2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第24講-平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

第24講-平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】1．若e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是()A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e22．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up7(→))＝2eq\o(EC,\s\up7(→))，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))3．已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且BF＝3FE，記a＝eq\o(BA,\s\up7(→))，b＝eq\o(BC,\s\up7(→))，則eq\o(CF,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bC．－eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b D．eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b5．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，則角C的大小為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)6．(多選)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－17．(多選)給出以下說(shuō)法，其中不正確的是()A．若b＝λa(λ∈R)，則a∥bB．若a∥b，則存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λaC．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0D．平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量都可以作為表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量的一組基底8．已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________．9．設(shè)向量a＝(－3,4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為_(kāi)_______．10．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．11．如圖，四邊形ABCD為正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE＝CD，點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)．設(shè)eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AE,\s\up7(→))，則x＋y的取值范圍是()A．[1,2] B．[1,3]C．[2,3] D．[2,4]12．若{α，β}是一個(gè)基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底{α，β}下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐標(biāo)為_(kāi)_______．13．已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，則|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．第24講-平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】1．若e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是()A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2解析：B由e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則e1，e2為非零不共線向量，對(duì)A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共線，不符題意；對(duì)B，e1＋e2，e1－e2不能互相線性表示，故不共線，滿足題意；對(duì)C,2e2－3e1＝eq\f(1,2)(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共線，不滿足題意；對(duì)D，2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2共線，不滿足題意．故選B．2．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up7(→))＝2eq\o(EC,\s\up7(→))，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))解析：B如圖，可知eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))．故選B．3．已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：A若向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則x＝x(x＋2)，解得x＝0或x＝－1，所以p：x＝－1是q的充分不必要條件．故選A．4．如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且BF＝3FE，記a＝eq\o(BA,\s\up7(→))，b＝eq\o(BC,\s\up7(→))，則eq\o(CF,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bC．－eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b D．eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b解析：D取a＝eq\o(BA,\s\up7(→))，b＝eq\o(BC,\s\up7(→))作為基底，則eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b．因?yàn)锽F＝3FE，所以eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,8)b，所以eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,8)b－b＝eq\f(3,4)a－eq\f(5,8)b，故選D．5．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，則角C的大小為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)解析：B因?yàn)橄蛄縫＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<C<π，所以C＝eq\f(π,3)．故選B．6．(多選)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1解析：ABD各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三點(diǎn)就可構(gòu)成三角形，故選A、B、D．7．(多選)給出以下說(shuō)法，其中不正確的是()A．若b＝λa(λ∈R)，則a∥bB．若a∥b，則存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λaC．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0D．平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量都可以作為表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量的一組基底解析：BCDA項(xiàng)，由向量的數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，正確；B項(xiàng)，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若a，b為相反向量，則a＋b＝0，此時(shí)λ＝μ＝1，錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由平面向量的基本定理，作為基底的兩向量是不共線的非零向量，錯(cuò)誤．故選B、C、D．8．已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________．解析：∵向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，∴2a＋b＝(－3，2＋2m)．∵a∥(2a＋b)，∴－2(2＋2m)＝－3m，解得m＝－4．答案：－49．設(shè)向量a＝(－3,4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：不妨設(shè)向量b的坐標(biāo)為b＝(－3m,4m)(m<0)，則|b|＝eq\r(－3m2＋4m2)＝10，解得m＝－2(m＝2舍去)，故b＝(6，－8)．答案：(6，－8)10．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．解析：由a∥b可得，3sinα＝cosα，得tanα＝eq\f(1,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(\f(1,3)＋1,1－\f(1,3))＝2．答案：211．如圖，四邊形ABCD為正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE＝CD，點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)．設(shè)eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AE,\s\up7(→))，則x＋y的取值范圍是()A．[1,2] B．[1,3]C．[2,3] D．[2,4]解析：C以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則B(1,0)，E(－1,1)，設(shè)P(t,1)(0≤t≤1)，則(t,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，所以t＝x－y，且y＝1，故x＋y＝t＋2∈[2,3]．故選C．12．若{α，β}是一個(gè)基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底{α，β}下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閍在基底{p，q}下的坐標(biāo)為(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))解得eq\b\lc\{\