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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.費(fèi)馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費(fèi)馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.2.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,則為()A. B.40 C.16 D.3.已知集合,則集合真子集的個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.84.設(shè)a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件5.如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實線部分上運(yùn)動,且總是平行于軸,則的周長的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.7.已知為兩條不重合直線,為兩個不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.8.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.9.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度10.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.3211.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面,已知這三人都不會違約且無兩人同時到達(dá),則甲第一個到、丙第三個到的概率是()A. B. C. D.12.過拋物線的焦點(diǎn)且與的對稱軸垂直的直線與交于,兩點(diǎn),,為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),則的面積為()A.1 B.2 C.4 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在數(shù)列中,,則數(shù)列的通項公式_____.14.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的模為_______________.15.若點(diǎn)在直線上,則的值等于______________.16.記為數(shù)列的前項和.若,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,若同時滿足下列四個條件中的三個:①;②;③;④.(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組,并求對應(yīng)的面積.(若所選條件出現(xiàn)多種可能,則按計算的第一種可能計分)18.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)已知點(diǎn)在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.(i)求;(ii)若,求整數(shù)的最大值.20.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個內(nèi)角、、所對邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.21.(12分)貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會提出“堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),建立解決相對貧困的長效機(jī)制”對當(dāng)前和下一個階段的扶貧工作進(jìn)行了前瞻性的部署,即2020年要通過精準(zhǔn)扶貧全面消除絕對貧困,實現(xiàn)全面建成小康社會的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號召,某市對口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展扶貧工作.對某種農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)銷售進(jìn)行指導(dǎo),經(jīng)調(diào)查知,在一個銷售季度內(nèi),每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬元,未售出的商品,每噸虧損2萬元.經(jīng)統(tǒng)計,兩市場以往100個銷售周期該產(chǎn)品的市場需求量的頻數(shù)分布如下表:市場:需求量(噸)90100110頻數(shù)205030市場:需求量(噸)90100110頻數(shù)106030把市場需求量的頻率視為需求量的概率,設(shè)該廠在下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)噸該產(chǎn)品,在、兩市場同時銷售,以(單位:噸)表示下一個銷售周期兩市場的需求量,(單位:萬元)表示下一個銷售周期兩市場的銷售總利潤.(1)求的概率;(2)以銷售利潤的期望為決策依據(jù),確定下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量噸還是噸?并說明理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對于,使得成立,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費(fèi)馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費(fèi)馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費(fèi)馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.2、D【解析】
如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、C【解析】
解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應(yīng)用,含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:,,為正數(shù),當(dāng),,時,滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.5、B【解析】
根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,結(jié)合定義表示出;根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn),求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍,即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線,則焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,根據(jù)拋物線定義可得,圓,圓心為,半徑為,點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實線部分上運(yùn)動,解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個曲線上,總是平行于軸,因而兩點(diǎn)不能重合,不能在軸上,則由圓心和半徑可知,則的周長為,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.6、B【解析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計算排除得到答案.【詳解】定義域為:,函數(shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項是常用的技巧.7、D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對選項中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A,當(dāng),,時,則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯誤;對于B,當(dāng),,時,則,故不能作為的充分條件,故B錯誤;對于C,當(dāng),,時,則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯誤;對于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由得,在時,是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性,解題時可先確定函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)求解.9、D【解析】
通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.10、A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.11、D【解析】
先判斷是一個古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù),再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
設(shè)拋物線的解析式,得焦點(diǎn)為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線方程可求得,而到直線的距離為,從而可求得三角形面積.【詳解】設(shè)拋物線的解析式,則焦點(diǎn)為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),,是與的交點(diǎn),又軸,∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,代入,解得,又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上,設(shè)過點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn),,∴.故應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,就能得出點(diǎn)坐標(biāo),從而求得參數(shù)的值.本題難度一般.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得,又,數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,分別求出,從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,∴當(dāng)為奇數(shù)時,,當(dāng)為偶數(shù)時,則為奇數(shù),∴,∴數(shù)列的通項公式,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項公式,解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列,求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項,要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.14、【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解:由,得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)題意可得,再由,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,得,又,解得,當(dāng)時,則,此時;當(dāng)時,則,此時,綜上,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】
由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項,以為公比的等比數(shù)列,再由等比數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】由,得,.且,則,即.?dāng)?shù)列是以16為首項,以為公比的等比數(shù)列,則.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式,考查等比數(shù)列的前項和,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①,③,④或②,③,④;(2).【解析】
(1)由①可求得的值,由②可求出角的值,結(jié)合題意得出,推出矛盾,可得出①②不能同時成為的條件,由此可得出結(jié)論;(2)在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應(yīng)的邊和角,然后利用三角形的面積公式可求出的面積.【詳解】(1)由①得,,所以,由②得,,解得或(舍),所以,因為,且,所以,所以,矛盾.所以不能同時滿足①,②.故滿足①,③,④或②,③,④;(2)若滿足①,③,④,因為,所以,即.解得.所以的面積.若滿足②,③,④由正弦定理,即,解得,所以,所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查三角形能否成立的判斷,同時也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,以及三角形面積的計算,要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦定理或余弦定理解三角形,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系,可求得面PAB的法向量,再運(yùn)用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點(diǎn),,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設(shè)是平面PAB的法向量,,令,則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.19、(1)在上增;在上減;(2)(i);(ii)2【解析】
(1)求導(dǎo)求出,對分類討論,求出的解,即可得出結(jié)論;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求問題轉(zhuǎn)化為,恒成立,設(shè),,只需,根據(jù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時,,即在上增;當(dāng)時,,,,,即在上增;在上減;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,所以滿足題意;當(dāng)時,,,,所以在上減,在上增,令,..在單調(diào)遞減,所以所以在上單調(diào)遞減,,綜上可知,整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立,考查分類討論思想,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦
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