新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第68講 圓錐曲線中的離心率問題（微專題）（解析版）

第68講圓錐曲線中的離心率問題題組一、由概念與性質(zhì)求圓錐曲線離心率值的問題例1、（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的漸近線的方程為SKIPIF1<0，雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線兩條漸近線對稱關(guān)系可得SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率為SKIPIF1<0，故選：D.變式1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則點P是以SKIPIF1<0為直徑的圓與橢圓C的交點，不妨設(shè)和點P在第一象限，如圖連接SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．故選：A.變式2、（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）橢圓是特別重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的核心，它集中地體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.而黃金橢圓是一條優(yōu)美曲線，生活中許多橢圓形的物品，都是黃金橢圓，它完美絕倫，深受人們的喜愛.黃金橢圓具有以下性質(zhì)：①以長軸與短軸的四個頂點構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個焦點，②長軸長，短軸長，焦距依次組成等比數(shù)列.根據(jù)以上信息，黃金橢圓的離心率為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)左頂點SKIPIF1<0，上頂點SKIPIF1<0，則直線AB的方程為SKIPIF1<0，以長軸與短軸的四個頂點構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個焦點，則原點到直線AB的距離SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，長軸長，短軸長，焦距依次組成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題組二、由等量關(guān)系求圓錐曲線中離心率值的問題例2、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，準線為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點A和點B，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為原點），則雙曲線的離心率為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】只需把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率．【詳解】拋物線SKIPIF1<0的準線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選D．變式1、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且線段SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用點差法證明二級結(jié)論SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0，則兩式相比可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0即可求出離心率.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，顯然點SKIPIF1<0在橢圓內(nèi)，記坐標原點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，易知三條直線斜率均存在，又SKIPIF1<0，兩式相減整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以兩式相比可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以離心率SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼礢KIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是雙曲線C：SKIPIF1<0的左，右焦點，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線的左，右兩支分別交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義先推出SKIPIF1<0為正三角形，然后根據(jù)余弦定理解決.【詳解】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0內(nèi)切圓圓心，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0中，由余弦定理，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故選：C.變式3、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知雙曲線SKIPIF1<0，過左焦點F作一條漸近線的垂線，記垂足為P，點Q在雙曲線上，且滿SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】設(shè)SKIPIF1<0在漸近線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立求得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，代入雙曲線方程化簡即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0在漸近線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在雙曲線上，所以SKIPIF1<0化簡得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：B題組三、由不等關(guān)系求圓錐曲線中離心率的范圍問題例3、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的公共點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱且SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸右側(cè)，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率的最大值為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】聯(lián)立拋物線與橢圓方程，消元、解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，再分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況討論，當(dāng)SKIPIF1<0時求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標，由SKIPIF1<0，即可得到關(guān)于SKIPIF1<0的不等式，解得即可.【詳解】解：聯(lián)立拋物線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的方程消去SKIPIF1<0整理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0時，代入SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，已知點SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸右側(cè)，取交點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾，不合題意．②SKIPIF1<0時，代入SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱且SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0軸右側(cè)，取交點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩端同除以SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.變式1、（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于A，B兩點（A在B的上方），A為BD的中點，過點A作直線與y軸垂直且交于點E，若SKIPIF1<0的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離不小于SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為A在B的上方，且這兩點都在C上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為A是線段BD的中點，又SKIPIF1<0軸，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的內(nèi)心G在線段EA上.因為DG平分SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為G到y(tǒng)軸的距離不小于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0變式2、（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）過雙曲線SKIPIF1<0上的任意一點SKIPIF1<0，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由題意可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故離心率SKIPIF1<0，又因為雙曲線的離心率SKIPIF1<0，所以雙曲線離心率的取值范圍為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.題組四、由存在性求圓錐曲線中離心率的范圍問題例4、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓C：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0(-c，0)，SKIPIF1<0(c，0)，若橢圓C上存在一點M使得SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用SKIPIF1<0的面積相等，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，消去b，整理化簡求出離心率的取值范圍.【詳解】SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積可表示為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.兩邊平方得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0,因為離心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故選：A.變式1、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在C上存在點P（不是頂點），使得SKIPIF1<0，則C的離心率的取值范圍為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由雙曲線的定義和對稱性，結(jié)合已知條件得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可求離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由對稱性可知，SKIPIF1<0，如圖所示，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且三角形的內(nèi)角和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0綜上，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．變式2、（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0上的任意一點SKIPIF1<0都滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，代入不等式SKIPIF1<0中，化簡，得SKIPIF1<0恒成立，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：A變式3、（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點為SKIPIF1<0，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得SKIPIF1<0為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（