福建省高中數(shù)學聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預賽試題

2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預賽暨2018年福建省高中數(shù)學競賽試卷（考試時間：2018年5月20日上午9：00—11:30，滿分160分）一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分.請直接將答案寫在題中的橫線上）1.將正偶數(shù)集合從小到大按第組有個數(shù)進行分組：，，則位于第組.2.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，則.3.設(shè)復數(shù)滿足，則的最大值為.（為虛數(shù)單位，為復數(shù)的共軛復數(shù)）4.已知定義在上的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，當時，，則.5.從如圖所示的由9個單位小方格組成的方格表的16個頂點中任取三個頂點，則這三個點構(gòu)成直角三角形的概率為.6.如圖，在三棱錐中，都是邊長為的等邊三角形，若二面角的大小為，則三棱錐外接球的面積為.7.已知分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，分別為的重心、內(nèi)心，若軸，則的外接圓半徑.8.最近網(wǎng)絡(luò)上有一篇文章很火.源于一道常見題目：（見圖），這貌似易解的題目，里面竟然蘊藏了深奧的大道理.（本題不作為本次考試的試題，本次試題如下）設(shè)，則的最大值為.9.已知整數(shù)系數(shù)多項式，若，則.10.已知函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，都有成立，且，則.二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分.要求寫出解題過程）11.已知數(shù)列的前項和滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求使成立的最小正整數(shù)的值.12.已知分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且的垂心為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點，過點的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率分別為，若，求直線的方程.13.如圖，在銳角中，是邊上的點，的外心分別為.證明：（1）∽；（2）若，則.14.已知.（1）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是函數(shù)的兩個零點，求證：.15.設(shè)是由有限個正整數(shù)構(gòu)成的集合，且，這里，并對任意的，都有，.已知對任意的，若，則，求集合的元素個數(shù)的最小值.（這里，表示集合的元素個數(shù)）試卷答案一、填空題：1．2.3.4.5.6.7.8.9.10.二、解答題：11.解：（1）由，得．將上述兩式相減，得；①②②，得數(shù)列為等差數(shù)列；又由，及，得，的公差；．解法二：用數(shù)學歸納法（略）注：若猜出，沒有證明，扣5分．（2）由（1）知，由，得，，使得成立的最小正整數(shù)的值為．12.解：設(shè)．由的垂心為，得．，解得．由點在橢圓上，得．結(jié)合，解得．橢圓的方程為．（2）由（1），知若斜率不存在，則由對稱性，，不符合要求若斜率存在，設(shè)為，則的方程為由，得①設(shè)，則又，因此，直線的方程為：，即．13.解：（1）連結(jié)分別為的外心，為線段的垂直平分線．，．∽．（2）連結(jié)，延長與相交于點，由分別為的外心，知分別是線段的垂直平分線．．又，四點共圓，．又，，，四點共圓，．設(shè)的延長線分別與相交于，則四點共圓，又．14.解：（1）設(shè)，則時，不等式恒成立時，恒成立．，時，，在區(qū)間上為增函數(shù)．另由，知．若，則此時，在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，設(shè)為，則時，在區(qū)間上為減函數(shù)，．因此，不符合要求．若，則時，，此時，在上為增函數(shù)．時，．因此，符合要求．由①、②，得的取值范圍為．（2）是函數(shù)的兩個零點，，．不妨設(shè)，易知，聯(lián)立上述兩式，消，得又由（1）知，對，當時，恒成立．當時，恒成立．當時，．，；當時，同理可得：，．15.解：記不妨設(shè)；