2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第1課時(shí) 基本不等式及求最大(小)值

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

2.2基本不等式

第1課時(shí)基本不等式及求最大（小）值

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一對(duì)基本不等式的理解

1.下列說法正確的是（）

A.a2+b2^2ab成立的前提條件是a20,bNO

B.a2+b2>2ab成立的前提條件是a,b￡R

C.a+b22V^成立的前提條件是a20,b20

D.a+b>2而成立的前提條件是ab>0

2.（多選）若a,b￡R,且ab>0,則下列不等式恒成立的是（）

41A

A.a+-^4B.aQ2+^8

aaz

D.笛22

ab7abab

3.不等式（x-2y）+義22成立的前提條件為（）

x-2y

A.xN2yB.x>2y

C.xW2yD.x<2y

4.（2020山東德州夏津一中月考）不等式J+（x-2）26（其中x>2）中等號(hào)成立的條

x-2

件是（）

A.x=5B.x=4C.x=3D.x=T

題組二利用基本不等式求最大（?。┲?/p>

5.已知函數(shù)y=2x2+^-,則函數(shù)的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2022北京首師大附中月考）已知0<x<|,則x（「2x）的最大值為（）

1112

A

4-2-C.8-D.3-

7.（2022安徽合肥六中段考）當(dāng)0〈x〈l時(shí),y二的最小值為（）

Xl-x

A.8B.9C.10D.12

8.（2022廣東深圳南山外國語高級(jí)中學(xué)月考）函數(shù)y=（"+5）（：+2）（x〉.1）的最小值

%+1

為.

題組三利用基本不等式求含條件的最大（小）值

9.（2022江蘇鎮(zhèn)江一中段考）已知正數(shù)a,b滿足a+b=2,則而有（）

A.最小值1B,最小值也

C.最大值&D.最大值1

10.（2022北師大附中月考）已知兩個(gè)正數(shù)m,n滿足mn=3,則m+3n的最小值為

（）

A.3B.6C.V3D.V6

11.（2022廣東汕頭澄海中學(xué)段考）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=l,則幺工的最小值

xy

為.

12.已知正實(shí)數(shù)x,y.

⑴若4x+y=l,求xy的最大值;

⑵若(x-1)(yT)=l(x〉l),求3x+4y的最小值.

能力提升練

題組一對(duì)基本不等式的理解

1.已知0<a<l,0<b<l,且aWb,下列各式的值中最大的是（）

A.a2+b2B.2y[ab

C.2abD.a+b

2.（多選）（2022江蘇揚(yáng)州中學(xué)月考）已知實(shí)數(shù)a,b,下列不等式一定成立的是

（）

A.學(xué)學(xué)強(qiáng)B.a+-^2

2a

222

C.7b+-a^2D.2（a+b）2（a+b）

題組二利用基本不等式求最大（小）值

3.（2021江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）下列說法中正確的是（）

A.當(dāng)x>0時(shí),近+222

yjx

B.當(dāng)x>2時(shí),x+工的最小值是2

X

C.當(dāng)時(shí),y=4x-2+2的最小值是5

D.若x>0,貝ljx'+W的最小值為2y

X乙

4.（2022北京首師大附中月考）當(dāng)x>l時(shí),不等式2x+m+^->0恒成立,則實(shí)數(shù)m的

X-1

取值范圍是（）

A.m<-8B.m>-8C.m<-6D.m>-6

5.已知a>b>0,貝lja?+卻竺燈的最小值為（）

b（a-b）

A.8B.8V2C.16D.16V2

題組三利用基本不等式求含條件的最大（?。┲?/p>

22

6.（2021黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)開學(xué)考試）已知a>0,b>0,a+b=l,則上+片的最小

ab

值為（）

A.6B.8C.15D.17

7.若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,則不等式士+工的最小值為（）

V

93

Rc93

A.212-D.

8.（2022河南南陽一中月考）已知正數(shù)x,y滿足x+y=2,則下列選項(xiàng)不正確的是

（）

A-+L的最小值是2

xy

B.xy的最大值是1

C.x?+y2的最小值是4

D.x（y+1）的最大值是）

4

9.（2022浙江精誠聯(lián)盟聯(lián)考）已知a>0,b>0.

（1）若a+b=4,求;+融勺最小值及此時(shí)a,b的值；

2ab

（2）若2a2+b?=4a+4b,求弋的最小值及此時(shí)a,b的值；

ab

（3）若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此時(shí)a,b的值.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

l.CA錯(cuò)誤,應(yīng)為a,b￡R;B錯(cuò)誤,應(yīng)為a,bQR,且a#b;D錯(cuò)誤,應(yīng)為a^O,b20,

且aWb;C正確.故選C.

2.BD對(duì)于A、C,當(dāng)a<0,b<0時(shí),不等式不成立,故A,C不符合題意;對(duì)于

B,a2+i1^2。?牛8,當(dāng)且僅當(dāng)a2=i|,即a=±2時(shí)等號(hào)成立,故B符合題意;對(duì)于

D,Vab>0,.*.->0,->0,.*.-+-^2-?-=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，...D符合題

ababy]ab

/田、?

3.B因?yàn)椴坏仁匠闪⒌那疤釛l件是x-2y和七均為正數(shù),所以x-2y>0,即x>2y,

x-2y

故選B.

4.A當(dāng)x>2時(shí),三+(x-2)22p--(x-2)=6,等號(hào)成立的條件是三=x-2,即

X-27X~2X-2

(X-2)2=9,解得x=5(X=-1舍去).故選A.

5.C易知x2+l>0,所以y=2x?+&=2(/+島>2(/+1+-±--1)

22(2J(%2+1)?士-1)=6,當(dāng)且僅當(dāng)X2+1=2,即x=±l時(shí)取等號(hào).故選C.

6.Cx(l-2x)=|x2x(l-2x)<|x(2%+^-2%)2=1,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=-2x,即x=；時(shí)取等號(hào)，

因此X(1-2X)的最大值為"故選C.

8

7.B因?yàn)?<x〈l,所以0G-x<l,

y=+：l-x4%n

所以lZ^-+—+—^5+2

Xl-xX*=9,

當(dāng)且僅當(dāng)上三產(chǎn),即X=J時(shí)等號(hào)成立，

%l-x3

所以y」+J-的最小值為9.故選B.

X1-X

解題模板解決分式類型函數(shù)的最大（?。┲祮栴},常需找出各個(gè)分式間的關(guān)系,

即“隱含條件”，如本題中的“x+（「x）=l”是定值,從而得到解決問題的方法.

8.答案9

解析因?yàn)閤>T,所以x+l>0,

匚uni(x+5)(x+2)X2+7X+10

所以y二—x+7l；——二——X+-1-

2

(%+1)+5(x+l)+4

%+1

=(x+l)+—+5^2(x+l)?—+5=9,

x+iqx+i

當(dāng)且僅當(dāng)x+l==,即X=1時(shí)等號(hào)成立,

x+l

所以所求函數(shù)的最小值為9.

導(dǎo)師點(diǎn)睛求含二次分式（分子是二次式,分母是一次式）的函數(shù)的最大（?。┲禃r(shí),

常將一次式看作一個(gè)整體，將原來函數(shù)表達(dá)式中的分子按照一次式的形式進(jìn)行配

湊,分離常數(shù),轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求最大（小）值的形式.

9.D,/正數(shù)a,b滿足a+b=2,

.?.2=a+b22V^,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)取等號(hào)，

.?.夜或1.??.而的最大值是1.故選D.

10.B丁!!!,!!為正數(shù)，

m+3n^2V3mn=2X3=6,當(dāng)且僅當(dāng)m=3n=3時(shí)取等號(hào)，

...m+3n的最小值為6,故選B.

11.答案9

解析依題意得，三+工=0+工）（2*+丫）=5+空+藝25+2空?藝25+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)

xy\xy）xyA/Xy

x=y」時(shí)取等號(hào).故二工的最小值為9.

3xy

12.解析⑴?/x,y均為正實(shí)數(shù)，

：.Jxy^,xyW3,當(dāng)且僅當(dāng)4x=y,即x=gy=［時(shí)取等號(hào),故xy的最大值為

v4168216

(2)V(x-l)(y-l)=l(x>l),

/.xy=x+y,即一1+一1二1,

xy

Z.3x+4y=(3x+4y)(-+-)=3+—+—+4^7+2隹?絲=7+46,

V%yJyxyy%

當(dāng)且僅當(dāng)衛(wèi)絲,即X=§+1,y="+l時(shí)取等號(hào)，...3x+4y的最小值為7+4V3.

yx32

能力提升練

1.D因?yàn)镺〈a〈l,O〈b〈l,

所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b.

因?yàn)閍Wb,所以a2+b2>2ab,a+b>2VaF,

所以a+b的值最大,故選D.

2.CD當(dāng)a〈0,b〈0時(shí)，與不成立，故A不符合題意；

當(dāng)a<0時(shí),a+工22不成立,故B不符合題意；

a

^+-=-+目22,當(dāng)且僅當(dāng)a=±b時(shí),等號(hào)成立,故C符合題意；

baa\b\

*.*2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2^0,

2(a2+b2)2(a+b)；故D符合題意.故選CD.

3.Ax>0時(shí),?+二22,當(dāng)且僅當(dāng)即x=l時(shí)取等號(hào),A正確；

Vx

當(dāng)x>2時(shí),x+%>2,故B不正確；

X

由x〈9可得4x-5<0,

4

故y=4x-2+^|^=4x-5+^|^+3=_(5-4%+

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=-^-,

5-4%

即x=l時(shí)取等號(hào),C不正確；

2y不是定值,D不正確.

故選A.

易錯(cuò)警示利用基本不等式求最大(小)值時(shí)要注意各項(xiàng)為正，當(dāng)各項(xiàng)為負(fù)時(shí)，可

通過提取負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化為各項(xiàng)為正的情況求解，此時(shí)注意求解的是最大值還是最小

值.

4.D當(dāng)x>l時(shí)，不等式2x+m+—>0恒成立，即2(xT)-2恒成立.當(dāng)x>l

X~1X~1

時(shí),x-l>0,.*.2(XT)+322X|2(X-1)x—=4,

X-17X~1

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，

m-2〈4,解得m>-6.故選D.

解題模板解決不等式恒成立問題,常將不等式變形(分離變量等)，再將不等式

恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題，符合“一正、二定、三相等”的則利用基本

不等式求解最大(小)值.

5.CVb(a-b)：.a2+^^-^a2+^=a2+^2la2?^=16,當(dāng)且僅當(dāng)

\274b{a~b)aaz-xjaz

4

(a-b=b,_/n

264即a一?A時(shí)，等號(hào)成立.

(a=/，［b=V2

6.Da+b=l,.q+ja+b+y+3

abababab

又abW信手”/4,.?.1+金17,

?a2+4b2+4

>?'217,當(dāng)且僅當(dāng)a=b三時(shí)取等號(hào).

ab

故選D.

7.A因?yàn)閤+y=l,所以(x+l)+y=2,即1(x+l)+y]=l,

所以51若

當(dāng)且僅當(dāng)佇:廠?即"I'時(shí)，等號(hào)成立,故三+工的最小值為*故選A.

(%+y=1,\y=-X+1y2

8.C,正數(shù)x,y滿足x+y=2,...>L2(x+y)?(工+工)二(2+〃+工)2%(2+

xy2\xyj2\xyj2\

2R?4=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)等號(hào)成立，，A正確；

7yx)

由x+y22c7,可得2^/%)7<2,即xy<l,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)等號(hào)成立，.，.B正確;

由x+y=2得x?+y2+2xy=4,又2xyWx?+y2,.，.2(x?+y2)N4,.,.x'+y'NZ,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l

時(shí)等號(hào)成立,

??.C不