生物統(tǒng)計附試驗設計第八章

第八章直線回歸與相關分析

前述各章討論的問題，都只涉及一個變量或性狀，而在實際研究中常常要研究兩個或兩個以上變量的關系。變量間的關系分為兩類：

—完全確定性關系；(沒有隨機誤差）

—不存在完全確定性關系，不能由一個或幾個變量的值精確地求出另一個變量的值；（相關關系）

相關變量間的關系一般又分為兩種：

—因果關系（一個變量的變化受一個或幾個變量的影響，有自變量/依變量之分）；

研究方法：采用回歸分析

研究目的（任務）：揭示變量間的聯(lián)系形式，建立回歸方程，并由自變量（原因）來預測、控制依變量（結(jié)果）

—平行關系（兩個以上變量之間共同受到另外因素的影響，無自變量與依變量之分）研究方法：采用相關分析

研究目的（任務）：研究兩個變量之間相關的程度和性質(zhì)或一個變量與多個變量之間相關的程度（計算相關系數(shù)）

直線回歸分析

一元回歸分析曲線回歸分析多元線性回歸分析多元回歸分析

(復回歸分析)多元非線性回歸分析

回歸分析

簡單相關分析——直線相關分析

復相關分析多元相關分析偏相關分析相關分析第一節(jié)直線回歸分析一、直線回歸方程的建立研究兩個變量之間的關系時，一般先把n對觀察值(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi),…,(xn,yn)先以x為橫坐標，y為縱坐標在直角坐標紙上描出n

個點，所描出的圖形叫散點圖。ed在直線回歸分析中主要是研究圖中(b)與(e)的情況。

設變量x與y間存在直線關系，根據(jù)n對觀察值所描出的散點圖如下圖所示。直線回歸散點圖回歸直線是所有直線中最接近散點圖中全部散點的直線。設樣本直線回歸方程為：總體直線回歸方程為：

其中：a稱為回歸截距；

b稱為回歸系數(shù)y=α+βx

回歸值與yi觀察值間的偏差為：全部偏差平方和為：

利用最小二乘法，即使偏差平方和最小的方法求a與b的值。根據(jù)微積分學中求極值的原理，將Q對a與b求偏導數(shù)并令其等于0：

可以證明

—稱之為x與y的離均差乘積和，簡稱為乘積和，記為

SPxy。

回歸方程的性質(zhì)

回歸直線必然通過點。

線性回歸方程建立的方法（結(jié)合例8.1）：

用各組觀察值(xi,yi)描點作散點圖，確定變量x和y間是否存在直線關系；

計算回歸截距a和回歸系數(shù)b;

建立樣本直線回歸方程，并進行偏離度估計和顯著性檢驗；

在散點圖中，畫出樣本直線回歸方程。直線回歸方程的偏離度估計

根據(jù)使偏差平方和最小建立了直線回歸方程。偏差平方和Q的大小表示了實測點與回歸直線偏差的程度，因而偏差平方和又稱為離回歸平方和或剩余平方和。

Q的自由度df=n-2；離回歸標準誤

大小表示了回歸直線與實測點的吻合程度，即回歸估測值與實際觀察值y差異的程度。

可以證明：二、直線回歸的顯著性檢驗

能否利用所建立的直線回歸方程來進行預測和控制，這取決于這個直線回歸方程所反應的兩個變量間的直線關系是否真實。因而還須對y與x間的直線關系進行檢驗。檢驗的方法有回歸關系的F測驗和回歸系數(shù)的t測驗二種。（一）t檢驗對直線回歸系數(shù)b的假設檢驗為：HO:β=0；HA:β≠0（β為總體回歸系數(shù)）。在HO成立的條件下，回歸系數(shù)b服從t分布：將計算出的與根據(jù)自由度df=n-2查表所得的臨界t值比較，作出結(jié)論。

y變量的平方和與自由度為（二）F

檢驗

可以證明因此

由于回歸和離回歸的均方比遵循df1=1,df2=n-2的F分布，所以y的總平方和（SSy）,dfy=n-1離回歸平方和（SSr）,dfr=n-2回歸平方和（SSR）,dfR=1將計算出的F值與根據(jù)自由度df1=1,df2=n-2查表所得的臨界F值比較，作出結(jié)論?；貧w關系方差分析表變異來源dfSSMSF回歸dfRSSRMSRMSR/MSr離回歸dfrSSrMSr總變異dfySSy

F檢驗的結(jié)果與t檢驗的結(jié)果一致。

統(tǒng)計學已證明，在直線回歸分析中這二種檢驗法是等價的，可任選一種進行檢驗。因為在直線回歸的測驗中，在同一概率值下，df1=1,df2=n-2的一尾F值正好等于df2=n-2的兩尾t值的平方。

線性回歸方程的應用應用——線性回歸方程建立并經(jīng)顯著性測驗證明其真實存在后，可用回歸方程對依變量進行預測或控制（但自變量必須在已知的觀察值范圍內(nèi)）。特別要指出的是：利用直線回歸方程進行預測或控制時，一般只適用于原來研究的范圍，不能隨意把范圍擴大。第二節(jié)直線相關分析

進行直線相關分析的基本任務在于計算出表示x，y兩個變量間線性相關的程度和性質(zhì)的統(tǒng)計量——相關系數(shù)，并進行顯著性檢驗。

一、決定系數(shù)和相關系數(shù)前面已證明了等式：

從等式不難看到：y與x直線回歸效果的好壞取決于回歸平方和在y的總平方和中所占比例的大小。

把比值叫做x對y的決定系數(shù)記為r2，即

決定系數(shù)r2的大小表示了回歸方程的可靠程度，顯然有0≤r2≤1。

所以決定系數(shù)r2等于y對x的回歸系數(shù)byx與x對y的回歸系數(shù)bxy的乘積，即r2=byx

bxy

若求r2的平方根，統(tǒng)計學把這樣計算所得的統(tǒng)計量稱為x與y的相關系數(shù)，記為r，即

顯然相關系數(shù)-1≤r≤1二、相關系數(shù)和決定系數(shù)的計算充分應用計算器的統(tǒng)計功能鍵，計算：

將上述數(shù)值代入公式。三、相關系數(shù)的顯著性測驗

樣本相關系數(shù)r是否來自ρ≠0的總體，還須對樣本相關系數(shù)r進行顯著性檢驗。

HO：ρ=0

，HA:ρ≠0（ρ為總體相關系數(shù)）

可采用t測驗法與F測驗法對相關系數(shù)r進行測驗。這里只介紹常用的t檢驗法。t測驗的計算公式為：

F檢驗的計算公式為：Sr—相關系數(shù)標準誤

此外，還可以直接采用查表法對相關系數(shù)r進行顯著性檢驗。先根據(jù)自由度n-2查臨界r值(附表8)，得r0.05、r0.01。

若|r|＜r0.05

，P＞0.05，則相關系數(shù)r不顯著；

若r0.05≤|r|＜r0.01，0.01＜P＜0.05，則相關系數(shù)r顯著，標記“*”；

若|r|≥r0.01，P≤0.01，則相關系數(shù)r極顯著，標記“**”。四、相關與回歸的關系

r2=byx

bxy

r和b都是用一定的數(shù)值來表明兩個變量之間的關系，二者變異的性質(zhì)和方向完全一致；

r只能根據(jù)數(shù)值的大小的絕對值來判斷兩個變量間的相關程度；b則能根據(jù)自變量的變化去推算依變量的變化規(guī)律。

相關系數(shù)和回歸系數(shù)（方程）的顯著性測驗是等價的。即相關系數(shù)顯著，回歸系數(shù)亦顯著；相關系數(shù)不顯著，回歸系數(shù)也必然不顯著。注意：在實際進行直線回歸分析時，可用相關系數(shù)顯著性測驗代替直線回歸關系顯著性測驗。計算相關系數(shù)r對r檢驗（查表法）r不顯著，則不建立直線回歸方程若r顯著，計算回歸系數(shù)b、回歸截距a，建立直線回歸方程五、應用直線回歸與相關的注意事項

回歸分析和相關分析畢竟是處理變量間關系的數(shù)學方法，在應用時要考慮到客觀實際情況。

要考慮到回歸系數(shù)、相關系數(shù)等這些統(tǒng)計數(shù)的適用范圍。

必須嚴格控制被研究的兩個變量以外的各個變量的變動范圍，使之盡可