山東省德州市夏津縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考10月試題含解析

PAGE25-山東省德州市夏津縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（10月）試題（含解析）（時間：120分鐘滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若A,B,C,D為空間不同四點(diǎn),則下列各式為零向量的是()①+2+2;②2+2+3+3;③;④.A.①② B.②③C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】無論是平面對量還是空間向量，各向量的和為零向量必定有各向量恰好形成一個回路，即起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，也可以運(yùn)用向量加法法則干脆計(jì)算．【詳解】①===；②==；③=；④=表示恰好形成一個回路，結(jié)果必為；綜上可知答案選C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本運(yùn)算，關(guān)鍵駕馭相應(yīng)運(yùn)算的法則，屬于基礎(chǔ)題．2.已知關(guān)于面的對稱點(diǎn)為，而關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】本題考查空間直角坐標(biāo)系及向量的坐標(biāo)因?yàn)殛P(guān)于面的對稱點(diǎn)為，所以；又而關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，所以故正確答案為B3.若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線的垂直關(guān)系求解.【詳解】由與垂直得：，解得，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4.已知四面體A-BCD的全部棱長都是2,點(diǎn)E,F分別是AD,DC的中點(diǎn),則()A.1 B.-1 C. D.【答案】B【解析】【分析】在四面體中，由題意可得隨意兩條棱的夾角為60°，又，再依據(jù)數(shù)量積的定義求解．【詳解】由題意可得，所以．故選B．【點(diǎn)睛】在利用定義求向量的數(shù)量積時，要留意兩向量夾角的確定，如在本題中的夾角為120°而不是60°，這是在解題中簡單出現(xiàn)的錯誤，考慮問題時肯定要抓住夾角的定義．5.如圖，是三棱錐的底面的重心.若（、、），則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)重心的性質(zhì)及向量加法的平行四邊形法則，（），從而便可得到═，由此可求出x+y+z．【詳解】如圖，連結(jié)PM，AM,∵M(jìn)是三棱錐P﹣ABC的底面△ABC的重心，∴，∴，∵（x、y、x∈R），∴x＝﹣1，y＝z，∴x+y+z．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)和的求法，考查重心定理、向量加法法則等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．6.已知三棱錐底面是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長均為2，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正三棱錐得頂點(diǎn)在底面上的射影正好落在底面的中心上，構(gòu)造由棱錐高、側(cè)棱長及底面頂點(diǎn)到中心為三邊的三角形，解三角形后，即可得結(jié)果.【詳解】由已知易得該三棱錐為正三棱錐，則頂點(diǎn)在底面上的射影正好落在底面的中心上，如圖所示：在三棱錐中，O為底面中心，則易得，，，則即為側(cè)棱與底面所成的角，則，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱錐的性質(zhì)，直線與平面所成的角的求法，屬于基礎(chǔ)題.7.在三棱錐中，底面ABC，，，，則點(diǎn)C到平面PAB的距離是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)C到平面PAB的距離．【詳解】在三棱錐中，底面ABC，，，，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則4，，4，，0，，0，，4，，0，，4，，設(shè)平面PAB的法向量y，，則，取，得，點(diǎn)C到平面PAB的距離．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．8.在直三棱柱中,已知和分別為和的中點(diǎn),與分別為線段和上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若,則線段的長度的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,,,，由于，所以，，當(dāng)時，線段長度的最小值是，當(dāng)時，線段的最大值是，由于不包括端點(diǎn)，故不能取，故選.點(diǎn)睛：本題主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查柱體的結(jié)構(gòu)特征，考查利用空間直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.由于幾何體簡單建系，故一起先就對其建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個向量垂直，數(shù)量積為零，得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，利用兩點(diǎn)間距離公式和二次函數(shù)配方法，可求得取值范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.在以下命題中，不正確的命題有（）A.是，共線的充要條件B.若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使C.對空間隨意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面D.若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)向量共線的性質(zhì)，即可推斷A選項(xiàng)；依據(jù)零向量與隨意向量共線以及向量共線定理，即可推斷B選項(xiàng)；依據(jù)向量的共面定理的定義，即可推斷C選項(xiàng)；依據(jù)不共面的三個向量可構(gòu)成空間的一個基底，結(jié)合共面對量定理，即可推斷D選項(xiàng).【詳解】解：對于A，當(dāng)，則，共線成立，但，同向共線時，，所以是，共線的充分不必要條件，故A不正確；對于B，當(dāng)時，，不存在唯一的實(shí)數(shù)，使，故B不正確；對于C，由于，而，依據(jù)共面對量定理知，，，，四點(diǎn)不共面，故C不正確；對于D，若為空間的一個基底，則不共面，由基底的定義可知，不共面，則構(gòu)成空間的另一個基底，故D正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查與向量有關(guān)的命題的真假性推斷，考查空間向量的共線定理和共面定理的應(yīng)用，考查推理論證實(shí)力.10.已知平面上一點(diǎn)M(5，0)，若直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（）Ay=x+1 B.y=2 C. D.y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)切割型直線的定義，由點(diǎn)M(5，0)到直線距離不大于4求解.【詳解】A.點(diǎn)M(5，0)到直線y=x+1的距離為：，故錯誤；B.點(diǎn)M(5，0)到直線y=2的距離為：，故正確；C.點(diǎn)M(5，0)到直線的距離為：，故正確；D.點(diǎn)M(5，0)到直線y=2x+1的距離為：，故錯誤；故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離以及存在問題，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chumeng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體是一個芻甍，其中四邊形為矩形，其中，，與都是等邊三角形，且二面角與相等且大于，則長度可能為（）A.1 B.5 C.9 D.13【答案】CD【解析】【分析】取兩個極限狀況：二面角與相等，且為平角時，，二面角為時，，即可得出結(jié)果.【詳解】等邊三角形邊上的高為，同理等邊三角形邊上的高為3．二面角與相等，且為平角時，，因此，二面角與相等，且為時，最小，如圖所示，此時取，的中點(diǎn)，連接，，由圖形的對稱性可得點(diǎn)在底面的投影必在上，由于，，所以即為二面角的平面角，即，故，此時由于二面角大于，因此，即可得長度可能為9,13，故選：CD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間角、運(yùn)動思想方法、空間位置關(guān)系，考查了空間想象實(shí)力、推理實(shí)力，屬于中檔題.12.如圖（1）是一副直角三角板.現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體，如圖（2）所示.下列敘述中正確的是（）A.B.平面的法向量與平面的法向量垂直C.異面直線與所成的角小于60°D.直線與平面所成的角為30°【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面，可得A正確；依據(jù)平面與平面不垂直，可得B不正確；過點(diǎn)作和平行且相等，可得為異面直線與所成的角，求得的值，可得C正確，由條件求得為直線與平面所成的角，可得D正確.【詳解】對于選項(xiàng)A：將兩三角板拼成直二面角，故平面平面，因?yàn)椋矫嫫矫?，平面，故平面，所以，故，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：平面與平面不垂直，故兩個平面的法向量不行能垂直，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C：過點(diǎn)作和平行且相等，可得為異面直線與所成的角，設(shè)，則，，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，，，等腰三角形中，，故，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：平面，所以為在平面內(nèi)的射影，所以為直線與平面所成的角，因?yàn)椋蔬x項(xiàng)D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面圖形翻折問題，直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，直線和平面所成的角、異面直線所成的角，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.13.經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線的一般式方程為______.【答案】【解析】【分析】首先聯(lián)立方程求兩直線的交點(diǎn)，再利用兩直線垂直斜率之積為-1，可求得所求直線斜率，然后依據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程.【詳解】由方程組，得交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樗笾本€垂直于直線，故所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式得所求直線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查從直線的一般方程求斜率，考查兩條直線垂直斜率之積為，考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，已知在大小為60°的二面角中，于點(diǎn)于點(diǎn)，且，則_________.【答案】【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算加法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合二面角表示得，同時平方結(jié)合向量的數(shù)量積即可求解【詳解】，二面角的大小為60°，，，，，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由向量的運(yùn)算性質(zhì)求解二面角中詳細(xì)線段長度問題，屬于中檔題15.點(diǎn)P在直線：上，當(dāng)P到和的距離之差最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】先推斷和在直線的兩側(cè)，接著求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再推斷當(dāng)、、三點(diǎn)共線時差值最大，最終求直線的方程并建立方程組求點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】解：因?yàn)楹停院驮谥本€的兩側(cè)，設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)，依據(jù)題意作圖如下：所以，由圖可知，,當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，差值最大，且最大值為，因?yàn)楹?，所以直線的方程為：所以，解得，所以.所以當(dāng)P到和的距離之差最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)、求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離差的最值問題，是中檔題.16.如圖，已知平面四邊形，，，，.沿直線將翻折成，直線與所成角的余弦的最大值是______.【答案】【解析】【分析】通過作協(xié)助線，把異面直線與平移到一個面內(nèi)，即為直線與所成角，再利用線面垂直的判定定理可知，為直角三角形，要想的余弦值最大，須要的長最小，即長最小，所以在中，先用余弦定理求得長的最小值.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)O，并連接BO，，,在中，，作，垂足為E，由等面積法可得，又，，.過點(diǎn)B作，作交BF于點(diǎn)F，則，連接，則為直線與所成的角.由四邊形BOEF為矩形，，，由，，可知為二面角的平面角，設(shè)為，由余弦定理可得：（時等號成立）由，，，則平面，又平面，則，所以，在直角中，利用勾股定理，可知的最小值，,直線與所成角的余弦的最大值為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線夾角的求法，有兩種做法：一，把異面直線平移到一個面內(nèi)，按解三角形來求角度，即用余弦定理求；二，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法求，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力與運(yùn)算實(shí)力，屬于難題.四、解答題：本題共6小題，共70分.（其中17題10分，18-22題每題12分）解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且P（4，3）到直線l的距離為3，求直線l的方程．【答案】y=x，或x+y﹣1=0，或x+y﹣13=0．【解析】試題分析：當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為y=kx，再依據(jù)P（4，3）到直線l的距離為3，求得k的值，可得此時直線的方程．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為x+y﹣a=0，由P（4，3）到直線l的距離為3，求得a的值，可得此時直線方程，綜合可得結(jié)論．解：當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為y=kx，再依據(jù)P（4，3）到直線l的距離為3，可得=3，求得k=，故此時直線的方程為y=x．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為x+y﹣a=0，由P（4，3）到直線l的距離為3，可得=3，求得a=1，或a=13，故此時直線的方程為x+y﹣1=0或x+y﹣13=0．綜上可得，所求直線的方程為y=x，或x+y﹣1=0，或x+y﹣13=0．考點(diǎn)：直線的截距式方程；點(diǎn)到直線的距離公式．18.已知向量，，點(diǎn)，.（1）求；（2）在直線上，是否存在一點(diǎn)E，使得，（O為原點(diǎn)），若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）依據(jù)向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求出，再利用向量的模長公式即可求出；（2）由向量共線定理和向量線性運(yùn)算得出，從而得出的坐標(biāo)，再依據(jù)以及向量的數(shù)量積，即可求出的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）依據(jù)題意，得，故.（2）由于點(diǎn)在直線上，則，即，由，則，所以，解得，因此在直線上存在點(diǎn)E，使得，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查平面對量坐標(biāo)的加法運(yùn)算和向量的模，考查向量的共線定理和向量的線性運(yùn)算，及向量垂直運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，三棱柱中，M，N分別是，上的點(diǎn)，且，.設(shè)，，.（1）試用，，表示向量；（2）若，，，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由于，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則即可得結(jié)果；（2）依據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，求的平方即可得結(jié)果.【詳解】（1）==又，，，∴.（2）∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，利用向量的數(shù)量積求線段的長，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，，面，，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形，再依據(jù)線面平行的判定定理完成證明；(2)依據(jù)平行可知異面直線與所成的角即為或其補(bǔ)角，然后依據(jù)長度進(jìn)行求解；(3)依據(jù)線面平行將問題轉(zhuǎn)化為到平面的距離，然后作出在平面內(nèi)的射影，依據(jù)長度即可計(jì)算出到平面的距離，即可求解出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、.則四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）∵，∴為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作于點(diǎn)，連接.∵平面，∴，∵，∴.∵，∴，.所以異面直線與所成的角為.（3）∵平面，∴點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等.連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，∴平面，∴，又∵，∴平面，線段的長就是點(diǎn)到平面的距離，與點(diǎn)到平面的距離相等，，.所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明、異面直線所成角以及點(diǎn)到面的距離的求解，難度一般.(1)求解異面直線所成角留意角是鈍角還是銳角；(2)求解點(diǎn)到平面內(nèi)的距離，除了通過找到點(diǎn)在平面內(nèi)射影的方法并依據(jù)長度求解距離，還可以通過等體積法完成距離的求解.21.已知四棱錐，底面為菱形，,H為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且平面．（1）證明：；（2）當(dāng)為中點(diǎn)，，與平面所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．由題意可證得平面，則．由線面平行的性質(zhì)定理可得，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論；（2）結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)闉榱庑危?，且為、的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍移矫妫云矫?，因?yàn)槠?/p>