子，所得結(jié)果之和共有36種，它們每一種出現(xiàn)的可能性都相

等，其中,所得結(jié)果之和不小于9的共有10種

則所求的概率為p=W=W

3618

5

故答案為:

18

【點睛】本題考查了利用列舉法求概率，依據(jù)題意，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵.

13.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人

出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？”意思是：“幾個人一起去購買某物品，每人出8

錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢.問人數(shù)、物品的價格分別是多少？”該問題中

的人數(shù)為.

【答案】7人

【解析】

【分析】設(shè)共有x人，價格為y錢，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解.

【詳解】解：設(shè)共有x人，價格為y錢，依題意得：

8%-3=y

7尤+4=y'

答：物品價格為53錢，共同購買該物品的人數(shù)有7人，

故答案為：7.

【點睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組即可求解.

14.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=3,將ABC繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)到△即。的位置，點8的對應(yīng)點。首次落在斜邊A3上，則點A的運動路徑的長為

【答案】后

【解析】

【分析】首先證明△3CD是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】解：在RtZkABC中，：NACB=90。，/B=60°,BC=3,

AB=2BC=6,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=C4=VAB2-BC2=3A/3，ZACE=ZBCD=90°-ZACD,

CB=CD,

△BCD是等邊三角形，

ZBCD^60°=ZACE,

點A的運動路徑的長為=島.

180

故答案為：小兀.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含30°直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長

公式等知識，解題的關(guān)鍵是證明△3CD是等邊三角形.

k

15.如圖，在平面直角坐標系x0y中，點A,3都在反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖象上，延

長AB交y軸于點C,過點A作軸于點。，連接5D并延長，交》軸于點E，連接

CE.若AB=2BC,的面積是4.5,則上的值為.

【答案】6

【解析】

【分析】過點B作環(huán),AD于點孔連接AE,設(shè)點A的坐標為［］，點8的坐標為\b,,

kkABAF

則AD=a,AF=a—=------,證明ABF^,\ACD,則=----,得到a=3Z?,

baACAD

根據(jù)S.E=2BCE=9,進一步列式即可求出左的值.

【詳解】解：過點8作防，AD于點憶連接AE,設(shè)點A的坐標為，點8的坐標

為(4X],則AO=a,=a——A,

Vb)ba

,：AB=2BC,

.AB2

??一,

AC3

AD_Ly軸于點。,

CD\BF,

AB尸s：ACD,

ABAF

AC-AD)

ABa-b2

ACa3'

a=3b,

AB=2BC,_BCE的面積是4.5,

sABE=2BCE=9,

-ADBF+-ADOD=9,

、1ci(kk\1k八

貝U—3“--------H—3b—=9,

2{b3b)23b

311

即一左一一k+-k=9,

222

解得k=6,

故答案為：6

【點睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出a=3Z?

是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共7小題，共55分）

16-計算:U+4cos60°-（5-7T）°.

【答案】3

【解析】

【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)暴的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)累分別化簡，進而得

出答案.

【詳解】原式=2+4義工—1=3.

2

【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

17.為了深入推動大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國旅游日惠民周活動,

活動主辦方在活動現(xiàn)場提供免費門票抽獎箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)宜

興竹海，B.宜興善卷洞，C.闔閭城遺址博物館，D.錫惠公園.抽獎規(guī)則如下：攪勻后從

抽獎箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費門票.

（1）小明獲得一次抽獎機會，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是.

（2）小亮獲得兩次抽獎機會，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)2門票的概率.

【答案】（1）-

4

⑵-

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；

（2）畫出樹狀圖，得出總的結(jié)果數(shù)和恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)8門票的情況，即可求解.

【小問1詳解】

解：???共有4張相同的卡片且任意抽取一張卡片，記錄后放回，

???每張卡片抽到的概率都是,，

4

設(shè)小明恰好抽到景區(qū)A門票為事件A,則P（A）=-,

4

故答案為：一；

4

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

AAAA

ABCDABCDABCDABCD

，一共有16種等可能的情況，恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況有2種，

，他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率為2=-；

168

【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)

果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗，用到

的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.教室里的投影儀投影時，可以把投影光線C4,CB及在黑板上的投影圖像高度A5抽

象成如圖所示的ABC,ZBAC=9Q°.黑板上投影圖像的高度A5=120cm,CB與AB

的夾角々=33.7。，求AC的長.（結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù)：sin33.7°?0.55,

cos33.7°?0.83,tan33.7°?0.67）

【答案】AC的長約為80cm

【解析】

【分析】在中，由AC=A3Jan33.7。，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

【詳解】解：在RtZXABC中，AB=120,ZBAC^90°,ZB=33.7°,

AC=ABtan33.7°

?120x0.67

=80.4

?80（cm）.

/.AC的長約為80cm.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，熟練的利用銳角的正切求解直角三角形的

邊長是解本題的關(guān)鍵.

19.某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22

元/kg,不高于45元/依，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/依）之

間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式：

（2）當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利

潤是多少？【銷售利潤=（銷售價格一采購價格）x銷售量】

-%+70（22<x<30）

【答案】（1）

-2%+100（30<x<45）

（2）銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450

【解析】

【分析】（1）分224尤V30時，當30<xW45時，分別待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）設(shè)利潤為W,根據(jù)題意當22WXW30時，得出w=—（x—45）2+625,當30<xW45

時，攻=—2（x—35）2+450,

進而根據(jù)分22WxV30時，當30<xW45時，分別求得最大值，即可求解.

【小問1詳解】

當22WxW30時，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為>=履+），將點（22,48）,（30,40）代入得,

22左+1=48

<3Qk+b=40

k=-l

解得:

工=70

/.y=-x+70(22<x<30),

當30<xW45時，設(shè)y關(guān)于X的函數(shù)表達式為丁=左/+偽，將點(30,40),(45,10)代入得,

'45匕+4=10

30%+4=40

k、=—2

解得：1,…

4=ioo

/.y=-2%+100(30<x<45),

_f-x+70(22<x<30)

[-2x+100(30<%<45)

【小問2詳解】

設(shè)利潤為w

當22<x<30時，w—(x—20)(—x+70)=—x2+90x—1400=—(x—45)"+625

:在22WxV30范圍內(nèi)，w隨著x的增大而增大，

.,.當x=30時，卬取得最大值為400；

當30<xW45時，w=(x—20)(—2x+100)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450

.??當x=35時，w取得最大值為450

450>400,

當銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的

關(guān)鍵.

20.課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理;

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了“已知"和''求

證”，請你完成證明過程.

已知：在YABCD中，對角線或），AC,垂足為0.

求證：YABCD是菱形.

rai

（2）知識應(yīng)用：如圖2,在YABCD中，對角線AC和5。相交于點。,

AD=5,AC=8,BD=6.

圖2

①求證：YABCD是菱形;

1OF

②延長至點E,連接0E交于點尸，若NE=—NACD,求——的值.

2EF

【答案】（1）見解析（2）①見解析；②:

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明_405名一C05得出A5=CB,同理可得

DOA^,ODC,則ZM=DC,AB=CD,進而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可

得證；

（2）①勾股定理的逆定理證明△AOD是直角三角形，且N4OD=90。，得出AC13O,即

可得證；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出NE=ZCOE，則OC=OE=工AC=4,過點。作

2

0G//CD文BC于點G，根據(jù)平行線分線段成比例求得CG=!C3=』，然后根據(jù)平行

22

線分線段成比例即可求解.

【小問1詳解】

證明：??,四邊形A3CZ)平行四邊形，

AAO=CO,AB^DC,

?/BD±AC

：.ZAOB=NCOB=9Q。,

在中，

AO=CO

<ZAOB=ZCOB

BO=BO

：.AOB^COB

AB=CB,

同理可得.ODC,則ZM=DC,

又；AB=CD

：.AB=BC=CD=DA

.??四邊形A3CD是菱形；

【小問2詳解】

①證明：..?四邊形A3CD是平行四邊形，AD=5,AC=8,BD=6.

：.DO=BO=-BD=3,AO=CO=-AC=4

22

在△AGO中，AD2=25,A(92+C>D2=32+42=25.

AD2=AO2+OD2，

△AOD是直角三角形，且NAOD=90。，

AC±BD,

四邊形A3c。是菱形；

②：四邊形A3CD是菱形；

ZACB=ZACD

ZE=-ZACD,

2

/.ZE=-ZACB,

2

■:ZACB=NE+NCOE,

:.NE=NCOE,

OC=OE=-AC=4,

2

如圖所示，過點。作OG〃CD交BC于點G,

.BGBO，

??——1,

GCOD

：.CG=-BC=-AD=~,

222

5

：.OF_GC2_5.

EF^CE~4~8

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性

質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

21.定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次

函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù).

【初步理解】

（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①丁=/一1；（2）y=%2-%,其中，為函數(shù)y=xT的

軸點函數(shù).（填序號）

【嘗試應(yīng)用】

（2）函數(shù)y=X+C（C為常數(shù)，c>0）的圖象與X軸交于點A,其軸點函數(shù)丁=。必+法+。

與x軸的另一交點為點,若。3=工。4,求力的值.

4

【拓展延伸】

（3）如圖，函數(shù)y=（/為常數(shù)，t>0）的圖象與x軸、》軸分別交于M,C兩

2

點，在X軸的正半軸上取一點N,使得ON=OC.以線段"N的長度為長、線段的長

度為寬，在無軸的上方作矩形肱VDE.若函數(shù)y=—x+ta為常數(shù)，r>o）的軸點函數(shù)

2

y=/nr?+〃x+f的頂點尸在矩形ACVDE的邊上，求”的值.

【答案】（1）①；（2）6=5或—3；（3）〃=1或〃=w一或n=—

24

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)y=x-i與坐標軸的交點，再判斷這兩個點在不在二次函數(shù)圖象上即

可；

（2）求出函數(shù)丁=%+。與坐標軸的交點，再由。8=,。4求出點B坐標，代入二次函數(shù)解

4

析式計算即可；

（3）先求出C的坐標，再根據(jù)y=+f的頂點P在矩形ACVDE的邊上分類

討論即可.

【詳解】（1）函數(shù)y=xT交x軸于（1,0）,交y軸于

?.?點（1,0）、（0,—1）都在y=好一1函數(shù)圖象上

.,.①y=--1為函數(shù)y=x-l的軸點函數(shù)；

...點（0,—1）不在y=12-X函數(shù)圖象上

.?.②y=x不是函數(shù)y=x-l的軸點函數(shù)；

故答案為：①；

（2）函數(shù)y=%+c交x軸于A（—c,o）,交y軸于（0,。,

:函數(shù)y=%+c的軸點函數(shù)y=以2+bx+c

A（-c,0）和（0,c）都在y=ax2+6x+c上，

Vc>0

:.OA=c

?：OB=LOA,

4

OB=-c

4

?,?小卜可或"+'。］

當卜寸，把A（-c,。）-;c,0）代入y=a/+"+c得

2

Q=J-ac--bc+c

《164,解得8=5,

0=ac2-bc+c

當小：。,0卜寸，把A（-c,0）d；c,0）代入y=ax2+Z?x+c得

L11,

U=——ac2+—bc+c

<164，解得6二—3,

0=ac2-bc+c

綜上，Z?=5或一3；

（3）函數(shù)y=；x+方交不軸于河（一2%,0）,交》軸于C（0,。，

°：ON=OC,以線段MV的長度為長、線段的長度為寬，在工軸的上方作矩形

MNDE

：.7V（r,O）,￡＞（12）,E（-2t,2t）,

???函數(shù)y=gx+%（/為常數(shù)，t>0）的軸點函數(shù)y=+〃％+%

M（一2兀0）和C（0,2）在y=iwc2+rvc+t_L

0=+〃（一2/）+/,整理得4w—2〃+l=0

n=2mt+—

2

/.

nA4mt—n,'2、

，y=加必+〃1+%的頂點尸坐標為----,

2m4m)

函數(shù)y=iwc2+nx+t的頂點尸在矩形MNDE的邊上

...可以分三種情況討論：當尸與加重合時；當P在E￡＞上時；當尸在DN上時;

n三

----二—2t

2m

2

4mt—n丁A，

當P與M重合時，即＜-----------=0,解得n=l；

4m

c1

n=2mt+—

2

-2t<------<t

2m

4mt—n2-1+J?

當P在ED上時，＜-=2t,整理得〃2+2〃一1=0,解得速二J3

4m2

n=2mt+-

2

此時二次函數(shù)開口向下，則相＜0

—2t<-------<t整理得：4mt<n<,

2m

由〃=2mt+—整理得2mt=n——,

22

<n<-

解得,

4

.一］一^/^

??n=----------

2

n

----二t

2m

0<4mt-n2＜2%,整理得2加，=-〃=〃一!，解得〃二,

當尸在ON上時,

4m24

c1

n=2mt+—

2

2mt——

4

此時對稱軸左邊y隨x的增大而增大,

m<0

...0<v2t整理得：8