11.1.3三角形的穩(wěn)定性

第頁(yè)11.1.2三角形的高、中線與角平分線11．1.3三角形的穩(wěn)定性關(guān)鍵問(wèn)答如何用數(shù)量關(guān)系描述三角形的高、中線與角平分線？由三角形的高、中線與角平分線可得到什么樣的數(shù)量關(guān)系？1．①如圖11－1－12，在△ABC中，∠C＝90°，D，E為AC上的兩點(diǎn)，且AE＝DE，BD平分∠EBC，則下列說(shuō)法正確的是()圖11－1－12A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的角平分線C．BD是△EBC的中線D．∠EBD＝∠A2．②如圖11－1－13，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是()圖11－1－13A．AB＝2BFB．∠ACE＝eq\f(1,2)∠ACBC.AE＝BED．CD⊥BE3.如圖11－1－14所示，一扇窗用窗鉤AB即可固定，這所用的原理是()圖11－1－14A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．垂線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線D．三角形的穩(wěn)定性命題點(diǎn)1三角形的高、中線與角平分線[熱度：90%]4．③④在△ABC中，畫出邊AC上的高，下面4個(gè)圖中畫法正確的是()圖11－1－15方法點(diǎn)撥③在三角形中，畫三角形已知邊上高的方法：把直角三角尺一條直角邊放在已知邊上，且直角三角尺與三角形位于已知邊的同側(cè)，沿已知邊推動(dòng)直角三角尺，使已知邊所對(duì)的頂點(diǎn)落在直角三角尺的另一條直角邊上，沿這條直角邊畫直線，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段即三角形的一條高．易錯(cuò)警示④鈍角三角形中，鈍角兩條邊上的高在鈍角三角形的外部．5.如圖11－1－16，在△ABC中，∠BAD＝∠DAE＝∠EAF＝∠FAC，則△ABC的角平分線是()圖11－1－16A．ADB．AEC．AFD．AC6．如圖11－1－17，△ABC的角平分線AD及中線BE交于點(diǎn)O，有下列結(jié)論：①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線．則()圖11－1－17A．①②都正確B．①②都不正確C．①正確，②不正確D．①不正確，②正確7.如圖11－1－18，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，CF⊥AD于點(diǎn)H.下列判斷正確的是()圖11－1－18A．AD是△ABE的角平分線B．BE是△ABD的邊AD上的中線C．CH為△ACD的邊AD上的高D．AH為△ABC的角平分線命題點(diǎn)2交點(diǎn)問(wèn)題[熱度：80%]8．⑤有下列說(shuō)法：①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條高必交于一點(diǎn)；③三角形的三條角平分線必交于一點(diǎn)；④三角形的三條高必在三角形內(nèi)．其中正確的是()A．①②B．①③C．②④D．③④方法點(diǎn)撥⑤三角形三條中線相交于一點(diǎn)，且相交于三角形的內(nèi)部；三條角平分線相交于一點(diǎn)，且相交于三角形的內(nèi)部；三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部，直角三角形三條高相交于直角頂點(diǎn)，鈍角三角形三條高所在的直線相交于三角形的外部．9．三角形的三條中線的交點(diǎn)的位置為()A．一定在三角形內(nèi)B．一定在三角形外C．可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外D．可能在三角形的一條邊上命題點(diǎn)3與三角形的中線、高、角平分線相關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題[熱度：90%]10．⑥已知AD是△ABC的中線，且△ABD比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，則AB與AC的差為()A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm方法點(diǎn)撥⑥三角形一邊上的中線分得的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差實(shí)際上是另外兩邊的差．11．⑦如圖11－1－19，在△ABC中，AD為中線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，則DE＝________．圖11－1－19方法點(diǎn)撥⑦已知三角形一邊及這一邊上的高的問(wèn)題，常常利用面積相等建立方程求解．12．如圖11－1－20，在△ABC中，∠ABC＝72°，BD是△ABC的角平分線，∠BDC＝76°，DE∥BC，則∠ADE＝________°.圖11－1－2013．⑧如圖11－1－21，BE，CF均是△ABC的中線，且BE＝CF，AM⊥CF于點(diǎn)M，AN⊥BE于點(diǎn)N.求證：AM＝AN.圖11－1－21解題突破⑧證明兩個(gè)三角形的高相等，可以通過(guò)證明這兩個(gè)三角形的面積相等以及高所對(duì)應(yīng)的底邊相等.14．⑨佳佳用7根木條釘成一個(gè)七邊形的木架，她為了使該木架穩(wěn)固，想在其中加上四根木條，請(qǐng)你分別在圖11－1－22中畫出你的三種想法，并說(shuō)明加上木條后使該木架穩(wěn)固所用的數(shù)學(xué)依據(jù)．圖11－1－22模型建立⑨本題的實(shí)質(zhì)是加若干條線段，把多邊形分成多個(gè)三角形，利用三角形的穩(wěn)定性解決問(wèn)題．詳解詳析1．A2.C3.D4.C5．B[解析]由題意得∠BAD＋∠DAE＝∠EAF＋∠FAC，即∠BAE＝∠CAE，所以AE是△ABC的角平分線．6．C[解析]因?yàn)锳D為△ABC的角平分線，所以∠BAD＝∠CAD，由于點(diǎn)O在AD上，所以∠BAO＝∠CAO，所以AO是△ABE的角平分線．由BE是△ABC的中線，能得到AE＝CE，不能得到AO和OD相等，因此“BO是△ABD的中線”不正確．7．C[解析]由題意可得AD是△ABC的角平分線，BG是△ABD的邊AD上的中線，CH為△ACD的邊AD上的高，AH為△ACF的高．8．B9．A10．B[解析]由題意得△ABD的周長(zhǎng)為AB＋AD＋BD，而△ACD的周長(zhǎng)為AC＋AD＋CD.由于AD是△ABC的中線，所以BD＝CD，所以△ABD的周長(zhǎng)－△ACD的周長(zhǎng)＝AB－AC＝3cm.11．2[解析]由于AD是△ABC的中線，所以S△ADB＝S△ADC，所以eq\f(1,2)×AB×DE＝eq\f(1,2)×AC×DF，所以DE＝eq\f(4×1.5,3)＝2.12．68[解析]∵∠ABC＝72°，BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD＝36°.∵∠BDC＝76°，∴∠CDE＝112°，∴∠ADE＝180°－∠CDE＝68°.13．證明：∵BE，CF均是△ABC的中線，∴S△ABE＝S△ACF＝eq\f(1,2)S△ABC.∵AM⊥CF，AN⊥BE，∴eq\f(1,2)AM·CF＝eq\f(1,2)AN·BE.又∵BE＝CF，∴AM＝AN.14．解：如圖所示(答案不唯一)．依據(jù)：三角形具有穩(wěn)定性．【關(guān)鍵問(wèn)答】①過(guò)三角形頂點(diǎn)的直線，若與對(duì)邊所在直線的交角為直角，則頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的