廣西南寧三中2024-2025學年高二數(shù)學下學期期末考試試題理重點班含解析

PAGE22-廣西南寧三中2024-2025學年高二數(shù)學下學期期末考試試題理（重點班，含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設為虛數(shù)單位，復數(shù)滿意，則在復平面內，對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算進行化簡，然后在利用共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因為，所以，由共軛復數(shù)的定義知，，由復數(shù)的幾何意義可知，在復平面對應的點為，位于其次象限.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的幾何意義；考查運算求解實力；屬于基礎題.2.某珠寶店丟了一件寶貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶．甲：“我沒有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；?。骸拔覜]有偷”．依據(jù)以上條件，可以推斷偷珠寶的人是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【詳解】試題分析：若甲說的是真話，則乙、丙、丁都是說假話，所以丁偷了珠寶，所以，丙說的也是真話，與只有一個人說真話相沖突，所以甲說的假話，偷珠寶的人是甲．考點：推理與證明．3.用數(shù)學歸納法證明，則從到時左邊添加的項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)式子的結構特征，求出當時，等式的左邊，再求出時，等式的左邊，比較可得所求．【詳解】當時，等式的左邊為，當時，等式的左邊為，故從“到”，左邊所要添加的項是．故選：D．【點睛】本題考查用數(shù)學歸納法證明等式，留意式子的結構特征，以及從到項的改變．4.已知函數(shù)，，則下列說法不正確的是（）A.最大值為 B.最小值為C.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增 D.是它的極大值點【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，求得該函數(shù)的極值與最值，由此可推斷各選項的正誤.【詳解】，則.令，可得或；令，可得.當時，函數(shù)在區(qū)間,上均為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，C選項錯誤；所以是函數(shù)的極大值點，D選項正確；因為，，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，A、B選項正確.故選：C.【點睛】本題考查利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)求解函數(shù)的極值點與最值，考查分析問題和解決問題的實力，屬于中等題.5.拋擲兩枚勻稱骰子，視察向上的點數(shù)，記事務為“兩個點數(shù)不同”，事務為“兩個點數(shù)中最大點數(shù)為4”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】拋擲兩枚勻稱骰子，構成的基本領件的總數(shù)共有種，其中記事務為“兩個點數(shù)不同”的基本領件共有種，再由“兩個點數(shù)不同且最大點數(shù)為4”的基本領件共有6種，利用條件概率的計算公式，即可求解．【詳解】由題意，拋擲兩枚勻稱骰子，構成的基本領件的總數(shù)共有種，其中記事務為“兩個點數(shù)不同”的基本領件共有種，又由事務“兩個點數(shù)不同且最大點數(shù)為4”的基本領件為：，共有6種，所以，故選C．【點睛】本題主要考查了條件概率的計算，其中解答中熟記條件概率的計算方法，精確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題．6.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先把取一次取得次品的概率算出來，再依據(jù)離散型隨機變量的概率即可算出．【詳解】因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【點睛】本題考查離散型隨機變量的概率,解題時要留意二項分布公式的敏捷運用.屬于基礎題．7.年月日，某地援鄂醫(yī)護人員，，，，，，人（其中是隊長）圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務返回本地，他們受到當?shù)厝罕娕c領導的熱情歡迎．當?shù)孛襟w為了宣揚他們的優(yōu)秀事跡，讓這名醫(yī)護人員和接見他們的一位領導共人站一排進行拍照，則領導和隊長站在兩端且相鄰，而不相鄰的排法種數(shù)為（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，分步進行分析：①領導和隊長站在兩端，由排列數(shù)公式計算可得其排法數(shù)目，②中間人分種狀況探討：若相鄰且與相鄰，若相鄰且不與相鄰，由加法原理可得其排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】讓這名醫(yī)護人員和接見他們的一位領導共人站一排進行拍照，則領導和隊長站在兩端且相鄰分2步進行分析：①領導和隊長站在兩端，有種狀況，②中間人分種狀況探討：若相鄰且與相鄰，有種支配方法，若相鄰且不與相鄰，有種支配方法，則中間人有種支配方法，則有種不同的支配方法；故選：D．【點睛】本題主要考查了帶有限制的排列問題，解題關鍵是駕馭分步計數(shù)原理和特別元素優(yōu)先排列，考查了分析實力和計算實力，屬于中檔題.8.甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行五場三勝制（當一隊贏得三場成功時，該隊獲勝，競賽結束）.依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主”.設甲隊主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場競賽結果相互獨立，則甲隊不超過場即獲勝的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用相互獨立事務概率乘法公式和互斥事務概率加法公式干脆求解．【詳解】解：甲、乙兩隊進行排球決賽，實行五場三勝制（當一隊贏得三場成功時，該隊獲勝，決賽結束）．依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場競賽結果相互獨立，則甲隊以獲勝的概率是：．甲隊以獲勝概率是：則甲隊不超過場即獲勝的概率故選：C【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事務概率乘法公式和互斥事務概率加法公式等基礎學問，考查運算求解實力，屬于中檔題．9.電路從到上共連接著6個燈泡（如圖），每個燈泡斷路的概率為，整個電路的連通與否取決于燈泡是否斷路，則從到連通的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求連通的概率，再求連通的概率，然后求連通的概率.【詳解】先考慮沒有連通的狀況，即連個燈泡都斷路，則其概率為.所以連通的概率.連通，則兩個燈泡都沒有斷路，則其概率為,所以沒有連通的概率為：.則之間沒有連通的概率所以連通的概率，所以連通的概率.故選：B【點睛】本題考查概率的求法，留意并聯(lián)電路和串聯(lián)電路的性質的合理運用．解題時要仔細分析，屬于基礎題.10.已知，若對隨意兩個不等的正實數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：依據(jù)可知，令為增函數(shù)，所以恒成立，分別參數(shù)得，而當時，最大值為，故.考點：函數(shù)導數(shù)與不等式，恒成立問題．11.已知隨機變量，且，則的綻開式中的系數(shù)為（）A.680 B.640 C.180 D.【答案】A【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)正態(tài)分布的相關性質以及得出，然后依據(jù)二項分布的綻開式找出綻開式中包含的項，最終通過計算即可得出結果.【詳解】因為隨機變量，，所以，代入可得，故綻開式中包含項為：，系數(shù)為，故選：A.【點睛】本題考查正態(tài)分布以及二項分布的相關性質，主要考查依據(jù)二項分布的綻開式的相關性質求特別項的系數(shù)，考查計算實力，是中檔題.12.在上可導的函數(shù)，當時取得極大值，當時取得微小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：在由所構成的三角形的內部，可看作點與點的連線的斜率，結合圖形可知考點：函數(shù)極值及線性規(guī)劃點評：函數(shù)在極值點處的導數(shù)為零且在極值點兩側導數(shù)一正一負，線性規(guī)劃問題取得最值的位置一般是可行域的頂點處或邊界處，本題有肯定的綜合性二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）13.從10名高校畢業(yè)生中選3個人擔當村長助理，甲、乙至少有1人入選的不同選法的種數(shù)為______.【答案】64【解析】【分析】從10人中任選3人擔當村長，去掉沒有甲、乙2人的狀況，即可得出結果.【詳解】從10人中任選3人擔當村長，去掉沒有甲、乙2人的狀況故答案為：64【點睛】本題考查了組合問題，考查了運算求解實力和邏輯推理實力，屬于一般題目.14.定積分的值______.【答案】1【解析】【分析】等于以原點為圓心，以1為半徑的圓面積的四分之一，為，再利用微積分基本定理求出的值即可.【詳解】，因為等于以原點為圓心，以1為半徑的圓面積的四分之一，為，，所以，故答案為：1【點睛】本題主要考查微積分基本定理的應用，考查了定積分的幾何意義，屬于基礎題.15.已知，則____________．【答案】1【解析】【分析】令以及令，即可求得結果.【詳解】由，令x=0可得：2=a0+a1++a5；令x=?2可得：0=a0?a1+a2+?a5.相減可得：2(a1+a3+a5)=2，則a1+a3+a5=1.故答案為：.【點睛】本題考查通過賦值法求系數(shù)和，屬基礎題.16.已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】將問題轉化為有零點，利用的最值，和的最值依據(jù)等號成立的條件求解參數(shù)的取值.【詳解】構造函數(shù)：，存在實數(shù)使成立，即有解，考慮函數(shù)，，所以在遞減，在遞增，所以，，當且僅當時，取得等號，所以要使有零點，必需零點，且，即.故答案為：.【點睛】此題考查依據(jù)方程有根轉化為函數(shù)有零點求解參數(shù)的取值范圍，關鍵在于精確構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性和基本不等式求解最值.三、解答題（解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟，第17-21題每題12分，選做題10分，共70分）17.從甲地到乙地要經(jīng)過個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和均值．（）若有輛車獨立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個紅燈的概率．【答案】(1)見解析；（2）.【解析】試題分析：表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),的全部可能取值為0,1,2,3.分別求出相應的概率值，列出隨機變量的分布列并計算數(shù)學期望，表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示其次輛車遇到紅燈的個數(shù)，這2輛車共遇到1個紅燈就是包括第一輛遇到1次紅燈且第2輛沒遇上和第一輛沒遇上紅燈且第2輛遇上1次紅燈兩個事務的概率的和.試題解析：（Ⅰ）解：隨機變量的全部可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學期望.（Ⅱ）解：設表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示其次輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事務的概率為.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.【考點】離散型隨機變量概率分布列及數(shù)學期望【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清晰離散型隨機變量的可取值有那些？當隨機變量取這些值時所對應的事務的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最終依據(jù)數(shù)學期望公式計算出數(shù)學期望.；列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學期望是理科高考數(shù)學必考問題.18.如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）證明及，即可證明：平面，問題得證．（2）建立空間直角坐標系，由（1）得為平面的法向量，求得平面的法向量為，利用空間向量夾角的數(shù)量積表示即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以，因為為中點，且為等邊三角形，所以.又，所以平面.（2）取中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，因為平面平面，所以平面，所以，由，，可知，所以.以中點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.所以，，，，，所以，，由（1）知，為平面的法向量，因為為的中點，所以，所以，設平面的法向量為，由，得，取，則.所以.因為二面角為鈍角，所以，二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明，考查轉化實力及空間思維實力，還考查了利用空間求二面角的余弦值，考查計算實力，屬于中檔題．19.近年來，國資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅決實行中心扶貧工作重大決策部署，在各個貧困縣全力推動定點扶貧各項工作，取得了主動成效，某貧困縣為了響應國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的運用面積以及相應的管理時間的關系如下表所示：土地運用面積（單位：畝）12345管理時間（單位：月）810132524并調查了某村300名村民參加管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示:情愿參加管理不情愿參加管理男性村民15050女性村民50（1）求出相關系數(shù)的大小，并推斷管理時間與土地運用面積是否線性相關？（2）是否有99.9%的把握認為村民的性別與參加管理的意愿具有相關性？（3）若以該村的村民的性別與參加管理意愿的狀況估計貧困縣的狀況，則從該貧困縣中任取3人，記取到不情愿參加管理的男性村民的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望．參考公式：其中．臨界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）線性相關；（2）有；（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）分別求出，，從而，，，求出，從而得到管理時間與土地運用面積線性相關．（2）完善列聯(lián)表，求出，從而有的把握認為村民的性別與參加管理的意愿具有相關性．（3）的可能取值為0，1，2，3，從該貧困縣中隨機抽取一名，取到不情愿參加管理的男性村民的概率為，由此能求出的分布列和數(shù)學期望．【詳解】解：依題意：故則，故管理時間與土地運用面積線性相關．（2）依題意，完善表格如下：情愿參加管理不情愿參加管理總計男性村民15050200女性村民5050100總計200100300計算得的觀測值為故有99.9%的把握認為村民的性別與參加管理的意愿具有相關性．（3）依題意，的可能取值為0，1，2，3，從該貧困縣中隨機抽取一名，則取到不情愿參加管理的男性村民的概率為，故故的分布列為X0123P則數(shù)學期望為（或由，得【點睛】本題主要考查相關系數(shù)的求法、獨立檢驗的應用、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法以及二項分布等．20.已知橢圓：的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為，且原點到直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若不經(jīng)過點的直線：與橢圓交于兩點，且與圓相切.摸索究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題可知，求得直線的方程，再由點到直線的距離公式，聯(lián)立求得的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）由直線與圓相切，求得，再把直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系和弦長公式，分別求得，即計算求得三角形的周長．【詳解】（1）由題可知，，，則，直線的方程為，即，所以，解得，，又，所以橢圓的標準方程為.（2）因為直線與圓相切，所以，即.設，，聯(lián)立，得，所以，，，所以.又，所以.因為，同理.所以，所以的周長是，則的周長為定值.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程的求解、及直線與橢圓的位置關系的應用問題,解答此類題目時通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是困難式子的變形實力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維實力、運算求解實力、分析問題解決問題的實力等．21.已知函數(shù)，．（Ⅰ）若在內單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點分別為，，證明：．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】分析】（I）先求得函數(shù)的導數(shù)，依據(jù)函數(shù)在上的單調性列不等式，分別常數(shù)后利用構造函數(shù)法求得的取值范圍.（II）將極值點代入導函數(shù)列方程組，將所要證明的不等式轉化為證明，利用構造函數(shù)法證得上述不等式成立.【詳解】（I）．∴在內單調遞減，∴在內恒成立，即在內恒成立．令，則，∴當時，，即在內為增函數(shù)；當時，，即在內為減函數(shù)．∴的最大值為，∴（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點分別為，，則在內有兩根，，由（I），知．由，兩式相減，得．不妨設，∴要證明，只需證明．即證明，亦即證明．令函數(shù)．∴，即函數(shù)在內單調遞減．∴時，有，∴．即不等式成立．綜上，得．【點睛】本小題主要考查依據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)，考查利用導數(shù)探討函數(shù)極值點問題，考查利用導數(shù)證明不等式