2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-1 基本計(jì)數(shù)原理

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第五章計(jì)數(shù)原理

§1基本計(jì)數(shù)原理

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理

1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理

1.3基本計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一分類加法計(jì)數(shù)原理

1.（2020重慶期末）完成一項(xiàng)工作,有兩種方法,有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法,另外

有4個(gè)人只會(huì)用第二種方法,從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作,則不同的選

法共有（）

A.5種B.4種C.9種D.45種

2.（2020福建泰寧第一中學(xué)月考）李雷和韓梅梅兩人都計(jì)劃在國(guó)慶節(jié)的7天假期

中到東亞文化之都一一泉州參加兩日游,若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出

游的不同方案共有（）

A.16種B.18種C.20種D.24種

3.（2020天津?qū)毜制谥校┯?,3,5,7中的任意一個(gè)數(shù)作分子,2,4,8,9中的任意一

個(gè)數(shù)作分母,則可構(gòu)成真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

題組二分步乘法計(jì)數(shù)原理

4.（2020湖南永州期末）某縣政府為了加大對(duì)一貧困村的扶貧力度,研究決定將6

名優(yōu)秀干部安排到該村進(jìn)行督導(dǎo)巡視,周一至周四這四天各安排1名，周五安排2

名，每名干部只去一天,則不同的安排方法共有（）

A.320種B.360種C.370種D.390種

5.（2020山東煙臺(tái)第一中學(xué)月考）現(xiàn)用4種不同的顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)

行著色,要求4種顏色都用，則不同的著色方法共有（）

A.24種B.30種C.36種D.48種

6.（2020重慶巴蜀中學(xué)月考）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)

只能去一個(gè)場(chǎng)館,則不同的安排方法共有（）

A.729種B.726種

C.543種D.540種

7.（2020河南平頂山一模）已知集合M={l,-2,3},N={-4,5,6,-7},從集合M,N中

任選兩個(gè)元素作為點(diǎn)（a,b）的坐標(biāo),則這樣的點(diǎn)（a,b）在平面直角坐標(biāo)系中可表示

第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.24B.18C.14D.6

8.（2020山東東營(yíng)一中期末）從集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取兩個(gè)不同的數(shù)分

別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù),可得到多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？

題組三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

9.從0,1,2,3,4中選取三個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù),其中偶數(shù)有（）

A.27個(gè)B.30個(gè)C.36個(gè)D.60個(gè)

10.（2021河南信陽模擬）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相,每一個(gè)人的出生年份對(duì)

應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一

種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛

和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)每個(gè)吉祥物都喜歡，若三位同學(xué)對(duì)選取的禮

物都滿意，則不同的選法有（）

A.30種B.50種C.60種D.90種

11.（多選）（2020北京第六十六中學(xué)期中）某校實(shí)行選科走班制度,張毅同學(xué)選擇

的是地理、生物、政治這三科，且生物在B層班級(jí)，該校周一上午選科走班的課

程安排如下表所示,張毅選擇三個(gè)科目的課各上一節(jié),另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說

法正確的是（）

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)

地理化學(xué)A地理化學(xué)A

1班層3班2班層4班

生物A化學(xué)B生物B歷史B

層1班層2班層2班層1班

物理A生物A物理A生物A

層1班層3班層2班層4班

物理B生物B物理B物理A

層2班層1班層1班層4班

政治物理A政治政治

1班層3班2班3班

A.此人有4種不同的選課方式

B.此人有5種不同的選課方式

C.自習(xí)課不可能安排在第2節(jié)

D.自習(xí)課可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

12.(2020山東青島二中期末)如圖,在由開關(guān)組A與B組成的電路中，閉合開關(guān)使

燈發(fā)光的方法有種.

48g

-------Il-----1

13.某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán),其中高一年級(jí)13人,高二年級(jí)12

人,高三年級(jí)9人.

⑴選其中一人為負(fù)責(zé)人,有多少種不同的選法？

(2)每個(gè)年級(jí)各選一名組長(zhǎng),有多少種不同的選法？

(3)選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人,這兩人需要來自不同的年級(jí)，有多少種不同的選法？

能力提升練

題組兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

1.（2020湖北宜昌期末）如果一個(gè)三位正整數(shù)如“aaa」?jié)M足aDa2,且azVa3,則

稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如102,434,725等），那么所有凹數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.240B.285

C.729D.920

2.（2020安徽合肥月考）周六晚上,小紅和爸爸、媽媽、弟弟一起去看電影，訂購(gòu)

的4張電影票恰好在同一排且連在一起,為安全起見,每個(gè)孩子至少有一側(cè)有家

長(zhǎng)陪坐，則不同的坐法種數(shù)為（）

A.8B.12C.16D.20

3.一個(gè)非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對(duì)（x,y）,如果在做x與y的加法時(shí)不用進(jìn)位,則稱（x,y）

為“中國(guó)夢(mèng)數(shù)對(duì)"，x+y稱為“中國(guó)夢(mèng)數(shù)對(duì)"（x,y）的和，則和為2018的“中國(guó)

夢(mèng)數(shù)對(duì)"的個(gè)數(shù)為.

4.按照下列要求給如圖所示的A,B,C,D涂色.

ABCD

⑴選用3種不同顏色給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色,且相鄰區(qū)域不同色,若按從左到

右依次涂色,有多少種不同的涂色方案？

⑵若恰好用3種不同顏色給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色,且相鄰區(qū)域不同色,共有多

少種不同的涂色方案？

⑶若用3種不同顏色中的2種涂完四個(gè)區(qū)域,且相鄰區(qū)域不同色,共有多少種不

同的涂色方案？

5.假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)情況如下表所示.該市有

甲、乙、丙三人計(jì)劃在未來六天（4月24日?4月29日）內(nèi)選擇一天出游,在①甲

只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的一天出游;②乙不選擇4月27日出游;③丙不選擇4月24

日出游;④甲與乙不選擇同一天出游這四個(gè)條件中任選其中三個(gè),求這三人出游

的不同方法的種數(shù).

未來六天空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)

4月4月4月4月4月4月

24日25日26日27日28日29日

優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C因?yàn)橹粫?huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選法,

只會(huì)用第二種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選法，因此一共

有5+4=9種選法.

2.C國(guó)慶節(jié)共7天，設(shè)7天分別為①②③④⑤⑥⑦,相鄰兩天的組合一共有6

種情況:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,分兩類情況討論即可.若李雷選

①②或⑥⑦,則韓梅梅有4種選擇,若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥,則韓梅

梅有3種選擇,故他們不同一天出現(xiàn)在泉州的不同方案共有2X4+4X3=20種,

故選C.

3.D分四類:①當(dāng)分子為1時(shí),有;,：,小共4個(gè)真分?jǐn)?shù);②當(dāng)分子為3時(shí),有

2489

7,|,|三,共3個(gè)真分?jǐn)?shù);③當(dāng)分子為5時(shí),有J,I，共2個(gè)真分?jǐn)?shù);④當(dāng)分子為7

489389

時(shí)，有:，9,共2個(gè)真分?jǐn)?shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,知可構(gòu)成4+3+2+2=11個(gè)真

分?jǐn)?shù).故選D.

4.B周一有6種安排方法,周二有5種安排方法,周三有4種安排方法，周四

有3種安排方法,周五有1種安排方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可知不同的安排

方法共有6X5X4X3X1=360種.故選B.

5.A①給C塊著色,有4種方法;②給A塊著色,有3種方法;③給B塊著色，

有2種方法;④給D塊著色有1種方法（因?yàn)橐?種顏色都用）.由分步乘法

計(jì)數(shù)原理知,共有4X3X2X1=24種不同的著色方法,故選A.

6.A每名同學(xué)只能去一個(gè)場(chǎng)館，同學(xué)不可剩余,把同學(xué)當(dāng)成主體,首先從6名

同學(xué)中選1名到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館,方法有3種,然后從剩下的5名同學(xué)中

選1名到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館,方法有3種，依次類推,6名同學(xué)去甲、乙、丙

三個(gè)場(chǎng)館做志愿者的不同的安排方法共有36=729種.

易錯(cuò)警示本題的難點(diǎn)在于找不到主體，不知道是從場(chǎng)館還是同學(xué)入手分析，

分不清是3,還是6\題目中的6名同學(xué)去甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名

學(xué)生只能去一個(gè)場(chǎng)館，說明6名同學(xué)可以都去一個(gè)場(chǎng)館，且同學(xué)不能剩余，所以

從同學(xué)入手分析,把6名同學(xué)當(dāng)成主體,一個(gè)一個(gè)分析即可.

7.A因?yàn)镸,N中元素互不相同,可看成是從P={1,-2,3,-4,5,6,-7}中任選2

個(gè)元素,b有4種選擇,a有6種選擇,所以共有4X6=24個(gè).

陷阱分析從集合M,N中任選兩個(gè)元素作為點(diǎn)（a,b）的坐標(biāo)是指可以從M中選

兩個(gè)元素，可以從N中選兩個(gè)元素，或者從M,N中各任選一個(gè)元素，同時(shí)，并沒

有限定集合M中選擇的元素就是a,集合B中選擇的元素就是b,不要遺漏了任

何一種情況.

8.解析第一步，取底數(shù)，有8種取法；

第二步,取真數(shù),有7種取法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共得到8X7=56個(gè)對(duì)數(shù).

但在這些對(duì)數(shù)中，Iog24=log39,Iog42=log93,Iog23=log49,Iog32=log94,所以可以

得到56-4=52個(gè)不同的對(duì)數(shù)值.

9.B分0在末位與2或4在末位兩種情況討論.當(dāng)0在末位時(shí),前兩個(gè)位置中

第一個(gè)位置有4種選法,第二個(gè)位置有3種選法,所以組成的三位偶數(shù)有

4義3=12個(gè)；當(dāng)0不在末位時(shí),2或4在末位有2種選法,前兩個(gè)位置中第一個(gè)

位置有3種選法,第二個(gè)位置有3種選法,所以組成的三位偶數(shù)有2X3X3=18

個(gè),所以從0,1,2,3,4中選取三個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù),其中偶數(shù)有

12+18=30個(gè)，故選B.

10.B①若甲同學(xué)選擇牛,則乙同學(xué)有2種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的

選法種數(shù)為2X10=20;

②若甲同學(xué)選擇馬,則乙同學(xué)有3種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種

數(shù)為3X10=30.

綜上,總共有20+30=50種不同的選法.

故選B.

11.BD由于生物在B層班級(jí),所以只能選第2或第3節(jié),故分兩類：

若生物選第2節(jié),則地理可安排在第1、3節(jié)，有2種選法,其他任意選即可,故

有2X2=4種(此種情況自習(xí)課可出現(xiàn)在第1、3、4節(jié)中的某節(jié))；

若生物選第3節(jié),則地理只能選第1節(jié),政治只能選第4節(jié)，自習(xí)只能選在第2

節(jié),故有1種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有4+1=5種不同的選課方式.由以上分析可知，

自習(xí)課可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).

12.答案21

解析分兩步:第1步,A組開關(guān)閉合一個(gè),有2種閉法,A組開關(guān)閉合2個(gè),有

1種閉法;第2步,B組開關(guān)閉合1個(gè)，有3種閉法,B組開關(guān)閉合2個(gè)，有3種

閉法,B組開關(guān)閉合3個(gè)，有1種閉法.此時(shí)共有(2+1)X(3+3+1)=21種閉法.

13.解析(1)根據(jù)題意，選其中一人為負(fù)責(zé)人,可分為3類.

第1類:選出的是高一學(xué)生,有13種選法；

第2類:選出的是高二學(xué)生,有12種選法；

第3類:選出的是高三學(xué)生,有9種選法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有13+12+9=34種不同的選法.

(2)根據(jù)題意,共分為3步.

第1步:從高一學(xué)生中選出1人，有13種選法；

第2步:從高二學(xué)生中選出1人，有12種選法；

第3步:從高三學(xué)生中選出1人，有9種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,共有13X12X9=1404種不同的選法.

(3)根據(jù)題意,可分為3類.

第1類:選出的是高一、高二學(xué)生,有13X12=156種選法；

第2類:選出的是高一、高三學(xué)生，有13X9=117種選法；

第3類:選出的是高二、高三學(xué)生，有12X9=108種選法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有156+117+108=381種不同的選法.

能力提升練

1.B因?yàn)閍i>a2,且a2<a3,所以對(duì)a2進(jìn)行分類考慮.若a2=0,則百位數(shù)字可選

1,2,3,…,8,9,共9個(gè),個(gè)位數(shù)字可選1,2,3,…,8,9,共9個(gè)，共9之個(gè);若az=l,

則百位數(shù)字可選2,3,…,8,9,共8個(gè),個(gè)位數(shù)字可選2,3,…,8,9,共8個(gè)，共82

個(gè);……；若a?=8,則百位數(shù)字只能選9,個(gè)位數(shù)字只能選9,共「?jìng)€(gè).所以所有

凹數(shù)有92+82+72+-+22+12=81+64+49+-+4+1=285個(gè)，故選B.

拓展公式1+2+3+-+(n-1)+n=^^,12+22+32+-+(n-

3333

l￥+n二迎I股吐？P+2+3+-+(n-l)+n=^^(nGN.).

64

2.C先計(jì)算出所有情況,第一個(gè)位置有4種坐法,第二個(gè)位置有3種坐法,第

三個(gè)位置有2種坐法，第四個(gè)位置有1種坐法,共有4義3義2義1=24種坐法，再

減去不符合條件的坐法種數(shù)即可.當(dāng)孩子坐在一起并且坐在最邊上時(shí),有一個(gè)

孩子沒有大人陪坐,第一個(gè)位置坐孩子有2種坐法,第二個(gè)位置坐另一個(gè)孩子,

第三個(gè)位置坐大人有2種坐法,第四個(gè)位置坐另一個(gè)大人，也可以兩個(gè)孩子坐

在第三、第四的位置,乘2即可,所以共有2X2X2=8種坐法,所以每個(gè)孩子旁

邊必須有大人陪坐共有24-8=16種不同的坐法,故選C.

3.答案54

解析設(shè)x=l000ai+100bi+10ci+di,y=l000a2+100b2+l0c2+d2,則x+y=l

(a1+~2,

黑建：其中

&+弓2=8,

a“b“5,di(i=l,2)均為自然數(shù),滿足條件ai+a2=2的自然數(shù)對(duì)(aba2)有

(0,2),(