2025高考數(shù)學一輪復習-7.2-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓練【含解析】

2025高考數(shù)學一輪復習-7.2-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓練【原卷版】1．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M2．若a∥α，b∥β，α∥β，則a，b的位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交3．已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．過長方體的一個頂點的平面與這個長方體的十二條棱所在的直線成的角都相等，這樣的平面?zhèn)€數(shù)為()A．4 B．1C．0 D．無數(shù)多個5．(多選)下列四個命題中是真命題的為()A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過空間中任意三點有且僅有一個平面C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D．若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l6．(多選)如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點，則()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直線EF，GH是異面直線D．直線EF，GH是相交直線7．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．8．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．9．在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC和C1D1的中點，經(jīng)過點A，E，F(xiàn)的平面把正方體ABCD-A1B1C1D1截成兩部分，求截面與BCC1B1的交線段長．10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3eq\r(2)，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，P是線段A1B上的動點，C1P與平面D1EF的交點Q的軌跡長為()A．3 B．eq\r(13)C．4 D．3eq\r(2)11．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1共面C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面12．空間三條直線a，b，c兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有________條．13．如圖，AB，CD是圓錐面的正截面(垂直于軸的截面)上互相垂直的兩條直徑，過CD和母線VB的中點E作一截面．已知圓錐側(cè)面展開圖扇形的中心角為eq\r(2)π，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說明截線是什么曲線．．14．《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑．”如圖①所示的長方體用平面AA1B1B斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵．如圖②所示的塹堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝2，M為BC的中點，則異面直線A1C與AM所成角的余弦值為()A．eq\f(9,13) B．eq\f(8,13)C．eq\f(\r(15),9) D．eq\f(\r(15),5)15．設a，b是異面直線，點P?a，P?b．問：過點P是否可作直線l與a，b都相交？如果可作，能作多少條？如果不可作，請說明理由．2025高考數(shù)學一輪復習-7.2-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓練【解析版】1．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M解析：D∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ．又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β．根據(jù)基本事實3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．2．若a∥α，b∥β，α∥β，則a，b的位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交解析：D如圖①②③所示，a，b的關(guān)系分別是平行、異面、相交．3．已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：C若a，b相交，a?α，b?β，則其交點在交線c上，故a，c相交；若a，c相交，可能a，b為相交直線或異面直線．綜上所述：a，b相交是a，c相交的充分不必要條件．故選C．4．過長方體的一個頂點的平面與這個長方體的十二條棱所在的直線成的角都相等，這樣的平面?zhèn)€數(shù)為()A．4 B．1C．0 D．無數(shù)多個解析：A由題意，題目中的長方體與正方體，所作的平面?zhèn)€數(shù)相同，所以用正方體代替長方體來求解．法一：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐A-A1BD是正三棱錐，直線AB，AD，AA1與平面A1BD所成角都相等，過頂點A作平面α∥平面A1BD，則直線AB，AD，AA1與平面α所成角都相等，同理，過頂點A分別作平面α與平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直線AB、AD、AA1與平面α形成的角都相等，因此符合條件的平面可作4個，故選A．法二：只要與體對角線垂直的平面都和正方體的所有棱所成的角相等，因為有四條體對角線，所以，可以做4個平面．故選A．5．(多選)下列四個命題中是真命題的為()A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過空間中任意三點有且僅有一個平面C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D．若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l解析：AD對于A，可設l1與l2相交，這兩條直線確定的平面為α；若l3與l1相交，則交點A在平面α內(nèi)，同理，l3與l2的交點B也在平面α內(nèi)，所以，AB?α，即l3?α，A為真命題；對于B，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，故B為假命題；對于C，兩條直線有可能平行也有可能異面，故C為假命題；對于D，若直線m⊥平面α，則m垂直于平面α內(nèi)所有直線，因為直線l?平面α，所以直線m⊥直線l，D為真命題．6．(多選)如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點，則()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直線EF，GH是異面直線D．直線EF，GH是相交直線解析：BD如圖，取棱CC1的中點N，A1D1的中點M，連接EM，MH，HN，NG，F(xiàn)G，AC，A1C1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F(xiàn)，G四點共面，同理可得E，M，G，N四點共面，E，F(xiàn)，H，N四點共面，∴E，M，H，N，G，F(xiàn)六點共面，均在平面EFGNHM內(nèi)，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF?平面EFGNHM，∴EF與GH是相交直線．由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，∴eq\r(3)EF＝GH，即GH≠2EF．故選B、D．7．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．解析：因為AB∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側(cè)面，與另外四個側(cè)面相交．答案：48．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．解析：如圖，取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角．因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2)．答案：eq\r(2)9．在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC和C1D1的中點，經(jīng)過點A，E，F(xiàn)的平面把正方體ABCD-A1B1C1D1截成兩部分，求截面與BCC1B1的交線段長．解：如圖，連接AE并延長交DC的延長線于M，連接FM交CC1于G，連接EG并延長交B1C1的延長線于N，連接NF并延長交A1D1于H，連接AH，則五邊形AEGFH為經(jīng)過點A，E，F(xiàn)的正方體的截面，因為E為BC的中點，所以CE＝eq\f(1,2)BC＝2，因為CE∥AD，所以△MCE∽△MDA，所以eq\f(CM,DM)＝eq\f(CE,AD)＝eq\f(1,2)，所以CM＝CD＝4，因為DM∥C1D1，所以△MCG∽△FC1G，所以eq\f(CG,C1G)＝eq\f(CM,C1F)＝2，所以CG＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)，所以EG＝eq\r(CE2＋CG2)＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))2)＝eq\f(10,3)，所以截面與BCC1B1的交線段長為eq\f(10,3)．10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3eq\r(2)，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，P是線段A1B上的動點，C1P與平面D1EF的交點Q的軌跡長為()A．3 B．eq\r(13)C．4 D．3eq\r(2)解析：B如圖所示，連接EF，A1B，連接A1C1，B1D1交于點M，連接B1E，BC1交于點N，連接MN，由EF∥B1D1，得E，F(xiàn)，B1，D1共面，由P是線段A1B上的動點，當P重合于A1或B時，C1A1，C1B與平面D1EF的交點分別為M，N，即Q的軌跡為MN，由棱長為3eq\r(2)，得C1M＝eq\f(1,2)A1C1＝3,則BC1＝6，又eq\f(BE,B1C1)＝eq\f(BN,NC1)＝eq\f(1,2)，則NC1＝eq\f(2,3)BC1＝4，由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，則MN＝eq\r(MC\o\al(2,1)＋NC\o\al(2,1)－2MC1·NC1·cos∠A1C1B)＝eq\r(9＋16－2×3×4×\f(1,2))＝eq\r(13)．11．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1共面C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面解析：ABC∵M∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選A、B、C．12．空間三條直線a，b，c兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有________條．解析：取a，b，c為一正方體三條兩兩異面的棱AD，CC1，A1B1，在AD上任取一點M，在BC上取點N，使得B1N∥A1M，設直線B1N與CC1交于點P，PM即與a，b，c都相交，由于M是任取的，故滿足條件的直線有無數(shù)條．答案：無數(shù)13．如圖，AB，CD是圓錐面的正截面(垂直于軸的截面)上互相垂直的兩條直徑，過CD和母線VB的中點E作一截面．已知圓錐側(cè)面展開圖扇形的中心角為eq\r(2)π，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說明截線是什么曲線．解：如圖，設⊙O的半徑為R，母線VB＝l，則圓錐側(cè)面展開圖的中心角為eq\f(2πR,l)＝eq\r(2)π，∴eq\f(R,l)＝eq\f(\r(2),2)，∴sin∠BVO＝eq\f(\r(2),2)，∴圓錐的母線與軸的夾角α＝∠BVO＝eq\f(π,4)．連接OE，∵O，E分別是AB，VB的中點，∴OE∥VA．∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝eq\f(π,4)，∴∠VEO＝eq\f(π,2)，即VE⊥OE．又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，∴CD⊥平面VAB．∵VE?平面VAB，∴VE⊥CD．又∵OE∩CD＝O，OE，CD?平面CDE，∴VE⊥平面CDE．∴∠VOE是截面與軸線的夾角，∴截面的軸線夾角大小為eq\f(π,4)．由圓錐的半頂角與截面與軸線的夾角相等，知截面CDE與圓錐面的截線為一拋物線．14．《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑．”如圖①所示的長方體用平面AA1B1B斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵．