7.8用空間向量證明平行與垂直

7.8用空間向量證明平行與垂直課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.能用空間向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量2.運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系,能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關(guān)系3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理4.體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異,感悟向量是研究幾何問題的有效工具,體會(huì)向量方法的優(yōu)勢方向向量與法向量通過用空間向量表示直線的方向向量與平面的法向量,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)用空間向量證明平行通過用空間向量判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)用空間向量證明垂直通過用空間向量判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.(概念辨析)下列結(jié)論正確的是().A.直線的方向向量是唯一確定的B.若直線a的方向向量和平面α的法向量平行,則a⊥αC.若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,則a,b,c中至多有一個(gè)零向量D.若a·b<0,則<a,b>是鈍角2.(對接教材)已知A(1,1,1),B(0,2,0),C(2,3,1).則(1)直線BC的一個(gè)方向向量為;

(2)平面ABC的一個(gè)法向量為.

3.(對接教材)在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)平面α經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0,z0),平面α的法向量為n=(A,B,C),則平面α的方程為.

4.(易錯(cuò)自糾)(多選)在正四棱錐PABCD中,M,N,S分別是棱PA,PB,PC上的點(diǎn),且PM=xPA,PN=yPB,PS=zPC,其中x,y,z∈(0,1],則().A.當(dāng)x=y=z時(shí),平面ABCD∥平面MNSB.當(dāng)x=1,y=12,z=1時(shí),PD∥平面C.當(dāng)x=23,y=12,z=13時(shí),點(diǎn)D∈平面MNSD.當(dāng)x=23,y=12時(shí),存在z∈(0,1]5.(真題演練)(浙江卷)如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則().A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1利用空間向量證明平行問題典例1如圖,已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD,B1C的中點(diǎn),利用向量法證明:(1)MN∥平面CC1D1D;(2)平面MNP∥平面CC1D1D.利用空間向量證明平行的方法(1)線線平行:證明兩條直線的方向向量共線.(2)線面平行:①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行;③可在平面α內(nèi)取基向量{e1,e2},證明存在實(shí)數(shù)λ1,λ2,使直線l的方向向量a=λ1e1+λ2e2,然后說明l不在平面α內(nèi)即可.注意:證明線面平行,最后必須加上線不在面內(nèi)的條件.(3)面面平行:①證明兩個(gè)平面的法向量為共線向量;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.訓(xùn)練1如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCD⊥平面ABEF,AB⊥BE,AF∥BE,AB=BE=2,AF=1.求證:AC∥平面DEF.利用空間向量證明垂直問題典例2如圖,在三棱錐PABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求證:AP⊥BC.(2)若M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3,求證:平面AMC⊥平面BMC.利用空間向量證明垂直的方法(1)線線垂直:證明兩條直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零.(2)線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?訓(xùn)練2如圖,正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.用空間向量探究平行與垂直問題典例3如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于點(diǎn)E,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得A1D⊥DC.判斷在線段EB上是否存在一點(diǎn)P,使平面A1DP⊥平面A1BC,若存在,求出EPPB的值;若不存在,請說明理由運(yùn)用空間向量探究立體幾何中平行垂直策略空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題,它無須進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理,只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.探究問題有探究條件和探究結(jié)論兩類問題,一般是“先設(shè)再求,回歸驗(yàn)證”,即假設(shè)存在,設(shè)出參數(shù),綜合已知和結(jié)論列出等式,再求參數(shù),能求出參數(shù)就存在,求不出就不存在.訓(xùn)練3如圖,在四棱錐PABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD為等邊三角形,AD∥BC,AD=CD=2BC=2,E,F分別為棱PD,PB的中點(diǎn).試問棱PC上是否存在點(diǎn)G,使得DG∥平面AEF?若存在,求PGPC的值,若不存在,請說明理由空間向量中的設(shè)點(diǎn)問題在用空間向量解決立體幾何問題時(shí),往往需要設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),但題目中所求點(diǎn)往往是確定在某條線或者某個(gè)平面上的,所以設(shè)成(x,y,z),使用三個(gè)變量比較“浪費(fèi)”,如何恰如其分設(shè)成變量是解題化繁為簡的關(guān)鍵.典例如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥平面PAC,并求出點(diǎn)N到直線AB和AP的距離.1.理念:先設(shè)再求——先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z),再想辦法利用條件求出坐標(biāo).2.解題關(guān)鍵:減少變量數(shù)量——最終所使用變量的個(gè)數(shù)可根據(jù)如下條件判斷:(1)直線(一維)上的點(diǎn):利用平面向量共線定理——若a∥b(b≠0),則?λ∈R,使得a=λb,一個(gè)變量就可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo),通過控制λ的范圍,確定點(diǎn)所在的位置;(2)平面(二維)上的點(diǎn):利用平面向量基本定理——若a,b不共線,則平面上任意一個(gè)向量c,均存在λ,μ∈R,使得c=λa+μb,用兩個(gè)變量就可以表示所求點(diǎn)的坐標(biāo),通過控制λ,μ的范圍,確定點(diǎn)所在的區(qū)域.規(guī)律:維度=所用變量個(gè)數(shù).訓(xùn)練如圖,棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2,∠ABC和∠A1AC均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.一、單選題1.(2023·江蘇常州校級月考)已知空間向量a=(1,2,3),b=(4,2,m),若(a+b)⊥a,則m=().A.143 B.133 C.1132.已知平面α,β的法向量分別為n1=(2,3,5),n2=(3,1,4),則().A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不對3.已知直線a,b的方向向量分別為a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ1,2λ),且a∥b,則λ與μ的值可以是().A.2,12 B.13,12C.3,2 D.24.已知四邊形ABCD滿足AB·BC>0,BC·CD>0,CD·DA>0,DA·AB>0,則該四邊形為().A.平行四邊形 B.梯形C.長方形 D.空間四邊形二、多選題5.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中,正確的是().A.兩條不重合直線l1,l2的方向向量分別是a=(2,3,1),b=(2,3,1),則l1∥l2B.直線l的方向向量a=(1,1,2),平面α的法向量是u=(6,4,1),則l⊥αC.兩個(gè)不同的平面α,β的法向量分別是u=(2,2,1),v=(3,4,2),則α⊥βD.直線l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,5,0),則l∥α6.在四面體PABC中,以下說法正確的有().A.若AD=13AC+23AB,則可知BC=3BDB.若Q為△ABC的重心,則PQ=1C.若PA·BC=0,PC·AB=0,則PB·AC=0D.若四面體PABC各棱長都為2,M,N分別為PA,BC的中點(diǎn),則|MN|=1三、填空題7.若A0,2,198,B1,?1,58,C-2,1,58是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量為a=(x,y,8.在正三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點(diǎn),C1N=λNC,且AB1⊥MN,則實(shí)數(shù)λ的值為四、解答題9.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:平面ADE∥平面B1C1F.10.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥PB