廣東省惠州市2025屆高三數(shù)學第二次調(diào)研考試試題文含解析

PAGE20-廣東省惠州市2025屆高三數(shù)學其次次調(diào)研考試試題文（含解析）留意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2.作答選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3.非選擇題必需用黑色字跡簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解出集合所含的元素，再由集合的交集運算的定義求解?！驹斀狻浚旨?，故選：C.【點睛】本題考查交集及其運算，嫻熟駕馭交集的定義是解答本題的關鍵，屬于基礎題。2.已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由共軛復數(shù)的概念解答?！驹斀狻?，，，即的共軛復數(shù)為，故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，屬于基礎題。3.若，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由誘導公式可得，再依據(jù)平方關系計算出，之后利用二倍角的正弦公式即可得到答案?！驹斀狻坑深}意，依據(jù)誘導公式得，又因為且，所以，依據(jù)可得，所以，故選：A.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系及二倍角的正弦公式，屬于基礎題。4.我國古代有著輝煌的數(shù)學探討成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻．這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，基本領件有10種狀況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本領件有9種狀況，由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．記這5部專著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，基本領件有共10種狀況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本領件有，共9種狀況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為．故選D．【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本領件個數(shù)是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本領件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本亊件的探求.在找基本領件個數(shù)時，肯定要按依次逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避開多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.5.某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況，隨機抽取了100個樣本。若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（）A.8 B.15 C.16 D.32【答案】D【解析】分析】利用方差的性質(zhì)，若的方差為，則的方差為，干脆求解．【詳解】樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故選：D.【點睛】本題考查方差的性質(zhì)應用，若的方差為，則的方差為，屬于基礎題。6.以下三個命題：①“”是“”的充分不必要條件；②若為假命題，則，均為假命題；③對于命題：，使得；則是：，均有.其中正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】①求出不等式的解集然后再推斷兩集合的關系，從而得出結論.②用聯(lián)結的兩個命題，只要有一個為假則這個復合命題即為假.③依據(jù)特稱命題的否定為全稱命題推斷.【詳解】①不等式，解得或，所以，，“”是“”的充分不必要條件.①正確；②若為假命題，則，至少有一個為假，故②錯誤；③命題：使得的否定為，均有.③正確，故選：B.【點睛】本題考查充分必要條件的推斷，簡潔邏輯聯(lián)結詞及含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題。7.某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖，左視圖均是由三角形與半圓構成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構成，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】該幾何體是一個半球上面有一個三棱錐，體積為，故選A.8.已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,M是雙曲線C2的一條漸近線上的點，且OM⊥MF2,O為坐標原點，若，且雙曲線C1,C2的離心率相同，則雙曲線C2的實軸長是（）A.32 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，運用點到直線的距離公式，結合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進而得到雙曲線的實軸長．【詳解】雙曲線的離心率為，設F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，可得|F2M|==b，即有|OM|==a，由，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有雙曲線的實軸長為16．故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，留意運用點到直線的距離公式和離心率公式，考查化簡整理的運算實力，屬于中檔題．9.已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則（）A.B.上單調(diào)遞增C.由的圖象向左平移個單位可得到的圖象D.由的圖象向左平移個單位可得到的圖象【答案】D【解析】【分析】由正弦型函數(shù)的對稱性，我們可以推斷出選項A錯誤，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性可以推斷出選項B錯誤，依據(jù)正弦型函數(shù)的平移變換可以推斷出選項C錯誤和選項D正確.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，令k=0可得：，選項A錯誤；函數(shù)的解析式為：，若，則，函數(shù)不具有單調(diào)性；由的圖象向左平移個單位可得到的函數(shù)圖象，選項C錯誤；由的圖象向左平移個單位可得到的圖象，選項D正確.本題選擇D選項.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，嫻熟駕馭正弦型函數(shù)的對稱性及平移變換法則是解答本題的關鍵，屬基礎題.10.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)表達式,把分母設為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導,依據(jù)導函數(shù)的正負推斷函數(shù)單調(diào)性,對應函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設，，則的定義域為.，當，，單增，當，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的推斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特別值法等方法進行推斷.11.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，若數(shù)列的前項和為5，則（）A.119 B.121 C.120 D.122【答案】C【解析】依題意有，即數(shù)列是以首項，公差為的等差數(shù)列，故.，前項和，所以.點睛：本題主要考查遞推數(shù)列求數(shù)列通項公式，考查裂項求和法.首先依據(jù)題目所給方程，原方程是分式的形式，先轉化為整式，得到兩個平方的差為常數(shù)的遞推數(shù)列，依據(jù)這個遞推數(shù)列可以得到數(shù)列是以首項，公差為的等差數(shù)列，即求出的通項公式，進而求得的通項公式，接著利用裂項求和法求得前項和，最終列方程解出的值.12.已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點為橢圓上的隨意一點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由得橢圓的短軸長為，可得，，可得，從而可得結果.詳解：由得橢圓的短軸長為，，解得，，設，則，，即，，故選D.點睛：本題考查題意的簡潔性質(zhì)，題意的定義的有意義，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思索時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸、等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第15題第一空3分，其次空2分。13.已知向量，，若，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量垂直的坐標運算進行求解?！驹斀狻坑深}意且，，，得.故答案為：【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示若、，則，屬于基礎題。14.設函數(shù)，則______.【答案】0【解析】【分析】干脆利用分段函數(shù)，由內(nèi)及外求解函數(shù)值?！驹斀狻?，.所以故答案為：【點睛】本題考查求分段函數(shù)的函數(shù)值，推斷出自變量所屬的段，將自變量的值代入相對應的解析式中求出函數(shù)值。15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的大小為__________．【答案】【解析】由，依據(jù)正弦定理得，即，，又因為，所以，故答案為．16.已知底面邊長為的正三棱柱的六個頂點在球上，又知球與此正三棱柱的5個面都相切，則球與球的半徑之比為______，表面積之比為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由題意球為正三棱柱的外接球，球為正三棱柱的內(nèi)切球，正三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心為同一點，在上下底面中心的連線的中點上，外接球的半徑為球心到各頂點的距離，內(nèi)切球的半徑為球心到各面的距離，即可求出球與球的半徑的關系?！驹斀狻吭O球，球的半徑分別為，，由于正三棱柱的六個頂點都在同一個球面上，所以球心在上下底面中心的連線的中點上，如圖，，，，在中，，由于所以：，，則球與球的半徑比為，所以球與球的表面積之比等于，所以答案應填：，.【點睛】正三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心為同一點，在上下底面中心的連線的中點上，外接球的半徑為球心到各頂點的距離，內(nèi)切球的半徑為球心到各面的距離，找出兩球半徑和三棱柱的底邊的關系再代入球的表面積計算公式即可。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.記為等差數(shù)列的前項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，為數(shù)列的前項和，證明.【答案】(1)，.(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用已知條件構造關于和的方程組，即可求出數(shù)列的通項公式.（2）利用（1）的結論，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和，即可得證.【詳解】（1）設等差數(shù)列公差為，依題意，解得，由，∴，.（2），且∴因為，所以，得證?！军c睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法及應用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，主要考查學生的計算實力和轉化實力，屬于中檔題。18.為響應國家“精準扶貧、精準脫貧”的號召，某貧困縣在精準推動上下實功，在在精準落實上見實效現(xiàn)從全縣扶貧對象中隨機抽取人對扶貧工作的滿足度進行調(diào)查，以莖葉圖中記錄了他們對扶貧工作滿足度的分數(shù)(滿分分)如圖所示，已知圖中的平均數(shù)與中位數(shù)相同.現(xiàn)將滿足度分為“基本滿足”(分數(shù)低于平均分)、“滿足”(分數(shù)不低于平均分且低于分)和“很滿足”(分數(shù)不低于分)三個級別.(1)求莖葉圖中數(shù)據(jù)的平均數(shù)和的值;(2)從“滿足”和“很滿足”的人中隨機抽取人，求至少有人是“很滿足”的概率.【答案】（1）平均數(shù)；（2）【解析】【詳解】(1)由題意，依據(jù)圖中個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由平均數(shù)與中位數(shù)相同，得平均數(shù)為，所以，解得；(2)依題意，人中，“基本滿足”有人，“滿足”有人，“很滿足”有人.“滿足”和“很滿足”的人共有人.分別記“滿足”的人為，，，，“很滿足”的人為，，，.從中隨機抽取人的一切可能結果所組成的基本領件共個：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.用事務表示“人中至少有人是很滿足”這一件事，則事務由個基本領件組成：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有22個.故事務的概率為【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中熟記莖葉圖的中的平均數(shù)和中位數(shù)的計算，以及利用列舉法得出基本領件的總數(shù)是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于基礎題.19.如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面相互垂直，已知，.（1）求證：平面平面；（2）設幾何體、的體積分別為、，求.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再利用線面垂直的判定定理得到平面，由面面垂直的判定定理即可得到證明;（2）利用棱錐體積公式計算求比值即可.【詳解】（1）如圖,矩形中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴.又∵為圓直徑，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.另解：也可證明平面.（2）幾何體是四棱錐、是三棱錐，過點作，交于.∵平面平面，∴平面.則，∴【點睛】本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，考查棱錐體積公式的應用，屬基礎題.20.已知橢圓的中心在坐標原點，離心率等于，該橢圓的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓的兩個交點記為、，其中點在第一象限，點、是橢圓上位于直線兩側的動點.當、運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值，定值.【解析】【分析】（1）由題意可求出拋物線的焦點坐標，即為的值，再依據(jù)離心率等于，及、、的關系即可求出。（2）由題意，即直線與直線斜率存在且斜率之和為0，可設的斜率為，表示出直線與直線的方程，分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可用含的式子表示，兩點的坐標特征，即可求出直線的斜率?！驹斀狻浚?）因為拋物線焦點為，所以，，∴，又，所以.所以橢圓的方程為.（2）由題意，當時，知與斜率存在且斜率之和為0.設直線的斜率為，則直線的斜率為，記，，直線與橢圓的兩個交點、，設的方程為，聯(lián)立，消得，由已知知恒成立，所以，同理可得所以，，，所以.所以的斜率為定值.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，直線與橢圓的綜合問題，依據(jù)已知條件計算出橢圓的標準方程是解答本題的關鍵。21.已知函數(shù)，，在處的切線方程為.（1）求，；（2）若，證明：.【答案】（1），；（2）見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于的方程組，解出即可；（2）由（1）可知，，由，可得，令，利用導數(shù)探討其單調(diào)性可得，從而證明.試題解析：（（1）由題意，所以，又，所以，若，則，與沖突，故，.（2）由（1）可知，，由，可得，令，，令當時，，單調(diào)遞減，且；當時，，單調(diào)遞增；且，所以在上當單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故，故.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導數(shù)證明不等式的方法，解題時要仔細審題，留意導數(shù)性質(zhì)的合理運用.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計分。答題時請寫清題號并將相應信息點涂黑。22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點，軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系.（I）求圓的一般方程及其極坐標方程；（II）設直線的極坐標方程為，射線與圓的交點為，與直線的交點為Q，求線段PQ的長.【答案】（I）一般方程為：，極坐標方程為：.（II）【解析】【分析】（I）利用消去參數(shù)，求得圓的一般方程，將代入，可