2022屆甘肅省酒泉市重點(diǎn)中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．拋物線方程為，一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（）A． B． C． D．3．已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（）A． B． C． D．04．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．45．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1606．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A． B．C． D．8．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．9．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A．或 B． C． D．或10．《九章算術(shù)》“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn)，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時(shí)，如圖：記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．176411．第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在中國(guó)武漢舉行，中國(guó)隊(duì)以133金64銀42銅位居金牌榜和獎(jiǎng)牌榜的首位.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地提供服務(wù)，要求每個(gè)人都要被派出去提供服務(wù)，且每個(gè)場(chǎng)地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．12．設(shè)，是非零向量，若對(duì)于任意的，都有成立，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則的最小值是______.14．函數(shù)的極大值為_(kāi)_____.15．給出以下式子：①tan25°+tan35°tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；③其中，結(jié)果為的式子的序號(hào)是_____.16．下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個(gè)人做進(jìn)一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為的前n項(xiàng)和，求證：.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求最大時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程.19．（12分）已知橢圓（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，、、為橢圓上不同的三點(diǎn)，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線、的斜率都存在，求證：為定值；（2）求的取值范圍．20．（12分）已知矩形紙片中，，將矩形紙片的右下角沿線段折疊，使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊上，記該點(diǎn)為E，且折痕的兩端點(diǎn)M，N分別在邊上.設(shè)，的面積為S.（1）將l表示成θ的函數(shù)，并確定θ的取值范圍；（2）求l的最小值及此時(shí)的值；（3）問(wèn)當(dāng)θ為何值時(shí)，的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.21．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求證：對(duì)于任意，.22．（10分）對(duì)于非負(fù)整數(shù)集合（非空），若對(duì)任意，或者，或者，則稱為一個(gè)好集合．以下記為的元素個(gè)數(shù)．（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結(jié)論即可）（2）求出所有滿足的好集合．（同時(shí)說(shuō)明理由）（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2．A【解析】

設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，所以直線的斜率為2，又過(guò)點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解：設(shè)，∴，又，兩式相減得：，∴，∴，∴直線的斜率為2，又∴過(guò)點(diǎn)，∴直線的方程為：，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題，解題方法是“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系．3．B【解析】

根據(jù)題意可得，利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩(shī)A角為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，是基礎(chǔ)題.6．B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過(guò)做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過(guò)分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.7．C【解析】

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】對(duì)于，，是偶函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，定義域?yàn)?，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又時(shí)，.綜上，對(duì)，都有，是奇函數(shù).又時(shí)，是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸，在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，但，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．C【解析】試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn)：純虛數(shù)10．A【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場(chǎng)地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12．D【解析】

畫(huà)出，，根據(jù)向量的加減法，分別畫(huà)出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長(zhǎng)最小的向量，如圖，當(dāng)，即時(shí)，最小，滿足，對(duì)于任意的，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點(diǎn)到直線的距離最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．8【解析】

利用的代換，將寫(xiě)成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)），所以最小值為.【點(diǎn)睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開(kāi)后利用基本不等式求解，注意取等號(hào)的條件.14．【解析】

先求函的定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值點(diǎn)，即可求出函數(shù)的極大值．【詳解】函數(shù)，，，令得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值，極大值為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用．15．①②③【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】①∵tan60°＝tan（25°+35°），tan25°+tan35°tan25°tan35°；tan25°tan35°，，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°；③tan（45°+15°）＝tan60°；故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.16．32【解析】

由已知可得抽取的比例，計(jì)算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）利用與的關(guān)系即可求解.（2）利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】解析：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，可得，又∵當(dāng)時(shí)也成立，；（2），【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點(diǎn)，最大值為圓的直徑，直線過(guò)圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因?yàn)?，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€（t為參數(shù)）表示的是過(guò)點(diǎn)的直線，曲線C的普通方程為，所以當(dāng)最大時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）首先根據(jù)題中條件求出橢圓方程，設(shè)、、點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)利用坐標(biāo)表示出即可得證；（2）設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示出，即可求出范圍.【詳解】（1）依題有，所以橢圓方程為．設(shè)，，，由為的重心，；又因?yàn)?，，，，?）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)：，，，代入橢圓得，，，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)：設(shè)直線為，這里，由，，根據(jù)韋達(dá)定理有，，，故，代入橢圓方程有，又因?yàn)椋C上，的范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的求解，三角形重心的坐標(biāo)關(guān)系，直線與橢圓所交弦長(zhǎng)，屬于一般題.20．（1）（2），的最小值為.（3）時(shí)，面積取最小值為【解析】

（1）,利用三角函數(shù)定義分別表示,且,即可得到關(guān)于的解析式；,,則,即可得到的范圍；（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,設(shè)為,令,則,即可設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的最大值,進(jìn)而求解；（3）由題,,則,設(shè),,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,即可求得的最小值.【詳解】解:（1）,故.因?yàn)?所以，,所以,又,,則,所以,所以（2）記,則,設(shè),,則,記,則,令,則,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí)取最小值,此時(shí),的最小值為.（3）的面積,所以,設(shè),則,設(shè),則,令,,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng),即時(shí),面積取最小值為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查運(yùn)算能力.21．（Ⅰ），（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn)，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上，列出方程組，求出，值；（2）首先