2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.5.2-余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例一、單項(xiàng)選擇題1．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A．502m B．503mC．252m D．2522．如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m3．火箭造橋技術(shù)是我國(guó)首創(chuàng)在陡峭山區(qū)建橋的一種方法．由兩枚火箭牽引兩條足夠長(zhǎng)的繩索精準(zhǔn)的射入對(duì)岸的指定位置，是建造高空懸索橋的關(guān)鍵．位于湖北省的四渡河大橋就是首次用這種技術(shù)建造的懸索橋．工程師們需要測(cè)算火箭攜帶的引導(dǎo)索的長(zhǎng)度(引導(dǎo)索比較重，過(guò)長(zhǎng)會(huì)影響火箭發(fā)射)，如圖，已知工程師們?cè)诮蛱嶤看對(duì)岸目標(biāo)點(diǎn)D的正下方地面上一高為h的標(biāo)志物AB的高為h，從點(diǎn)C處看點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為α，β.則一枚火箭應(yīng)至少攜帶引導(dǎo)索CD的長(zhǎng)度為()A．?sinαcosβC．?cosαcosβ4．古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，如圖，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)(切點(diǎn))，地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC＝100m，則該球體建筑物的高度約為(cos10°≈0.985)()A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60m二、多項(xiàng)選擇題5．如圖，某校測(cè)繪興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的點(diǎn)C與點(diǎn)D(點(diǎn)B，C，D不在同一直線上)，測(cè)得CD＝s.測(cè)繪興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC6．如圖，甲船從A1出發(fā)以25nmile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船出發(fā)時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時(shí)兩船相距52nmile.當(dāng)甲船航行12min到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時(shí)兩船相距5nmile，下面說(shuō)法正確的是()A．乙船的行駛速度與甲船相同B．乙船的行駛速度是152nmile/hC．甲、乙兩船相遇時(shí)，甲行駛了1+D．甲、乙兩船不可能相遇三、填空題7．某校學(xué)生參加課外實(shí)踐活動(dòng)“測(cè)量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測(cè)得∠PAC＝15°，沿土坡向坡頂前進(jìn)25m后到達(dá)D處，測(cè)得∠PDC＝45°.已知旗桿CP＝10m，PB⊥AB，土坡對(duì)于地平面的坡度為θ，則cosθ＝________．8．山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)(如圖1)，其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“∞”完美嵌入其中，寓意無(wú)限未知、無(wú)限發(fā)展、無(wú)限可能和無(wú)限的科技創(chuàng)新．如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行600m到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°(A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi))，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______m.9．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問(wèn)題(如圖1)：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問(wèn)島高及去表各幾何？假設(shè)古代有類(lèi)似的一個(gè)問(wèn)題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD＝800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH＝________步．(古制單位：180丈＝300步)10．如圖，某湖有一半徑為1km的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心(大小忽略不計(jì))，在其正東方向相距2km的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了使監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且∠BAC＝90°，AB＝AC.定義：四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”，設(shè)∠AOB＝θ，則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為_(kāi)_______km2.四、解答題11．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北45°的方向上，仰角為30°，行駛4km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北60°的方向上．(1)求此山的高度；(2)設(shè)汽車(chē)行駛過(guò)程中仰望山頂D的最大仰角為θ，求tanθ.12．如圖，五邊形ABCDE是規(guī)劃修建的公路自行車(chē)比賽賽道平面示意圖，運(yùn)動(dòng)員在公路自行車(chē)比賽中如出現(xiàn)故障，可以從本隊(duì)的器材車(chē)、公共器材車(chē)上或收容車(chē)上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車(chē)輪或賽車(chē)等，也可在固定修車(chē)點(diǎn)上進(jìn)行，還需要運(yùn)送一些補(bǔ)給物品，例如食物、飲料、工具和配件，所以項(xiàng)目設(shè)計(jì)需要預(yù)留出BD，BE為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道(不考慮寬度)，ED，DC，CB，BA，AE為賽道，∠BCD＝∠BAE＝2π3，∠CBD＝π4，CD＝26(1)從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求服務(wù)通道BE的長(zhǎng)度；①∠CDE＝7π12；②cos∠DBE＝(2)在(1)條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道BAE最長(zhǎng)(即BA＋AE最大)，最長(zhǎng)為多少？參考答案1．A[由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB∴AB＝ACsin∠ACBsinB＝2．B[如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)420s后的位置為點(diǎn)B，山頂為點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000，由正弦定理得ABsin∠ACB＝則BC＝2100012×sin15°＝105006?2，因?yàn)镃D⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(6?2)3．C[在Rt△BCD中，BC＝CDcos∠BCD＝在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，A＝π2－α由正弦定理可得：ABsin∠ACB＝即?sinα?β＝CDcos所以CD＝?cos4．B[如圖，設(shè)球的半徑為R，則AB＝3R，AC＝Rtan∵BC＝Rtan10∴R＝1001tan＝100sin10°2sin30°?10°＝50sin∴2R＝500.985≈5．ACD[解一個(gè)三角形，需要知道三個(gè)條件，且至少一個(gè)為邊長(zhǎng).對(duì)于A,在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解這個(gè)三角形得到BC，再利用∠ACB，BC解Rt△ABC得到AB的值；對(duì)于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，無(wú)法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，無(wú)法解出此三角形，也無(wú)法通過(guò)其他三角形求出它的其他幾何元素，所以它不能計(jì)算出塔AB的高度；對(duì)于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值；對(duì)于D，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，連接AE.由于cos∠ACB＝CBAC，cos∠BCD＝CEBC，cos∠ACE＝CEAC，所以cos∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC6．AD[如圖，連接A1B2，依題意，A1A2＝25×1260＝5(nmile)，而B(niǎo)2A2＝5nmile，∠A1A2B2則△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5nmile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝52nmile，由余弦定理得：B1B2＝A1B12+A1B22?2A1延長(zhǎng)B1B2與A1A2延長(zhǎng)線交于O，顯然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10(nmile)，OB2＝53(nmile)，OB1＝5(3＋1)(nmile)，所以甲船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)t1＝1025＝25(h)，乙船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)t2＝53+125＝3+157．53?54[在△PAD中，由正弦定理得PD＝ADsin∠APD·sin15°＝252在△PDC中，PC＝10，故sin∠PCD＝sin45°PC·PD因?yàn)閏osθ＝sin∠PCD，所以cosθ＝538．10015[由題意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝12CD＝300，BC＝32CD＝300又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin45°＝CDsin60°，所以在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×所以AB＝10015.]9．3280[由題可知BC＝DE＝48×300180＝80步，BF＝100步，DG＝120步，BD在Rt△AHF中，AHHF＝BCBF＝在Rt△AHG中，AHHG＝DEDG＝所以HF＝54AH，HG＝32則HG－HF＝800－100＋120＝820＝14AH所以AH＝3280步．]10．5+52[在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cosθ，AB＝5?4cos∴S四邊形OACB＝S△OAB＋S△ABC＝12·OA·OB·sinθ＋12·AB2，∴S四邊形OACB＝sinθ－2cosθ＋52，則S四邊形OACB＝5sin(θ－φ)＋52(其中tanφ＝2)，當(dāng)sin(θ－φ)＝1時(shí)，S四邊形OACB取最大值5+52，所以“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域11．解：(1)設(shè)此山高h(yuǎn)km，則AC＝?tan在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4.根據(jù)正弦定理得ACsin∠ABC＝即?sin120°解得h＝2(6+(2)由題意可知，當(dāng)點(diǎn)C到公路的距離最小時(shí)，仰望山頂D的仰角達(dá)到最大，所以過(guò)C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE.則∠DEC＝θ，CE＝AC·sin45°，DC＝AC·tan30°，所以tanθ＝DCCE＝612．解：(1)在△BCD中，由正弦定理知BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴解得BD＝6.選①：∵∠BCD＝2π3，∠CBD＝∴∠BDC＝π－(∠BC