向量投影與模長計算

向量投影與模長計算當然可以！以下是根據“向量投影與模長計算”標題設計的20道試題，包括選擇題和填空題，并附帶詳細的序號介紹：1.選擇題1.1.下列哪個公式用于計算向量在另一個向量方向上的投影？A.\(\textbf{proj}_\textbf\textbf{a}=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf}{\textbf\cdot\textbf}\textbf\)B.\(\textbf{proj}_\textbf{a}\textbf=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf}{\textbf{a}\cdot\textbf{a}}\textbf{a}\)C.\(\textbf{proj}_\textbf\textbf{a}=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf}{\textbf{a}\cdot\textbf{a}}\textbf\)D.\(\textbf{proj}_\textbf{a}\textbf=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf}{\textbf\cdot\textbf}\textbf{a}\)1.2.若向量\(\textbf{a}=\langle3,-2,5\rangle\)，則其模長是多少？答：\(|\textbf{a}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}\)1.3.兩個向量\(\textbf{u}\)和\(\textbf{v}\)的夾角\(\theta\)可以通過下列公式計算：A.\(\cos\theta=\frac{\textbf{u}\cdot\textbf{v}}{|\textbf{u}||\textbf{v}|}\)B.\(\sin\theta=\frac{|\textbf{u}|}{|\textbf{v}|}\)C.\(\textbf{u}\cdot\textbf{v}=|\textbf{u}||\textbf{v}|\cos\theta\)D.\(|\textbf{u}|=\sqrt{\textbf{u}\cdot\textbf{u}}\)1.4.給定向量\(\textbf{a}=\langle2,-3\rangle\)，它在向量\(\textbf=\langle1,1\rangle\)方向上的投影為：答：\(\textbf{proj}_\textbf\textbf{a}=\frac{\textbf{a}\cdot\textbf}{\textbf\cdot\textbf}\textbf\)1.5.如果\(\textbf{a}\)和\(\textbf\)是垂直向量，則它們的點積為：答：\(\textbf{a}\cdot\textbf=0\)2.填空題2.1.若向量\(\textbf{a}=\langle4,-1\rangle\)，則其模長為\_\_\_\_\_\_。2.2.如果向量\(\textbf{u}=\langle2,3\rangle\)和\(\textbf{v}=\langle-1,2\rangle\)，則它們的點積\(\textbf{u}\cdot\textbf{v}=\_\_\_\_\_\_\)。2.3.如果向量\(\textbf{a}=\langle1,2,3\rangle\)，則其模長為\_\_\_\_\_\_。2.4.一個向量\(\textbf{a}=\langle3,-4\rangle\)在單位向量\(\textbf{u}=\langle1,1\rangle\)方向上的投影為\_\_\_\_\_\_。2.5.兩個向量\(\textbf{a}=\langle2,1,-3\rangle\)和\(\textbf=\langle-1,4,2\rangle\)的