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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.602.如圖,平面ABCD,ABCD為正方形,且,E,F(xiàn)分別是線段PA,CD的中點,則異面直線EF與BD所成角的余弦值為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.4.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點,且,則()A. B.C. D.5.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.6.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.407.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.8.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點,則的最大值為A.2 B. C. D.9.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.10.已知角的終邊經(jīng)過點,則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或11.在中,,,,點,分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.912.已知實數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點D,且,則的最小值為________.14.已知多項式滿足,則_________,__________.15.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,則a2=____.16.角的頂點在坐標(biāo)原點,始邊與軸的非負半軸重合,終邊經(jīng)過點,則的值是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.18.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù);(2)若f(x)有兩個極值點證明.20.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線存在與軸垂直的切線,求的取值范圍.(2)當(dāng)時,證明:.21.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,是的中點,平面,且,.()求與平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】
分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選:C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3、C【解析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因為所以,當(dāng)時,.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.4、C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算.5、B【解析】
由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.6、B【解析】
,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,考查等差數(shù)列基本量的計算,是一道容易題.7、C【解析】
設(shè),計算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.8、C【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進而利用弦長公式求得|AB|的表達式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長|AB|=4.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,判別式找到解決問題的突破口.9、C【解析】
分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.10、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點與原點間的距離.①當(dāng)時,,∴,∴.②當(dāng)時,,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.11、B【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.12、B【解析】
作出可行域,平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點時,其截距最大,此時最大得,當(dāng)時,故選:B【點睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,則的最小值為.點睛:在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.14、【解析】∵多項式滿足∴令,得,則∴∴該多項式的一次項系數(shù)為∴∴∴令,得故答案為5,7215、【解析】
根據(jù)二項展開式的通項公式即可得結(jié)果.【詳解】解:(2x-1)7的展開式通式為:當(dāng)時,,則.故答案為:【點睛】本題考查求二項展開式指定項的系數(shù),是基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導(dǎo)公式知,所以答案應(yīng)填:.考點:1、三角函數(shù)定義;2、誘導(dǎo)公式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期,解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,由得出或,分兩種情況討論,結(jié)合余弦定理解三角形,進行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1),所以,函數(shù)的最小正周期為,由得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①當(dāng)時,即,則由,,得,則,此時,的面積為;②當(dāng)時,則,即,則由,解得,,.綜上,的面積為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積的計算,涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復(fù)合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.由已知,有的最小正周期.(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),,,∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.考點:1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式;2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.19、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對分成三種情況進行分類討論,判斷出的極值點個數(shù).(2)由(1)知,結(jié)合韋達定理求得的關(guān)系式,由此化簡的表達式為,通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得,由此證得成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為得,(i)當(dāng)時;,因為時,時,,所以是函數(shù)的一個極小值點;(ii)若時,若,即時,,在是減函數(shù),無極值點.若,即時,有兩根,不妨設(shè)當(dāng)和時,,當(dāng)時,,是函數(shù)的兩個極值點,綜上所述時,僅有一個極值點;時,無極值點;時,有兩個極值點.(2)由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時,有極小值點和極大值點,且是方程的兩根,,則所以設(shè),則,又,即,所以所以是上的單調(diào)減函數(shù),有兩個極值點,則【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)在上有解,,設(shè),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,得到答案.(2)證明,只需證,記,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,得到證明.【詳解】(1)由題可得,在上有解,則,令,,當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.所以是的最大值點,所以.(2)由,所以,要證明,只需證,即證.記在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.所以是的最小值點,,則,故.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題,證明不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.21、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理對式子化簡求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面積,求解三角形的周長即可.【詳解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周長為【點睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,也考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.22、(1).(2).【解析】分析:(1)直接建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出面的法向量和已知線的向量,再結(jié)合向量的夾角
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