2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分28立體幾何多選7旋轉(zhuǎn)體

2024年全國一卷新高考題型細(xì)分28——立體幾何多選7試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時候，答案也會被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個人經(jīng)驗進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)。《立體幾何——多選》按照題目中的幾何體進(jìn)行分類，具體有：線面關(guān)系，其他線面關(guān)系，正方體，棱錐，棱柱，其他多面體，圓柱，圓錐，圓臺，其他旋轉(zhuǎn)體等，大概106道題。圓柱：（多選，2024年冀J02某市二模）10.如圖，在圓柱中，軸截面ABCD為正方形，點F是的上一點，M為BD與軸的交點．E為MB的中點，N為A在DF上的射影，且平面AMN，則下列選項正確的有（【答案】BCD【解析】【分析】利用線面關(guān)系即可判斷A；利用線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，即可判斷BC；利用圖形，結(jié)合垂直關(guān)系和平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.【詳解】A.由題意可知，點是中點，所以點三點共線，所以點平面，所以平面，則直線與平面不平行，故A錯誤；

B.因為平面，平面，所以，且，，且【答案】BCD【解析】【分析】利用線面關(guān)系即可判斷A；利用線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，即可判斷BC；利用圖形，結(jié)合垂直關(guān)系和平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.【詳解】A.由題意可知，點是中點，所以點三點共線，所以點平面，所以平面，則直線與平面不平行，故A錯誤；

B.因為平面，平面，所以，且，，且平面，所以平面，且平面，且平面平面，因為，所以平面，故B正確；

C.由平面，平面，所以，因為軸截面ABCD為正方形，點是的中點，所以，，且平面，所以平面，故C正確；

D.平面，平面，所以，且點是的中點，因為平面，平面，平面平面，所以，所以，且是的中點，所以，且,所以，則，點F是的中點，故D正確；故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查線線，線面，面面的位置關(guān)系，本題的關(guān)鍵是能從幾何體中抽象出線線，線面的位置關(guān)系，以及根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系.（多選，2024年蘇J38航附五月測）11．如圖圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

11．AD【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.【詳解】對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設(shè)為點到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點，四面體CDEF的體積，B錯誤；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心11．AD【分析】根據(jù)給定的條件，利用球、圓柱的體積公式計算判斷A；利用建立函數(shù)關(guān)系判斷B；求出球心O到平面DEF距離的最大值判斷C；令點P在圓柱下底面圓所在平面上的投影點為Q，設(shè)，利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系，求出值域作答.【詳解】對于A，球的體積為，圓柱的體積，則球與圓柱的體積之比為，A正確；對于B，設(shè)為點到平面的距離，，而平面經(jīng)過線段的中點，四面體CDEF的體積，B錯誤；對于C，過作于，如圖，而，則，又，于是，設(shè)截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，則，又，則平面DEF截球的截面圓面積，C錯誤；對于D，令經(jīng)過點P的圓柱的母線與下底面圓的公共點為Q，連接，當(dāng)與都不重合時，設(shè)，則，當(dāng)與之一重合時，上式也成立，因此，，則，令，則，而，即，因此，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：AD【點睛】思路點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.（多選，2024年湘J42岳陽三檢）11．如圖，四邊形是圓柱的軸截面且面積為2，四邊形繞逆時針旋轉(zhuǎn)到四邊形，則（

11．ABD【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，由已知可得，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式判斷A，由條件，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，由此證明，判斷B，由條件求四面體的外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式和基本不等式求其最小值，判斷C，由條件利用表示，由此可得，解不等式求范圍，判斷D.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，因為四邊形是圓柱的軸截面所以，因為四邊形的面積為2，所以，即所以圓柱的側(cè)面積，A正確，因為為圓的直徑，所以，又平面，平面，所以，又平面11．ABD【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，由已知可得，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式判斷A，由條件，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，由此證明，判斷B，由條件求四面體的外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式和基本不等式求其最小值，判斷C，由條件利用表示，由此可得，解不等式求范圍，判斷D.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，因為四邊形是圓柱的軸截面所以，因為四邊形的面積為2，所以，即所以圓柱的側(cè)面積，A正確，因為為圓的直徑，所以，又平面，平面，所以，又平面，，所以平面，平面，所以，B正確；因為，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，因為，，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以四面體的外接球表面積最小值為，C錯誤，因為，，，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，所以，D正確，故選：ABD.【點睛】知識點點睛：本題考查圓柱的側(cè)面積的求法，線面垂直的判定定理，多面體的外接球問題，空間中兩點距離問題，屬于綜合題，綜合考查學(xué)生直觀想象能力，邏輯推理能力，要運算求解能力.（多選，2024年魯J07淄博一模，末，冀J29邢臺二模）11.把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，，P為線段上的動點，E為線段上的動點，MN為過點的下底面的一條動弦(不與AB重合)，則下列選項正確的是（【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)平面時，可得，確定點位置判斷選項A；幾何法求三棱錐外接球的半徑，計算表面積判斷選項B；令，得，由求最大值判斷選項C；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，求結(jié)果判斷選項D.【詳解】由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，得分別是中點，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當(dāng)平面時，平面，平面平面，則，有，中，是中點，則為的中點，A選項正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)平面時，可得，確定點位置判斷選項A；幾何法求三棱錐外接球的半徑，計算表面積判斷選項B；令，得，由求最大值判斷選項C；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，求結(jié)果判斷選項D.【詳解】由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，得分別是中點，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當(dāng)平面時，平面，平面平面，則，有，中，是中點，則為的中點，A選項正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，，則平面，三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，B選項錯誤；點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，令，則，又，則，，，，由橢圓性質(zhì)知，則當(dāng)或時，的最大值為，C選項正確；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，，令，且，則，，當(dāng)時，有最大值，在下底面內(nèi)以為原點，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且，則橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，，，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：本題是解析幾何與立體幾何的綜合問題，解析幾何部分要用好橢圓的定義、方程和性質(zhì)，確定圖形中各點的位置，利用韋達(dá)定理解決弦長；橢圓中立體幾何部分要用好幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面平行的性質(zhì)得線線平行，幾何法解決外接球問題，幾何法求線面角.圓錐：（多選，2024年粵J127汕頭二模）11．用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，也即圓錐曲線.探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓錐軸截面的頂角為時，若截面與軸所成的角為，則截口曲線的離心率.例如，當(dāng)時，，由此知截口曲線是拋物線.如圖，圓錐中，、分別為、的中點，、為底面的兩條直徑，且、，.現(xiàn)用平面（不過圓錐頂點）截該圓錐，則（11．BCD【分析】根據(jù)情境，由題可知，再對每個選項，求出過點的平面與旋轉(zhuǎn)軸所成角的余弦，即的值，代入求值，從而利用離心率的范圍判斷截口曲線類型即可．【詳解】對于A，由題意知過MN的平面與底面不平行，則截口曲線不為圓，故A錯誤；對于B，與所成的角為，所以，因為，所以，即，所以，所以平面截該圓錐得的截口曲線為橢圓或橢圓的一部分，故B正確；對于C，因為平面，平面，所以，因為，，SOD，所以平面SOD，又因為平面SOD，所以又為、的中點，所以，平面MAB，所以平面MAB，所以與SO11．BCD【分析】根據(jù)情境，由題可知，再對每個選項，求出過點的平面與旋轉(zhuǎn)軸所成角的余弦，即的值，代入求值，從而利用離心率的范圍判斷截口曲線類型即可．【詳解】對于A，由題意知過MN的平面與底面不平行，則截口曲線不為圓，故A錯誤；對于B，與所成的角為，所以，因為，所以，即，所以，所以平面截該圓錐得的截口曲線為橢圓或橢圓的一部分，故B正確；對于C，因為平面，平面，所以，因為，，SOD，所以平面SOD，又因為平面SOD，所以又為、的中點，所以，平面MAB，所以平面MAB，所以與SO所成的角為，所以，，故C正確；對于D，

截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則，所以平面，故平面不經(jīng)過原點O，故D正確．故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是理解截口曲線（圓錐曲線）的離心率的定義，根據(jù)情境，由題可知，再對每個選項，求出過點的平面與旋轉(zhuǎn)軸所成角的余弦，即的值，代入求值，從而利用離心率的范圍判斷截口曲線類型即可．（多選，2024年閩J02廈門二檢）10.如圖1，扇形的弧長為，半徑為，線段上有一動點，弧上一點是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以為頂點的圓錐，使得和重合，則在圖2的圓錐中（【答案】BCD【解析】【分析】求得圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可判斷A；設(shè)M在底面上的投影為H，利用余弦定理求得投影的長，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；結(jié)合，可求得的長，即可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，由題意知，圓錐的母線長為，故，故圓錐體積為，A錯誤；對于B，當(dāng)為中點時，設(shè)M在底面上的投影為H，則H為的中點，【答案】BCD【解析】【分析】求得圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可判斷A；設(shè)M在底面上的投影為H，利用余弦定理求得投影的長，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；結(jié)合，可求得的長，即可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，由題意知，圓錐的母線長為，故，故圓錐體積為，A錯誤；對于B，當(dāng)為中點時，設(shè)M在底面上的投影為H，則H為的中點，則為線段在底面的投影，，而，在中，，即，即線段在底面的投影長為，B正確；對于C，作于T，作于，連接，設(shè)圓錐底面直徑為，由于，即，則，，則為正三角形，故T為的中點，則，故，即為的四等分點，由于平面底面，平面底面，底面，，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，故當(dāng)M與重合時，，C正確；對于D，由C的分析知，，而，故，D正確，故選：BCD（多選，2024年湘J45長沙一中一模）9．已知一圓錐的底面半徑為，該圓錐的母線長為2，A，B為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則下列說法正確的是（

9．ABD【分析】求出底面圓周期判斷A；求出圓錐的高并求出體積判斷B；展開半圓錐的側(cè)求出弦長判斷C；求出軸截面頂角，再求出截面最大值判斷D.【詳解】對于A，圓錐底面圓周長為，而圓錐側(cè)面展開圖扇形半徑為2，所以側(cè)面展開圖的圓心角為，A正確；對于B，圓錐的高，因此圓錐的體積，B正確；對于C，依題意，將半圓錐的側(cè)面展開，如圖，則從A點經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點的最短距離為，C錯誤；對于D，圓錐軸截面頂角為，則，，則圓錐軸截面頂角為，因此過該圓錐的頂點的圓錐截面等腰三角形頂角，此截面三角形積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：ABD）9．ABD【分析】求出底面圓周期判斷A；求出圓錐的高并求出體積判斷B；展開半圓錐的側(cè)求出弦長判斷C；求出軸截面頂角，再求出截面最大值判斷D.【詳解】對于A，圓錐底面圓周長為，而圓錐側(cè)面展開圖扇形半徑為2，所以側(cè)面展開圖的圓心角為，A正確；對于B，圓錐的高，因此圓錐的體積，B正確；對于C，依題意，將半圓錐的側(cè)面展開，如圖，則從A點經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點的最短距離為，C錯誤；對于D，圓錐軸截面頂角為，則，，則圓錐軸截面頂角為，因此過該圓錐的頂點的圓錐截面等腰三角形頂角，此截面三角形積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：ABD（多選，2024年魯J30泰安二模）10．已知圓錐的頂點為，為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為2，與圓錐底面所成的角為，則下列說法正確的是（10．ACD【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐的母線長，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項；利用圓錐的體積公式可判斷B選項；利用扇形的弧長公式可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則，所以與圓錐底面所成的角為，又，所以的面積為，解得，所以該圓錐的高為，故A正確；對于B選項，該圓錐的底面半徑為，故該圓錐的體積為，故B錯誤；對于C選項，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，底面圓周長為，則，故C正確；對于D選項，取的中點，連接，因為，10．ACD【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐的母線長，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項；利用圓錐的體積公式可判斷B選項；利用扇形的弧長公式可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則，所以與圓錐底面所成的角為，又，所以的面積為，解得，所以該圓錐的高為，故A正確；對于B選項，該圓錐的底面半徑為，故該圓錐的體積為，故B錯誤；對于C選項，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，底面圓周長為，則，故C正確；對于D選項，取的中點，連接，因為，為的中點，則，由垂徑定理可得，所以二面角的平面角為，因為平面，平面，則，因為，，則為等腰直角三角形，則，所以，所以，，因為，故，即二面角的大小為，故D正確.故選：ACD.（多選，2024年粵J35中山一中二調(diào)）11.斜圓錐顧名思義是軸線與底面不垂直的類似圓錐的錐體．如圖，斜圓錐的底面是半徑為2的圓，為直徑，是圓周上一點，且滿足．斜圓錐的頂點滿足與底面垂直，是中點，是線段上任意一點．下列結(jié)論正確的是（【答案】ACD【解析】【分析】A選項，當(dāng)為中點時，可證明；B選項，若可得出與已知位置關(guān)系矛盾；C選項，已知條件可得，再證，可得平面；D選項，由，，求出棱錐的高即可得最大體積.【詳解】當(dāng)為中點時，為中點，連接，則有，平面，平面，平面，，，為中點，，平面，，平面，平面，【答案】ACD【解析】【分析】A選項，當(dāng)為中點時，可證明；B選項，若可得出與已知位置關(guān)系矛盾；C選項，已知條件可得，再證，可得平面；D選項，由，，求出棱錐的高即可得最大體積.【詳解】當(dāng)為中點時，為中點，連接，則有，平面，平面，平面，，，為中點，，平面，，平面，平面，，A選項正確；點在劣弧上，平面，平面，平面，與可能相交可能異面，因為，若，則，這與與或者相交或者異面矛盾，B選項錯誤；，，為等邊三角形，．，，`當(dāng)時，由，，得，則有，，為直徑，是圓周上一點，，平面，平面，，平面，，則平面，平面，，，平面，所以平面，C選項正確，，由C選項知，D點到平面的距離(即D點到平面的距離)為，，因此，D選項正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：空間幾何體中的線面位置關(guān)系，要充分結(jié)合幾何體和圖形結(jié)構(gòu)，而三棱錐的體積，要利用好等體積法.（多選，2024年粵J136茂名高州一模）12．如圖，已知圓錐頂點為，其軸截面是邊長為2的為等邊三角形，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），是球與圓錐母線的交點，是底面圓弧上的動點，則（

12．ACD【分析】對A，根據(jù)相切求出球的半徑，再利用球的體積公式即可；對B，寫出體積表達(dá)式并結(jié)合基本不等式即可判斷；對C，設(shè)，寫出的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值；對D，利用等體積法求出到平面，再求出截面積即可.【詳解】選項A，如圖，設(shè)底面圓心為，則，，，因為是邊長為2的為等邊三角形，則，為中點，則球的半徑球的體積為，故A正確.選項，作，因為面，，所以底面，，，故B錯誤.選項C，設(shè)，，...，設(shè)，則令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，則，易知12．ACD【分析】對A，根據(jù)相切求出球的半徑，再利用球的體積公式即可；對B，寫出體積表達(dá)式并結(jié)合基本不等式即可判斷；對C，設(shè)，寫出的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值；對D，利用等體積法求出到平面，再求出截面積即可.【詳解】選項A，如圖，設(shè)底面圓心為，則，，，因為是邊長為2的為等邊三角形，則，為中點，則球的半徑球的體積為，故A正確.選項，作，因為面，，所以底面，，，故B錯誤.選項C，設(shè)，，...，設(shè)，則令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，則，易知在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞減，且，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；，故C正確.選項，當(dāng)為中點時，，由，，，得..設(shè)點到平面的距離為，，，，代入數(shù)據(jù)解得.截面面積為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題C選項的關(guān)鍵是設(shè)設(shè)，，結(jié)合余弦定理和勾股定理求出線段和表示式，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.圓臺：（多選，2024年蘇J09徐州適應(yīng)）10.已知圓臺的上、下底面直徑分別為2，6，高為，則（【答案】BC【解析】【分析】對于A：直接利用公式求解；對于B：先求出外接球半徑，再利用體積公式求解；對于C：通過軸截面的周長最大來求解；對于D：用面積公式求表面積.【詳解】由已知得圓臺的上下底面半徑分別為，對于A：圓臺的體積為，A錯誤；對于B：如圖是圓臺的軸截面，外接球球心為，設(shè)外接球半徑為，當(dāng)球心在梯形【答案】BC【解析】【分析】對于A：直接利用公式求解；對于B：先求出外接球半徑，再利用體積公式求解；對于C：通過軸截面的周長最大來求解；對于D：用面積公式求表面積.【詳解】由已知得圓臺的上下底面半徑分別為，對于A：圓臺的體積為，A錯誤；對于B：如圖是圓臺的軸截面，外接球球心為，設(shè)外接球半徑為，當(dāng)球心在梯形內(nèi)時，，解得，當(dāng)球心在梯形外時，，方程無解，所以外接球的表面積，B正確；對于C：用過任意兩條母線的平面截該圓臺所得截面周長，其中軸截面的周長最大，又母線長為，則最大周長為，C正確；對于D：如圖：挖去以該圓臺上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為，D錯誤.故選：BC.（多選，2024年冀J11衡水一模，末）11.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足.下列說法正確的是（【答案】AB【解析】【分析】求出圓臺的高可判斷A；由圓臺的表面積和體積公式可判斷B，C；由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓可判斷D.【詳解】對于A，由，可得高，則圓臺軸截面ABCD的面積為，故A正確；對于B，圓臺的側(cè)面積為，又，【答案】AB【解析】【分析】求出圓臺的高可判斷A；由圓臺的表面積和體積公式可判斷B，C；由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓可判斷D.【詳解】對于A，由，可得高，則圓臺軸截面ABCD的面積為，故A正確；對于B，圓臺的側(cè)面積為，又，，所以，故B正確；對于C，圓臺的體積為，故C錯誤；對于D，若圓臺存在內(nèi)切球，則必有軸截面ABCD存在內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓，故D錯誤，故選：AB.其他旋轉(zhuǎn)體：（多選，2024年湘J49長沙長郡三模）11．已知平面平面，且均與球相交，得截面圓與截面圓為線段的中點，且，線段與