北京市西城區(qū)2016屆九年級上期末數(shù)學試卷含答案解析

北京市西城區(qū)2016屆九年級上期末數(shù)學試卷含

答案解析

一、選擇題(本題共30分，每小題3分)下面各題均有四個選項，其

中只有一個是符合題意的.

1.二次耳產廣(x-5)2+7的最小值是()

/7C.-5D.5

//RtaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則cosA的值為

“^43

/C.5D.4

[C]]與NAOB的兩邊分不相切，其中OA邊與。C相切于點

P.\,OP=6,則OC的長為()

APO

A.12B.12V2C.&V2D.6V3

4.將二次函數(shù)y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下

列結果中正確的是()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x-3)2-4D.y=(x

+3)2-9

5.若一個扇形的半徑是18cm,且它的弧長是12ncm,則此扇形的

圓心角等于()

aC.90°D.120°

\直角坐標系xOy中，點A的坐標為(-1,2),AB

±xqO為位似中心，將△OAB放大為原先的2倍，得到

△C|I、：第二象限,則點A1的坐標為()

京B~天

1

A.(-2,4)B.(至，1)C.(2,-4)D.(2,4)

7.如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東37。方向，距離燈塔40海里

的A處，它沿正北方向航行一段時刻后，到達位于燈塔P的正東方向上的

B處.這時，B處與燈塔P的距離BP的長能夠表示為()

一方0tan37°海里C.40cos37°海里D.40sin37°海

C三點在已知的圓上，在AABC中，NABC=70°,

2的中點，連接DB,DC,則NDBC的度數(shù)為(

A.30°B.45°C.50°D.70°

9.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調查

反映，如果調整商品售價，每降價1元，每星期可多賣出20件.設每件商

品降價x元后，每星期售出商品的總銷售額為y元，則y與x的關系式為

()

A.y=60(300+20x)B.y=(60-x)(300+20x)

C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)

10.二次函數(shù)y=2x2-8x+m滿足以下條件：當-2<x<-l時，它的

圖象位于x軸的下方；當6VxV7時，它的圖象位于x軸的上方，則m的

值為()

A.8B.-10C,-42D.-24

二、填本新(本顆共18分，每小題3分)

a3a+b

11.若則丁的值為

12.點A(-3,yl),B(2,y2)在拋物線y=x2-5x上，則yly

2.(填“〈”或“=”)

13.AABC的三邊長分不為5,12,13,與它相似的4DEF的最小邊

長為15,則4DEF的周長為

14.如圖，線段AB和射線AC交于點A,ZA=30°,AB=20.點D

在身5ADB是鈍角，寫出一個滿足條件的AD的長度值：AD

B

15.程大位所著《算法統(tǒng)宗》是一部中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作.在《算

法統(tǒng)宗》中記載：“平地秋千未起，踏板離地一尺.送行二步與人齊，五尺

人高曾記.仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇，算出索長有

幾？”【注釋】1步=5尺.

譯文：“當秋千靜止時，秋千上的踏板離地有1尺高，如將秋千的踏板

往前推動兩步(10尺)時，踏板就和人一樣高，已知那個人身高是5尺.漂

亮的小姐和才子們，每天都來爭蕩秋千，歡聲笑語終日持續(xù).好奇的能工

巧匠，能算出這秋千的繩索長是多少嗎？”

如圖，假設秋千的繩索長始終保持直線狀態(tài)，OA是秋千的靜止狀態(tài)，

O

A責Nv專地面，點B是推動兩步后踏板的位置，弧AB是踏板移動

的車C=1尺’CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺.設繩索長OA

=O1I5「列方程為.

CD

16.閱讀下面材料：

在學習《圓》這一章時，老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題:

尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線.

已知：P為OO夕I"一點.

求作：通過點P的。O的切線.

小敏的作法如下：

如圖,

(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C；

(2)以點C為圓心，CO的長為半徑作圓,交。O于A,B兩點;

是所求作的切線.

O

o?p3P=90°,其依據(jù)是

由止；依據(jù)是.

三、解答題(本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分,

第28題7分，第29題8分)解承諾寫出文字講明，演算步驟或證明過程.

17.運算：4cos30°?tan60°-sin245

BC=15,ADLBC于點D,NBAD=3

19.已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點，點A在點B的

左側.

(1)求A,B兩點的坐標和此拋物線的對稱軸；

(2)設此拋物線的頂點為C,點D與點C關于x軸對稱，求四邊形A

CBD的面積.

「八百aaABCD中,AD〃BC,ZA=ZBDC.

\>ADCB；

\=8,CD=15,求DB的長.

BC

21.某小區(qū)有一塊長21米，寬8米的矩形空地，如圖所示.社區(qū)打算

在其中修建兩塊完全相同的矩形綠地，同時兩塊綠地之間及四周都留有寬

度)IIX*~~這兩塊綠地的面積之和為60平方米,人行通道

8"yeo

的方XX

________________.X

2\m

22.已知拋物線Cl：yl=2x2-4x+k與x軸只有一個公共點.

(1)求k的值；

(2)如何樣平移拋物線C1就能夠得到拋物線C2：y2=2(x+1)2-4

k?請寫出具體的平移方法；

(3)若點A(1,t)和點B(m,n)都在拋物線C2：y2=2(x+1)2

-4k±,且nVt,直截了當寫出m的取值范疇.

23.如圖，AB是。O的一條弦，且AB=WI點C,E分不在。O上,

且OC_LAB于點D,NE=30°,連接OA.

(1)求OA的長；

E

o是。O的另一條弦，且點O到AF的距離為2加,直截了當

寫‘長把’批

c

24.奧林匹克公園觀光塔由五座高度不等、錯落有致的獨立塔組成.在

綜合實踐活動課中，某小組的同學決定利用測角儀測量這五座塔中最高塔

的高度（測角儀高度忽略不計）.他們的操作方法如下：如圖，他們先在B

處洌竟直吠取俯A的仰角為45°,然后向最高塔的塔基直行90米到達C

處，斗\塔頂A的仰角為58。.請關心他們運算出最高塔的高

度卜\\〔參考數(shù)據(jù)：sin58°-0.85,cos58°40.53,tan58°&

'JC內接于（DO,AB是。O的直徑.PC是。O的切線,

于點D,交AC于點E.

CE=/PEC；

B3_3_

ED=2,sinA=5,求PC的長.

26.閱讀下面材料：

如圖1,在乎'而畝白加'標'玄vC\,tfa吉線：xr1—匕W才1姓：—v

=

A(1,3)和B5--ytyx

4-

觀看圖象可

①當x=-3

②當-3<xV23454

到不等式ax+b>

有如此一個

某同學按照

圖i

集進行了探究.圖2

下面是他的探究過程，請將（2）、（3）、（4）補充完整:

（1）將不等式按條件進行轉化：

當x=0時，原不等式不成立；

_4

當x>0時，原不等式能夠轉化為x2+4x-1>不；

4

當xVO時，原不等式能夠轉化為x2+4x-1<不

(2)構造函數(shù)，畫出典象

設y3=x2+4\-1,y4=x,在同一坐標系中分不畫出這兩個函數(shù)的圖象.

雙曲線y4=^■如圖2所示，請在此坐標系中畫出拋物線y3=x2+4x-1；

(不用列表)

(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標

觀看所畫兩個函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知：滿

足y3=y4的所有x的值為s

(4)借助圖象，寫出解集

結合(1)的討論結果，觀看兩個函數(shù)的圖象可知：不等式x3+4x2-x

-4>0的解集為

112

27.(7分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)丫=-2、+bx+

c的圖象通過點A(1,0),且當Y=0和x=5時所對應的函數(shù)值相等.一次

(1)如圖1,當BD=2時，AN=,NM與AB的位置關系是；

(2)當4<BD<8時，

①依題意補全圖2；

②判定(1)中NM與AB的位置關系是否發(fā)生變化，并證明你的結論;

(3)連接ME,在點D運動的過程中，當BD的長為何值時，ME的

長最?。孔钚≈凳嵌嗌伲空堉苯亓水攲懗鼋Y果.

29.(8分)在平面直角坐標系xOy中，過。C上一點P作。C的切線

1.當入射光線照耀在點P處時，產生反射，且滿足：反射光線與切線1的

夾角和入射光線與切線1的夾角相等，點P稱為反射點.規(guī)定：光線不能''穿

過”。C,即當入射光線在。C外時，只在圓外進行反射；當入射光線在。

C內時，只在圓內進行反射.專門地，圓的切線不能作為入射光線和反射

光線.

光線在。C外反射的示意圖如圖1所示，其中N1=N2.

(1)自。C內一點動身的入射光線經。C第一次反射后的示意圖如圖

2所示，P1是第1個反射點.請在圖2中作出光線經OC第二次反射后的

反射光線；

(2)當。O的半徑為1時，如圖3,

①第一象限內的一條入射光線平行于x軸，且自。O的外部照耀在其

寸光線與y軸平行，則反射光線與切

匕線，在。O內持續(xù)地反射.若第1

N射點P12與點A重合，則第1個反

2),OM的半徑為1.第一象限內

,反射光線與坐標軸無公共點，求反

2015-2016學年北京市西城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其

中只有一個是符合題意的.

1.二次函數(shù)丫=（x-5）2+7的最小值是（）

A.-7B.7C.-5D.5

【考點】二次函數(shù)的最值.

【分析】按照二次函數(shù)的性質求解.

【解答】解：:丫二（x-5）2+7

，當x=5時，y有最小值7.

故選B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值：當a>0時，拋物線在對稱軸左

側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而呼因為圖象

有最低點，因此函數(shù)有最小值，當x=-2a,函數(shù)最小值y=4a；當aV

0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側；y隨x

的增大而千'、b2因為圖象有最高點，因此函數(shù)有最大值，當乂=-云，函數(shù)

4ac-b’

最大值V=4as.

//RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則cosA的值為

（Z_J

A3_1C4_3_

A.yB.TC.TD.7

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】按照勾股定理，可得AB的長，按照銳角的余弦等于鄰邊比斜

邊，可得答案.

【解答】解：在RtZiABC中，NC=90°,AC=3,BCM,

由勾股定理，得

AB=W^+BC2^.

AC3_

cosA=AB=5,

故選：A.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的

正弦為對邊比斜能，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

(c1:與NAOB的兩邊分不相切，其中OA邊與。C相切于點

P.〈,OP=6,則OC的長為()

AP0

A.12B.1272C.W2D.3

【考點】切線的性質.

【分析】連接CP,由切線的性質可得CP,AO,再由切線長定理可得

NPOC=45。，進而可得APOC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出

OC的長.

【解答】解：

連接CP,

?「OA邊與OC相切于點P,

.*.CP±AO,

?.?(DC與NAOB的兩邊分不相切，ZAOB=90°,

【點評】本題考查了切線的性質定理、切線長定理以及勾股定理的運

用，能夠正確的判定aPOC是等腰直角三角形是解題關鍵.

4.將二次函數(shù)y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下

列結果中正確的是()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x-3)2-4D.y=(x

+3)2-9

【考點】二次函數(shù)的三種形式.

【分析】運用配方法把一樣式化為頂點式即可.

【解答】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x-3)2-4,

故選：C.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把一樣

式化為頂點式是解題的關鍵.

5.若一個扇形的半徑是18cm,且它的弧長是12ncm,則此扇形的

圓心角等于()

A.30°B.60°C.90°D.120°

【考點】弧長的運算.

【分析】把弧長公式進行變形，代？已知數(shù)據(jù)運算即可.

n兀r

【輕等】熊口臂黑弧長的公式1=E,得

180118QX12K

n=JiT=7TX18：=120°,

故選：D.

n兀:r

【點評】本題考查的是弧長的運算，把握弧長的公式1=前是解題的

關鍵.

直角坐標系xOy中，點A的坐標為(-1,2),AB

O為位似中心，將AOAB放大為原先的2倍，得到

____^第二象限，則點A1的坐標為()

O”

1

A.(-2,4)B.(至，1)C.(2,-4)D.(2,4)

【考點】位似變換；坐標與圖形性質.

【分析】直截了當利用位似圖形的性質以及結合A點坐標直截了當?shù)?/p>

出點A1的坐標.

【解答】解：...點A的坐標為（-1,2）,以原點O為位似中心，將

△OAB放大為原先的2倍，得到△OA1B1,且點A1在第二象限，

.,.點A1的坐標為（-2,4）.

故選：A.

【點評】此題要緊考查了位似變換以及坐標與圖形的性質，正確把握

位似圖形的性質是解題關鍵.

北A

I

j?艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，距離燈塔40海里

的:樂|北方向航行一段時刻后，到達位于燈塔P的正東方向上的

BAP\|也與燈塔P的距離BP的長能夠表示為（）

A.40海里B.40tan37°海里C.40cos37°海里D.40sin37°海

里

【考點】解直角三角形的應用-方向角咨詢題.

【分析】按照已知條件得出NBAP=37°,再按照AP=40海里和正弦定

理即可求出BP的長.

【解答】解：...一艘海輪位于燈塔P的南偏東37。方向，

AZBAP=37°,

VAP=40海里,

「.BP=AP?sin37°=40sin37°海里；

故選D.

【點評】本題考查解直角三角形，用到的知識點是方位角、直角三角

形、銳角三角函數(shù)的有關知識，結合航海中的實際咨詢題，將解直角三角

體現(xiàn)了數(shù)學應用于實際生活的思想.

C三點在已知的圓上，在AABC中，ZABC=70°,

亍的中點，連接DB,DC,則NDBC的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.50°D.70°

【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系.

【分析】按照三角形的內角和定理得到NA=80。，按照圓周角定理得

到ND=NA=80。，按照等腰三角形的內角和即可得到結論.

【解答】解：VZABC=70°,ZACB=30°,

二.NA=80°,

二.ND=NA=80°,

VD是病的中點，

ABD=CD,

，BD=CD,

180°-ZD

二.NDBC=NDCB=2=50°,

故選C.

【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，等腰三角

形的性質，熟練把握圓周角定理是解題的關鍵.

9.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調查

反映，如果調整商品售價，每降價1元，每星期可多賣出20件.設每件商

品降價x元后，每星期售出商品的總銷售額為y元，則y與x的關系式為

()

A.y=60(300+20x)B.y=(60-x)(300+20x)

C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)

【考點】按照實際咨詢題列二次函數(shù)關系式.

【分析】按照降價x元，則售價為(60-x)元，銷售量為(300+20X)

件，由題意可得等量關系：總銷售額為y=銷量義售價，按照等量關系列出

函數(shù)解析式即可.

【解答】解：降價x元，則售價為(60-x)元，銷售量為(300+20x)

件，

按照題意得，y=(60-x)(300+20x),

故選：B.

【點評】此題要緊考查了按照實際咨詢題列二次函數(shù)解析式，關鍵是

正確明白得題意，找出題目中的等量關系，再列函數(shù)解析式.

10.二次函數(shù)y=2x2-8x+m滿足以下條件：當-2Vx<-1時，它的

圖象位于x軸的下方；當6VxV7時，它的圖象位于x軸的上方，則m的

值為（）

A.8B.-10C.-42D.-24

【考點】二次函數(shù)的性質.

【分析】按照拋物線頂點式得到對稱軸為直線x=2,在7VxV8這一段

位于x軸的上方，利用拋物線對稱性得到拋物線在0Vx<l這一段位于x

軸的上方，而圖象在l<x<2這一段位于x軸的下方，因此可得拋物線過

點（-2,0）,（6,0）,然后把（-2,0）代入y=2x2-8x+m可求出m的

值.

【解答】解：?.?拋物線y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的對稱軸為直

線x=2,

而拋物線在-2VxV-1時，它的圖象位于x軸的下方；當6<x<7時，

它的圖象位于x軸的上方...拋物線過點（-2,0）,（6,0）,

把（一2,0）代入y=2x2-8x+m得8+16+m=0,解得m=-24.

故選D.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點以及拋物線的軸對稱性：求

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a￥0）與x軸的交點坐標，令y=

0,即ax2+bx+c=0,解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.△及2

-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有

2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac<0時,

拋物線與x軸沒有交點.

二、填本新（本顆共18分，每小題3分）

a3a+b7

11.若^口，則丁的值為I.

【考點】比例的性質.

aa+b

【分析】已知E的比值，按照比例的合比性膩即可求得T.

a3

【解答！解：按照比例的合比性質，已知

a+b7_

貝(]b=4.

【點評】熟練應用比例的合比性質.

12.點A(-3,yl),B(2,y2)在拋物線y=x2-5x上，貝Iyl>

y2.(填“<”或“=”)

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特點.

【分析】分不運算自變量為-3、2時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大

小即可.

【解答】解：當x=-3時，yl=x2-5x=24；

當x=2時，y2=x2-5x=-6；

V24>-6,

/.yl>y2.

故答案為：>.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點：二次函數(shù)圖象上

點的坐標滿足其解析式.也考查了二次函數(shù)的性質.

13.AABC的三邊長分不為5,12,13,與它相似的4DEF的最小邊

長為15,則4DEF的周長為90.

【考點】相似三角形的性質.

【分析】由^ABC的三邊長分不為5,12,13,與它相似的4DEF的

最小邊長為15,即可求得AAC的周長以及相似比，又由相似三角形的周長

的比等于相似比，即可求得答案.

【解答】解：:△ABC的三邊長分不為5,12,13,

.'.△ABC的周長為:5+12+13=30,

?.?與它相似的4DEF的最小邊長為15,

.二△DEF的周長:ZXABC的周長=15：5=3：1,

「.△DEF的周長為：3X30=90.

故答案為90.

【點評】此題考查了相似三角形的性質.熟練把握相似三角形的周長

比等于相似比是解題關鍵.

14.如圖，線段AB和射線AC交于點A,ZA=30°,AB=20.點D

在身5ADB是鈍角，寫出一個滿足條件的AD的長度值：AD

AB

【考點】含30度角的直角三角形.

【分析】過B作BE±AC于E,由NA=30°,AB=20,得至UAE=10V3,

推出NADB>NAEB,即可得到結論.

【解答】解：過B作BELAC于E,

VZA=30°,AB=20,

.\AE=10V3,

,/ZADB是鈍角，

二.ZADB>ZAEB,

.,.0<AD<1073,

AB

【點評】本題考查了含30。角的直角三角形的性質，熟記直角三角形

的性質是解題的關鍵.

15.程大位所著《算法統(tǒng)宗》是一部中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作.在《算

法統(tǒng)宗》中記載：“平地秋千未起，踏板離地一尺.送行二步與人齊，五尺

人高曾記?仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇，算出索長有

幾？”【注釋】1步=5尺.

譯文：“當秋千靜止時，秋千上的踏板離地有1尺高，如將秋千的踏板

往前推動兩步（10尺）時，踏板就和人一樣高，已知那個人身高是5尺.漂

亮的小姐和才子們，每天都來爭蕩秋千，歡聲笑語終日持續(xù).好奇的能工

巧匠，能算出這秋千的繩索長是多少嗎？”

行口圖，假設秋千的繩索長始終保持直線狀態(tài)，OA是秋千的靜止狀態(tài)，

A』專地面，點B是推動兩步后踏板的位置，弧AB是踏板移動

的車C二1尺’CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺.設繩索長OA

=01I$「列方程為102+(x-5+1)2=x2.

cD

【考點】由實際咨詢題抽象出一元二次方程.

【分析】設繩索有x尺長，現(xiàn)在繩索長，向前推出的10尺，和秋千的

上端為端點，垂直地面的線可構成直角三角形，按照勾股定理列出方程.

【解答】解：設繩索長OA=OB=x尺，

由題意得，102+(x-5+l)2=x2.

故答案為：102+(x-5+l)2=x2.

【點評】本題考查了由實際咨詢題抽象出一元二次方程，考查學生明

白得題意能力，關鍵是能構造出直角三角形，用勾股定理來求解.

16.閱讀下面材料：

在學習《圓》這一章時，老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題：

尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線.

已知：P為。O外一點.

求作：通過點P的。O的切線.

小敏的作法如下：

如圖，

(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C；

(2)以點C為圓心，CO的長為半徑作圓，交。O于A,B兩點;

(3)作直線PA,PB.因此直線PA,PB確實是所求作的切線.

老師認為小敏的作法正確.

【考點】作圖一復雜作圖；切線的判定.

【分析】分不利用圓周角定理以及切線的判定方法得出答案.

【解答】解：連接OA,OB后，可證NOAP=NOBP=90°,其依據(jù)是:

直徑所對的圓周角是90°；

由此可證明直線PA,PB差不多上。O的切線，其依據(jù)是：通過半徑外

端，且與半徑垂直的直線是圓的切線.

故答案為：直徑所對的圓周角是90。；通過半徑外端，且與半徑垂直

的直線是圓的切線.

【點評】此題要緊考查了切線的判定以及圓周角定理，正確把握切線

的判定方法是解題關鍵.

三、解答題(本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分,

第28題7分，第29題8分)解承諾寫出文字講明，演算步驟或證明過程.

17.運算：4cos30°?tan60°-sin2450.

【考點】專門角的三角函數(shù)值.

【分析】按照專門角三角函數(shù)值，可得實數(shù)的運算，按照實數(shù)的運算,

可得答案?返返

【解套】解：原式=4X2XV3-(2)2

=^-2

11

=~T.

【點評】本題考查了專門角三角函數(shù)值，熟記專門角三角函數(shù)值是解

題關鍵.

18.如圖，^ABC中，AB=12,BC=15,ADJ_BC于點D,ZBAD=3

0°,求tanC的值.

【考點】解直角三角形.

【分析】按照在^ABC中，AB=12,BC=15,AD_LBC于點D,ZBA

D=30。，能夠求得BD、AD、CD的長，從而能夠求得tanC的值.

【解答】解：:△ABC中，AB=12,BC=15,ADLBC于點D,ZBA

D=30°,

NADB=NADC=90°,

/.AB=2BD,

/.BD=6,

.\CD=BC-BD=15-6=9,

，AD希重登。，

/.tanC=CD_9?

即tanC的值是M.

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是運算出題目中各邊的

長，找出所求咨詢題需要的條件.

19.已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點，點A在點B的

左側.

(1)求A,B兩點的坐標和此拋物線的對稱軸；

(2)設此拋物線的頂點為C,點D與點C關于x軸對稱，求四邊形A

CBD的面積.

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】(1)令y=0解方程即可求得A和B的橫坐標，然后利用配方

法即可求得對稱軸和頂點坐標；

(2)第一求得D的坐標，然后利用面積公式即可求解.

【解答】解：(1)令y=0,則-x2+2x+3=0,

解得：xl=-1,x2=3.

則A的坐標是(-1,0),B的坐標是(3,0).

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

則對稱軸是x=l,頂點C的坐標是（1,4）；

（2）D的坐標是（1,-4）.

AB=3-（-1）=4,CD=4-]（-4）=8,]

則四邊形ACBD的面積是：7AB*CD=7X4X8=16.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及配方法確定二次函

數(shù)的對稱軸和頂點坐標，正確求得A和B的坐標是關鍵.

「『JQE"ABCD中，AD〃BC,NA=NBDC.

\>ADCB；

\=8,CD=15,求DB的長.

BC

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】（1）按照平行線的性質，可得NADB與NDBC的關系，按照

兩個角對應相等的兩個三角形相似，可得答案；

（2）按照相似三角形的性質，可得答案.

【解答】（1）證明：?.?AD〃BC,

二.ZADB=ZDBC.

,/NA=NBDC,

.,.△ABD^ADCB；

（6?「△ABDs/\DCB,AB=12,AD=8,CD=15,

DBCDDB15

AAD=AB,即石=五，

解得DB=10,

DB的長10.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，利用了兩個角對應相

等的兩個三角形相似，利用相似三角形的對應邊成比例是解題關鍵.

21.某小區(qū)有一塊長21米，寬8米的矩形空地，如圖所示.社區(qū)打算

在其中修建兩塊完全相同的矩形綠地，同時兩塊綠地之間及四周都留有寬

度)ii，*~~這兩塊綠地的面積之和為6。平方米,人行通道

的多X?

____________9x

21m

【考點】一元二次方程的應用..。

21-3x

【分析】設人行道的寬度為X米，則矩形綠地的長度為：,寬度

為：8-2x,按照兩塊綠地的面積之和為60平方米，列方程求解.

【解答】解：哆上［道的寬度為x米，

由題意得，2XF-X(8-2x)=60,

解得：xl=2,x2=9(不合題意，舍去).

答：人行道的寬度為2米.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是讀明白

題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程求解.

22.已知拋物線Cl：yl=2x2-4x+k與x軸只有一個公共點.

(1)求k的值；

(2)如何樣平移拋物線C1就能夠得到拋物線C2：y2=2(x+1)2-4

k?請寫出具體的平移方法；

(3)若點A(1,t)和點B(m,n)都在拋物線C2：y2=2(x+1)2

-4k±,且nVt,直截了當寫出m的取值范疇.

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標特點；二次

函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】(1)拋物線與X軸只有一個公共點，則判不式△=(),據(jù)此即

可求得k的值；

(2)把C1化成頂點式的形式，利用函數(shù)平移的法則即可確定；

(3)第一求得t的值，然后求得等y=t時C2中對應的自變量的值，結

合函數(shù)的性質即可求解.

【解答】解：(1)按照題意得：△=16-8k=0,解得：k=2；

(2)Cl是：yl=2x2-4x+2=2(x-1)2,拋物線C2是：y2=2(x+1)

2-8.

則平移拋物線Cl就能夠得到拋物線C2的方法是向左平移2個單位長

度，向下平移8個單位長度；

(3)當x=l時，y2=2(x+1)2-8=0,即t=0.

在y2=2(x+1)2-8中，令y=0,解得：x=l或-3.

則當n<t時，即2(x+1)2-8<0時，m的范疇是一3VmVl.

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點的個數(shù)的確定，以及函數(shù)的平

移方法，按照函數(shù)的性質確定m的范疇是關鍵.

23.如圖，AB是。O的一條弦，且AB=%5.點C,E分不在。O上,

且OC_LAB于點D,NE=30°,連接OA.

(/o\、是。O的另一條弦，且點O到AF的距離為2&,直截了當

寫上包1數(shù)?

c

【考點】垂徑定理；勾股定理；圓周角定理.

【分析】(1)按照垂徑定理求出AD的長，按照圓周角定理求出NAO

D的度數(shù)，運用正弦的定義解答即可；

(2)作OHLAF于H,按照勾股定理和等腰直角三角形的性質求出N

OAF的度數(shù)，分情形運算即可.

【解答】解：(1)VOC1AB,AB=W3,

.,.AD=DB=2遙,

VZE=30°,

AZAOn=6n°,ZOAB=30°,

AD

/.OA=sin600=4;

(2)如圖，作OHLAF于H,

VOA=4,OH=2&,

NOAF=45°,

二.NBAF=NOAF+NOAB=75°,

則NBAF'=ZOAF/-ZOAB=15°,

E

Hkyo

獎度數(shù)是75°或15°.

【點評】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理和勾股定理的應用，把

握垂直弦的直徑平分這條弦，同時平分弦所對的兩條弧、在同圓或等圓中,

同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題

的關鍵，注意分情形討論思想的應用.

24.奧林匹克公園觀光塔由五座高度不等、錯落有致的獨立塔組成.在

綜合實踐活動課中，某小組的同學決定利用測角儀測量這五座塔中最高塔

的高度（測角儀高度忽略不計）.他們的操作方法如下：如圖，他們先在B

處?！┲狈腿「〢的仰角為45°,然后向最高塔的塔基直行90米到達C

處，鄧\塔頂A的仰角為58。.請關心他們運算出最高塔的高

度「O卜\\x〔參考數(shù)據(jù)：sin58°-0.85,cos58°"0.53,tan58°&

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角咨詢題.

【分析靖照已知條件求出BD=AD,設DC=x,得出AD=90+x,再按

照tan58°=DC,求出x的值，即可得出AD的值.

【解答】解：VZB=45°,AD1DB,

AZDAB=45°,

；.BD=AD,

設DC=x,貝IBD=BC+DC=90+x,

二.AD=90+x

AD90+x

/.tan58°=DC=x=1.60,

解得：x=150,

AD=90+150=240（米），

答：最高塔的高度AD約為240米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，要求學生能借助仰角構造

直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的運用.

-JC內接于（DO,AB是。。的直徑.PC是。O的切線,

C關/仁飛\于點口，交AC于點E.

/區(qū)、產=爛；3、

\1ED=2,sinA=5,求PC的長.

【考點】切線的性質.

【分析】（1）由弦切角定理可知NPCA=NB,由直角所對的圓周角等

于90?？芍狽ACB=90。.由同角的余角相等可知NAED=NB,結合對頂

角的性質可知NPCE=NPEC；

（2）過點P作P,LAC,垂足為F.由銳角三角函數(shù)的定義和勾股定

理可求得AC=8,AE=2,由等腰三角形三線合一的性質可知EF=7,然后

證明△AEDS/\PEF,由相似三角形的性質可求得PE的長，從而得到PC

的長.

【解答】解：（1）是圓O的切線，

二.NPCA=NB.

VAB是圓O的直徑，

AZACB=90°.

AZA+ZB=90°.

VPD1AB,

AZA+ZAED=90°.

P作PF_LAC,垂足為F.

VAB=10,s；nA=5,

3_

，BC=AB?虧=6.

.,.AC=VAB2-BC=8.

33

VDE=9,sinA=5,

5_

AE=2.

511

EC=AC-AE=8-2=2.

PC=PFPP±EC,

.心心4-EC-11

..EF=24.

,/NAED=NEDA=NEFP,

/.AAPQCZ：2_EP7

AE_PEm

二.而甘，MV.

55

解得：PP=TI.

55

?.PC=12.

【點評】本題要緊考查的是切線的性質、圓周角定理、銳角三角函數(shù)

的定義、勾股定理、相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質，證得

△AED^APEF是解題的關鍵.

26.閱讀下面材料:

如圖1,在，而吉白巫粽玄th

A（1，3）和B

觀看圖象可

①當x=-3

②當-3<X-5上。12345

到不等式ax+b〉//\-2-

有如此一個\：.

某同學按照

集進行了探究.圖1圖2

下面是他的探究過程，請將（2）、（3）、（4）補充完整:

（1）將不等式按條件進行轉化：

當x=0時，原不等式不成立；，

4

當x>0時，原不等式能夠轉化為x2+4x-1>不；

4

當x〈0時，原不等式能夠轉化為x2+4x-1<x；

(2)構造函數(shù)，畫出圖象

4

設y3=x2+4\-1,y4=x,在同一坐標系中分不畫出這兩個函數(shù)的圖象.

雙曲線y4=與如圖2所示，請在此坐標系中畫出拋物線y3=x2+4x-1；

(不用列表)

(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標

觀看所畫兩個函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知：滿

足y3=y4的所有x的值為±1和-4；

(4)借助圖象，寫出解集

結合(1)的討論結果，觀看兩個函數(shù)的圖象可知：不等式x3+4x2-x

-4>0的解集為x>l或-4Vx<-1

(3)兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標是±1和-4.

則滿足y3=y4的所有x的值為±1和-4.

故答案是：±1和-4；

4

(4)不等式x3+4x2-x-4>0即當x>0時，x2+4x-1>7,現(xiàn)在x

的范疇是：x>l；

4

當x<0時，x2+4x-1<7,貝U-4<xV-l.

故答案是：x>l或-

【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，正確明白得不等式：3+4x2-x

44

-4>0即當x>0時，x2+4x-1>7,；當x<0時，x2+4x-1<7,分成兩

種情形討論是本題的關鍵.

12

27.如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=-2*+bx+c的圖

象通過點A（1,0）,且*Y=O和x=5時所對應的函數(shù)值相等.一次函數(shù)y

12

=-x+3與二次函數(shù)y=-2*+bx+c的圖象分不交于B,C兩點，點B在第

一家\2

]+bx+c的表達式；

y\\〔AC的中點，將點B繞點M旋轉180°得到

點】/\邊形ABCN的形狀，并證明你的結論.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】（1）按照當x=0和x=5時所對應的函數(shù)值相等，可得（5,c）,

按照待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）聯(lián)立拋物線與直線，可得方程組，按照解方程組，可得B、C點

坐標，按照勾股定理，可得AB的長；

（3）按照線段中點的性質，可得M點的坐標，按照旋轉的性質，可得

MN與BM的關系，按照平行四邊形的判定，可得答案.

【解答】解：（1）當x=0時，y=c,即（0,c）.

f'25x=5時所對應的函數(shù)值相等，得（5,c）.

:-（1,0）代入函數(shù)解析式，得

解得[c=-2.

15

故拋物線的解析式為y=-彳x2+Ix-2；

-

（產^*之得x-2/線與直線，得

kx?=2（x=5

解得（y=l,fy=-2,

即B（2,1）,C（5,-2）.

由勾股定理，得

AB=V（2-1）2+（l-0）2=V2；

（3）如圖：

四邊形ABCN是平行四邊形,

證明：:M是AC的中點，

.\AM=CM.

?.?點B繞點M旋轉180°得到點N,

?.BM=MN,

四邊形ABCN是平行四邊形.

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等得出點(5,c)

是解題關鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用解方程組得出交點

半線互相平分的

備用圖

(1)如圖1,當BD=2時，AN=VlpNM與AB的位置關系是

垂直；

(2)當4<BD<8時，

①依題意補全圖2；

②判定(1)中NM與AB的位置關系是否發(fā)生變化，并證明你的結論；

(3)連接ME,在點D運動的過程中，當BD的長為何值時，ME的

長最??？最小值是多少？請直截了當寫出結果.

【考點】幾何變換綜合題.

【分析】(1)按照已知條件得到CD=2,按照勾股定理得到AD=VAC2+CD2

=2旄，按照旋轉的性質得到4ADE是號腰直角三角形，］求得DE=&AD=2

V10,按照直角三角形的性質得到AN=EDE=而，AM=5AB=2加,推出△

ACD-AAMN,按照相似三角形的性質即可得到結論；

(2)①按照題意補全圖形即可；②按照等腰直角三角形的性質得到N

CAB=ZB=45°,求得NCAN+NNAM=45。按照旋轉的性質得到AD=AE,

ZDAE=90°,推出△ANM4ADC,由相似三角形的性質得到NAMN=NA

CD,即可得到結論；

(3)連接ME,EB,過M作MG_LEB于G,過A作AK_LAB交BD

的延長線于K,得到AAKB等腰直角三角形，推出AADK之ZXABE,按照

全等三角形的性質得到NABE=NK=45°,證得是等腰直角三角形，

求出BC=4,AB=4&,MB=2&,由MENMG,